《菱形的性質(zhì)與判定》

1.菱形的性質(zhì)與判定—性質(zhì)

九年級(jí)數(shù)學(xué)(上)第一章特殊平行四邊形

駛向勝利的彼岸10/14/2023有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.定義：條件：⑴是

⑵

.平行四邊形;有一組鄰邊相等思考：1.菱形一定是平行四邊形嗎？10/14/2023結(jié)論：平行四邊形包含了菱形，菱形屬于平行四邊形?？傊?，菱形是特殊的平行四邊形。2.菱形是軸對(duì)稱圖形嗎？菱形是軸對(duì)稱圖形，有2條對(duì)稱軸，它們互相垂直。結(jié)論：菱形的特征：首先它具有平行四邊形的一切特征.10/14/2023特殊的特征：1、菱形的四條邊相等.2、菱形的對(duì)角線互相垂直。

思考：菱形的對(duì)角線有什么特征呢？定理:菱形的四條邊都相等.

小試牛刀已知:如圖,四邊形ABCD是菱形.證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,四邊形ABCD是平行四邊形.∴AB=CD,AD=BC.求證:AB=BC=CD=DA.∴AB=BC=CD=AD.CBDA分析:由菱形的定義,利用平行四邊形性質(zhì)可使問(wèn)題得證.試牛刀小定理:菱形的兩條對(duì)角線互相垂直。已知:如圖,AC,BD是菱形ABCD的兩條對(duì)角線,AC,BD相交于點(diǎn)O.求證:AC⊥BD.證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=CD,AO=CO.∵DO=DO,∴△AOD≌△COD(SSS).∴∠AOD=∠COD=900.DBCAO∴AC⊥BD.

例題解析已知:如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為13cm的菱形,其中對(duì)角線BD長(zhǎng)10cm.求:(1).對(duì)角線AC的長(zhǎng)度;(2).菱形ABCD的面積.解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,=2×△ABD的面積∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面積=△ABD的面積+△CBD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半DBCAO

學(xué)以致用菱形的周長(zhǎng)為20cm,面積為24cm2解得:定理:菱形的四條邊都相等.定理:菱形的兩條對(duì)角線互相垂直,并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.本課小結(jié)∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.∵AC,BD是菱形ABCD的兩條對(duì)角線.∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.CBDADBCAO1.菱形的性質(zhì)與判定—判定

駛向勝利的彼岸有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。3.菱形的性質(zhì)1.菱形的定義（Ａ）菱形的四條邊都相等（Ｂ）菱形的對(duì)角線互相垂直2.菱形的特征菱形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形我們可以根據(jù)定義來(lái)判定一個(gè)四邊形是菱形．除此之外，還能找到其他的判定方法嗎？菱形的性質(zhì)“兩條對(duì)角線互相垂直平分”中，“對(duì)角線互相平分”是平行四邊形所具有的一般性質(zhì)，而“對(duì)角線垂直”是菱形所特有的性質(zhì)。由此，可以得到一個(gè)猜想：“如果一個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，那么這個(gè)平行四邊形是一個(gè)菱形?！比鐖D20.3.1，取兩根長(zhǎng)度不等的細(xì)木棒，讓兩個(gè)木棒的中點(diǎn)重合并固定在一起，用筆和直尺畫(huà)出木棒四個(gè)端點(diǎn)的連線。我們知道，這樣得到的四邊形是一個(gè)平行四邊形．若轉(zhuǎn)動(dòng)其中一個(gè)木棒，重復(fù)上面的做法，當(dāng)兩個(gè)木棒之間的夾角等于90°時(shí)，得到的圖形是什么圖形呢？如圖20.3.2，你還可以作一個(gè)兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形．和你的同伴交換一下，看看是否成了一個(gè)菱形．由此可以得到判定菱形的一種方法：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．如圖20.3.3，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD互相垂直，我們可以證明：四邊形ABCD是菱形．證明∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA＝OC又∵AC⊥BD∴BD所在直線是線段AC的垂直平分線∴AB＝BC∴四邊形ABCD是菱形例如圖20.3.4，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F，求證：四邊形AFCE是菱形．分析要證四邊形AFCE是菱形，由已知條件可知EF⊥AC，所以只需證明四邊形AFCE是平行四邊形，又EF垂直平分AC，所以只需證OE＝OF．證明∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AE∥FC∴∠1＝∠2∵EF平分AC∴AO＝OC又∵∠AOE＝∠COF＝90°∴△AOE≌△COF∴EO＝FO∴四邊形AFCE是平行四邊形又∵EF⊥AC∴四邊形AFCE是菱形對(duì)于一個(gè)一般的四邊形，能否也可以找到判定它是不是菱形的方法呢？由菱形的另一條性質(zhì)“四條邊都相等”，你可能會(huì)想到：

如果一個(gè)四邊形的四條邊都相等，那它會(huì)不會(huì)一定是菱形？試著畫(huà)一畫(huà)，與周圍的同學(xué)討論，猜一猜結(jié)論是否成立．由此我們得到了判定菱形的又一種方法：四條邊都相等的四邊形是菱形．其實(shí)，這個(gè)結(jié)論同樣是正確的．這里的條件能否再減少一些呢？能否類似對(duì)矩形的討論那樣，有三條邊相等的四邊形就是菱形了呢？猜一猜，并試著畫(huà)一畫(huà)，你就會(huì)知道，這個(gè)結(jié)論是不成立的．菱形的判定方法1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形3.四條邊都相等的四邊形是菱形2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形1.下列條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）．Ａ.AC⊥BD，AC與BD互相平分Ｂ.AB=BC=CD=DA

Ｃ.AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD

Ｄ.AB=CD，AD=BC，AC⊥BDOADCBC2.已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD,與BC相交于點(diǎn)E,EF//AB,與AD相交于點(diǎn)F.求證:四邊形ABEF是菱形.ABCDEF3.已知如圖，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分線，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。