高考數(shù)學(xué)(考點(diǎn)解讀-命題熱點(diǎn)突破)專題12-空間幾何體的三視圖﹑表面積及體積-理

PAGEPAGE15專題12空間幾何體的三視圖﹑表面積及體積【命題熱點(diǎn)突破一】三視圖與直觀圖1．一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長(zhǎng)度與正(主)視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”．2．由三視圖還原幾何體的步驟一般先從俯視圖確定底面再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體．例1、【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【方法技巧】空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果．【變式探究】(1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()(2)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()答案(1)D(2)D解析(1)由俯視圖，易知答案為D.(2)如圖所示，點(diǎn)D1的投影為C1，點(diǎn)D的投影為C，點(diǎn)A的投影為B，故選D.【命題熱點(diǎn)突破二】幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考中常見的一個(gè)考點(diǎn)，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧，把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧．例2、【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】該幾何體直觀圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和故選A．【方法技巧】(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個(gè)計(jì)算各個(gè)面的面積，然后求和．(2)求體積時(shí)可以把空間幾何體進(jìn)行分解，把復(fù)雜的空間幾何體的體積分解為一些簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差．求解時(shí)注意不要多算也不要少算．【變式探究】在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是直角邊的長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點(diǎn)，則三棱錐PA1MN的體積是________．答案eq\f(1,24)解析由題意知還原后的幾何體是一個(gè)直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，高為1的直三棱柱，∵，又∵AA1∥平面PMN，∴＝VA-PMN，∴VA-PMN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24)，故＝eq\f(1,24).【命題熱點(diǎn)突破三】多面體與球與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．例3、【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】該幾何體直觀圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和故選A．【方法技巧】三棱錐P－ABC可通過補(bǔ)形為長(zhǎng)方體求解外接球問題的兩種情形：(1)P可作為長(zhǎng)方體上底面的一個(gè)頂點(diǎn)，A、B、C可作為下底面的三個(gè)頂點(diǎn)；(2)P－ABC為正四面體，則正四面體的棱都可作為一個(gè)正方體的面對(duì)角線．【變式探究】在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則三棱錐A－BCD的外接球體積為________.答案eq\r(6)π解析如圖，以AB，AC，AD為棱把該三棱錐擴(kuò)充成長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的外接球恰為三棱錐的外接球，∴三棱錐的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)．據(jù)題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB·AC＝\r(2)，,AC·AD＝\r(3)，,AB·AD＝\r(6)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝\r(2)，,AC＝1，,AD＝\r(3)，))∴長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(AB2＋AC2＋AD2)＝eq\r(6)，∴三棱錐外接球的半徑為eq\f(\r(6),2).∴三棱錐外接球的體積為V＝eq\f(4,3)π·(eq\f(\r(6),2))3＝eq\r(6)π.【高考真題解讀】1、【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】該幾何體直觀圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和故選A．2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）（A）（B）（C）（D）【答案】C3.【2016年高考北京理數(shù)】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）B.C.D.【答案】A【解析】分析三視圖可知，該幾何體為一三棱錐，其體積，故選A.4.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）（A）（B）（C）90（D）81【答案】B【解析】由三視圖該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱，所以該幾何體的表面積，故選B．5.【2016高考山東理數(shù)】一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為（）（A）（B）（C）（D）【答案】C6.【2016高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足則（）A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n【答案】C【解析】由題意知，．故選C．7.【2016年高考四川理數(shù)】已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是.【答案】【解析】由三棱錐的正視圖知，三棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，2,2，所以，該三棱錐的體積為.8.【2016高考浙江理數(shù)】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是cm2，體積是cm3.【答案】【解析】幾何體為兩個(gè)相同長(zhǎng)方體組合，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為4,2,2，所以體積為，由于兩個(gè)長(zhǎng)方體重疊部分為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，所以表面積為1．(2015·廣東，8)若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A．大于5 B．等于5C．至多等于4 D．至多等于3解析當(dāng)n＝3時(shí)顯然成立，故排除A，B；由正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，兩兩距離相等，得n＝4時(shí)成立，故選C.答案C2．(2015·浙江，2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A．8cm3 B．12cm3 C.eq\f(32,3)cm3 D.eq\f(40,3)cm33．(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，11)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝()A．1 B．2C．4 D．8解析由題意知，2r·2r＋eq\f(1,2)·2πr·2r＋eq\f(1,2)πr2＋eq\f(1,2)πr2＋eq\f(1,2)·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.答案B4．(2015·天津，10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.解析由三視圖可知，該幾何體由相同底面的兩圓錐和圓柱組成，底面半徑為1，圓錐的高為1，圓柱的高為2，所以該幾何體的體積V＝2×eq\f(1,3)π×12×1＋π×12×2＝eq\f(8,3)πm3.答案eq\f(8,3)π5．(2015·陜西，5)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋46.(2015·安徽，7)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3) C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)解析由空間幾何體的三視圖可得該空間幾何體的直觀圖，如圖，∴該四面體的表面積為S表＝2×eq\f(1,2)×2×1＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3)，故選B.答案B7．(2015·新課標(biāo)全國Ⅱ，9)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36π B．64π C．144π D．256π答案C8．(2015·山東，7)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(4π,3) C.eq\f(5π,3) D．2π解析如圖，由題意，得BC＝2，AD＝AB＝1.繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐的組合體．所求體積V＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5,3)π.答案C9．(2015·重慶，5)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,3)＋π B.eq\f(2,3)＋π C.eq\f(1,3)＋2π D.eq\f(2,3)＋2π解析這是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體，V＝eq\f(1,2)π×12×2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×1＝π＋eq\f(1,3)，選A.答案A10．(2015·新課標(biāo)全國Ⅱ，6)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖所示，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,7) C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)解析如圖，由題意知，該幾何體是正方體ABCD－A1B1C1D1被過三點(diǎn)A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分為三棱錐A－A1B1D1，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為＝＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×12×1,13－\f(1,3)×\f(1,2)×12×1)＝eq\f(1,5)，選D.答案D11