2022-2023學(xué)年河北省石家莊市大吾鄉(xiāng)大吾中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年河北省石家莊市大吾鄉(xiāng)大吾中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A．

B．

C．2

D．－2參考答案：A2.已知直線x+ay﹣1=0是圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)A（﹣4，a）作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|=（）A．2 B．6 C．4 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心和半徑，由直線l：x+ay﹣1=0經(jīng)過(guò)圓C的圓心（2，1），求得a的值，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用直線和圓相切的性質(zhì)求得|AB|的值．【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，表示以C（2，1）為圓心、半徑等于2的圓．由題意可得，直線l：x+ay﹣1=0經(jīng)過(guò)圓C的圓心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，點(diǎn)A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切線的長(zhǎng)|AB|===6．故選：B．3.“”是直線平行于直線的（

）A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C4.若偶函數(shù)f（x）在（－，一l］上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（）參考答案：B5.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A.[－2,1] B.[－1,2]C.(－∞,－2]∪[1,+∞) D.(－∞,－1]∪[2,+∞)參考答案：A【分析】由函數(shù)的表達(dá)式即可判斷在上遞減，利用單調(diào)性可得：，解不等式即可?！驹斀狻亢瘮?shù)在各段內(nèi)都是減函數(shù)，并且，所以在上遞減，又，所以解得：，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。6.一個(gè)樣本容量為的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列，則此樣本的中位數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.已知橢圓+=1的焦點(diǎn)分別是、，是橢圓上一點(diǎn)，若連結(jié)、、三點(diǎn)恰好能構(gòu)成直角三角形，則點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是A．

B．3

C．

D．

參考答案：A略8.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足iz=1+i，則（

）A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i參考答案：A9.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在直線上存在P，使線段PF1的中垂線過(guò)點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是（

）．A． B． C．

D．參考答案：D設(shè)，，，由線段的中垂線過(guò)點(diǎn)得，即，得，即，得，解得，故，故選D.10.、、兩兩垂直；②到三邊的距離相等；③，；④、、與平面所成的角相等；⑤平面、、與平面所成的銳二面角相等；⑥＝＝；⑦，，；⑧，．若在上述8個(gè)序號(hào)中任意取出兩個(gè)作為條件，其中一個(gè)一定能得出為的垂心、另一個(gè)一定能得出為的外心的概率為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知滿足約束條件，，則的最小值是

．

參考答案：略12.(不等式選作題)若不等式的解集為，則的取值范圍為_(kāi)_______;參考答案：略13.我們把形如的函數(shù)稱為“莫言函數(shù)”，并把其與軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“莫言點(diǎn)”，以“莫言點(diǎn)”為圓心凡是與“莫言函數(shù)”有公共點(diǎn)的圓，皆稱之為“莫言圓”，則當(dāng)，時(shí)，(1).莫言函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：___________(2).所有的“莫言圓”中，面積的最小值為_(kāi)__________參考答案：，略14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

.參考答案：(或)15.（5分）設(shè)為銳角，若，則的值為

▲

．參考答案：。【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)，倍角三角函數(shù)，和角三角函數(shù)?！邽殇J角，即，∴。

∵，∴?！?。

∴。

∴。16.的展開(kāi)式中的系數(shù)是

參考答案：240本題主要考查二項(xiàng)式定理，以及簡(jiǎn)單的基本運(yùn)算能力．難度較?。吆瑇4的項(xiàng)為C(2x)4＝240x4，∴展開(kāi)式中x4的系數(shù)是240．17.代數(shù)式（1﹣x）（1+x）5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為_(kāi)____．參考答案：0【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫(xiě)出（1+x）5的展開(kāi)式，即可得到x3的系數(shù).【詳解】∵（1﹣x）（1+x）5＝（1﹣x）（?x?x2?x3?x4?x5），∴（1﹣x）（1+x）5展開(kāi)式中x3的系數(shù)為110．故答案為：0．【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式定理，關(guān)鍵在于熟練掌握定理的展開(kāi)式，根據(jù)多項(xiàng)式乘積關(guān)系求得指定項(xiàng)的系數(shù).三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)。（1）若，求的最大值和最小值；（2）若，求的值。參考答案：解：（Ⅰ）．又，，，．（II）由于，所以解得

19.參考答案：解析：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，

∴AB⊥PD，又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD.

又MN是△PAB的中位線，

∴MN∥AB，從而MN⊥面PAD.

∴∠PMD為二面角P—MN—D的平面角………………4分由已知，在Rt△PAD中，易證：∠PAD=60°，而M是PA的中點(diǎn)，∴∠PMD=120°.即所求二面角P—MN—D的大小為120°.…………………6分（Ⅱ）令，不妨設(shè)AD=2，則，.……8分以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），N（1，2，），C（0，4x，0），∴（1，2，），（1，2-4x，）；……10分若∠CND為直角，則必有，即于是有，解得.∴當(dāng)時(shí)，∠CND為直角.……14分20.如圖，已知⊥平面，∥，=2，且是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面；(III)求此多面體的體積．

參考答案：解：（Ⅰ）取CE中點(diǎn)P，連結(jié)FP、BP，∵F為CD的中點(diǎn)，∴FP∥DE，且FP=

……

1分又AB∥DE，且AB=

∴AB∥FP，且AB=FP，

……

2分∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP．

……

3分又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF∥平面BCE

……

4分

（Ⅱ）∵，所以△ACD為正三角形，∴AF⊥CD

……5分∵AB⊥平面ACD，DE//AB

∴DE⊥平面ACD

……6分又AF平面ACD

∴DE⊥AF

……7分又AF⊥CD，CD∩DE=D

∴AF⊥平面CDE

……8分

又BP∥AF

∴BP⊥平面CDE

又∵BP平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE

9分(III)此多面體是一個(gè)以C為定點(diǎn)，以四邊形ABED為底邊的四棱錐，，

……

10分等邊三角形AD邊上的高就是四棱錐的高

……11分

……

12分略21.已知曲線與軸有唯一公共點(diǎn).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.若兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，求證：.參考答案：（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)?.由題意，函數(shù)有唯一零點(diǎn)..（1）若，則.顯然恒成立，所以在上是增函數(shù).又，所以符合題意.（2）若，.；.所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以.由題意，必有（若，則恒成立，無(wú)零點(diǎn)，不符合題意）①若，則.令，則.；.所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，，且.取正數(shù)，則；取正數(shù)，顯然.而，令，則.當(dāng)時(shí)，顯然.所以在上是減函數(shù).所以，當(dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)?，所?又在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則由零點(diǎn)存在性定理，在、上各有一個(gè)零點(diǎn).可見(jiàn)，，或不符合題意.注：時(shí)，若利用，，，說(shuō)明在、上各有一個(gè)零點(diǎn).②若，顯然，即.符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（Ⅱ）由題意，.所以，即.由（Ⅰ）的結(jié)論，得.，在上是增函數(shù).；.由，不妨設(shè)，則.從而有，即.所以.令，顯然在上是增函數(shù)，且.所以.從而由，得.22.(本題滿分13分)

某旅游景區(qū)的觀景臺(tái)P位于高為的山峰上(即山頂?shù)缴侥_水平面M的垂直高度)，山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且為以為底邊的等腰三角形.山坡面與山腳所在水平面M所成的二面角為，且.現(xiàn)從山腳的水平公路AB某處C0開(kāi)始修建一條盤(pán)山公路，該公路的第一段,第二段,第三段,…,第n－1段依次為C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn(如圖所示)，C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn與AB所成的角均為，且.（1）問(wèn)每修建盤(pán)山公路多少米，垂直高度就能升高100米?若修建盤(pán)山公路至半山腰(高度為山高的一半)，在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站，索道PQ依山而建(與山坡面平行，離坡面高度忽略不計(jì))，問(wèn)盤(pán)山公路的長(zhǎng)度和索道的長(zhǎng)度各是多少？（2）若修建盤(pán)山公路，其造價(jià)為萬(wàn)元.修建索道的造價(jià)為萬(wàn)元.問(wèn)修建盤(pán)山公路至多高時(shí)，再修建上山索道至觀景臺(tái)，總造價(jià)最少?

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)模型及其應(yīng)用B10(1)公路長(zhǎng)為10xkm，索道長(zhǎng)(2－x)km(2)高1km時(shí)，總造價(jià)最小，最小值為15a萬(wàn)元.

(1)在盤(pán)山公路C0C1上任選一點(diǎn)D，作DE⊥平面M交平面M于E，過(guò)E作EF⊥AB交AB于F，連結(jié)DF，易知DF⊥C0F.sin∠DFE＝，sin∠DC0F＝.∵DF＝C0D，DE＝D