【高中物理競(jìng)賽專題大全】競(jìng)賽專題1力學(xué)50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練解析版

【高中物理競(jìng)賽專題大全】競(jìng)賽專題1力學(xué)50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）某同學(xué)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間練習(xí)，掌握了控制籃球的技巧。如圖所示，在距離地面一定高度的地方，讓其轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，初速度為0釋放，和地面發(fā)生彈性碰撞，即在豎直方向速度大小不變。下面說(shuō)法中正確的有（）A．不考慮空氣影響，地面有摩擦，則碰撞前后相比動(dòng)能總量增加B．不考慮空氣影響，地面有摩擦，摩擦系數(shù)為μ，則籃球彈起瞬間，速度方向和豎直方向的夾角的最大可能值為arctanμC．不考慮空氣影響，地面光滑，則籃球一定豎直彈起D．考慮空氣影響，籃球的落點(diǎn)會(huì)比釋放點(diǎn)偏右【答案】C【解析】【詳解】A．動(dòng)能包括平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，摩擦力做功總是損失動(dòng)能，即增加的平動(dòng)動(dòng)能小于減少的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．在碰撞過(guò)程中質(zhì)心速度反向，于是可知支持力沖量為2mv，對(duì)應(yīng)摩擦力沖量的最大值2μmv，摩擦力提供的最大的水平速度為2μv（相對(duì)運(yùn)動(dòng)一直存在，也即要求球一開(kāi)始的轉(zhuǎn)動(dòng)速度足夠大），那么彈起之后，速度與豎直方向的夾角最大值應(yīng)該為arctan（2μ），選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C．不考慮空氣影響，地面光滑，則籃球落地時(shí)水平方向不受力，則籃球一定豎直彈起，選項(xiàng)C正確；D．考慮空氣影響，籃球順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則其落點(diǎn)會(huì)比釋放點(diǎn)偏左，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故選C。2．（2020·全國(guó)·高三競(jìng)賽）有兩個(gè)同樣的梯子，其頂部用活頁(yè)連在一起，在兩梯中間某相對(duì)的位置用一輕繩系住，便形成了人字梯。如圖所示，將兩個(gè)同樣的人字梯甲、乙放置于水平地面上，甲梯用的繩更長(zhǎng)一些。當(dāng)某人先、后站在甲、乙兩梯頂端時(shí)，下述說(shuō)法正確的是（）A．甲梯所受地面的支持力一定較大B．甲、乙兩梯所受地面的支持力一定相等C．繩子被張緊時(shí)，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的大D．繩子被張緊時(shí)，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的小【答案】B【解析】【分析】【詳解】本題考查現(xiàn)實(shí)模型的受力分析。將人字梯和人作為整體，甲、乙兩梯所受地面的支持力等于兩梯和人的重力之和，故甲、乙兩梯所受地面的支持力相等，A錯(cuò)誤，B正確；輕繩完全張緊時(shí)，對(duì)整體分析可知，人形梯水平方向上不受地面的摩擦力作用，C、D錯(cuò)誤。二、多選題3．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）如圖所示，某同學(xué)經(jīng)過(guò)段時(shí)間練習(xí)，掌握了利用在瓶中裝不同高度的水，在瓶口吹出不同頻率聲音，以演奏樂(lè)曲的技巧。以下說(shuō)法中正確的有（）A．若瓶中水柱高度之比為2：3：4，則吹出來(lái)的聲音頻率之比也為2：3：4B．吹出來(lái)聲音頻率主要由在空氣柱中聲波形成的駐波頻率來(lái)決定C．空氣駐波在水面附近是波節(jié)，在瓶口附近是波腹D．空氣柱長(zhǎng)度越長(zhǎng)，發(fā)出的聲音頻率越高【答案】BC【解析】【詳解】AD．用嘴吹瓶子時(shí)是靠里面的空氣柱發(fā)聲，空氣柱越短振動(dòng)越快，發(fā)出的聲音頻率越高，音調(diào)越高，與水柱高度無(wú)關(guān)，則AD錯(cuò)誤；B．吹出來(lái)聲音頻率主要由在空氣柱中聲波形成的駐波頻率來(lái)決定，駐波頻率越高，則吹出來(lái)的聲音頻率越高，選項(xiàng)B正確；C．空氣駐波在水面附近是波節(jié)，在瓶口附近是波腹，選項(xiàng)C正確。故選BC。4．（2020·全國(guó)·高三競(jìng)賽）甲、乙兩車在同一平直公路上以相同速度30m/s同向行駛，甲車在前，乙車在后，兩車距離100m。從時(shí)起，甲、乙兩車的加速度隨時(shí)間變化如圖所示。取運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍旅嬲f(shuō)法正確的是（）A．t=3s時(shí)刻兩車距離最近B．t=9s時(shí)刻兩車距離為100mC．3~9s內(nèi)乙車做勻減速運(yùn)動(dòng)D．t=9s時(shí)刻乙車速度為零【答案】CD【解析】【詳解】A．圖像的面積表示速度變化量，因此在３s末甲車的速度變化量為可知此時(shí)甲車的速度為零，甲車的位移為乙車的位移為則此時(shí)兩車之間的距離為此時(shí)乙車沒(méi)追趕上甲車，乙車速度比甲車速度大，因此距離進(jìn)一步縮小，A錯(cuò)誤；BCD．甲車9s末的速度為乙車9s末的速度為乙車在3~9s做勻減速運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明甲乙兩車在3~9s互逆向運(yùn)動(dòng)，因此位移大小相等，因此9s的距離和3s末相同為55m，故B錯(cuò)誤CD正確；故選CD。三、填空題5．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）一質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)小球靜止在水平桌面上，小球和桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小為g。用一根水平輕桿擊打小球，擊打位置位于球心所在的水平面上，擊打方向正對(duì)球心，擊打時(shí)間極短，小球獲得的水平?jīng)_量為p。從擊打結(jié)束開(kāi)始經(jīng)___________時(shí)間后小球開(kāi)始純滾動(dòng)，小球開(kāi)始純滾動(dòng)時(shí)的速度為_(kāi)__________。已知小球繞球心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。【答案】

【解析】【詳解】[1]由于擊打方向正對(duì)球心，所以小球只獲得平動(dòng)初速度，其大小為①根據(jù)牛頓第二定律可得小球平動(dòng)的加速度大小為②由于摩擦力矩的作用，小球獲得了角加速度，其大小為③設(shè)從擊打結(jié)束開(kāi)始經(jīng)時(shí)間t小球開(kāi)始純滾動(dòng)，此時(shí)小球邊緣轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度大小等于平動(dòng)時(shí)的速度大小，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有④聯(lián)立①②③④解得⑤[2]小球開(kāi)始純滾動(dòng)時(shí)的速度為⑥6．（2020·全國(guó)·高三競(jìng)賽）海平面能將無(wú)線電波全反射，反射波與入射波之間存在由于反射造成的半個(gè)波長(zhǎng)的相位突變。一艘船在其離海平面高度為25m的桅桿上裝有發(fā)射天線，向位于海岸高處的山頂接收站發(fā)射波長(zhǎng)在2~4m范圍內(nèi)的無(wú)線電波。當(dāng)船駛至與接收站的水平距離L越接近2000m，山頂接收站所接收到的信號(hào)越弱；當(dāng)L=2000m時(shí)失去無(wú)線電聯(lián)系。山頂接收站海拔高度為150m。船上天線發(fā)出的無(wú)線電波中有一部分直接傳播到接收站，另一部分經(jīng)海平面反射后傳播到接收站，兩列波的幾何波程差為_(kāi)__m，該無(wú)線電波的實(shí)際波長(zhǎng)為_(kāi)__m。【答案】

3.74

3.74【解析】【詳解】[1][2]兩列波的傳播關(guān)系如圖所示則有波程差為因由半波損失，則信號(hào)站信號(hào)弱因?yàn)閮闪胁ǒB加減弱造成，因此應(yīng)有又因波長(zhǎng)為2~4m，因此實(shí)際波長(zhǎng)為3.74m7．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）圖中的為等邊三角形，連接邊、邊的中點(diǎn)、，再連接、的中點(diǎn)、……如此繼續(xù)下去，構(gòu)成無(wú)限內(nèi)接等邊三角形系列．設(shè)所有線段的質(zhì)量線密度相同，邊的質(zhì)量為，長(zhǎng)度為，那么等邊三角形系列的總質(zhì)量為_(kāi)________，系統(tǒng)質(zhì)心與邊的距離為_(kāi)_________.【答案】

【解析】【詳解】依題意，等邊三角形系列的總質(zhì)量為.和的質(zhì)量同為，兩者的質(zhì)心與的距離同為.……各邊的質(zhì)量為、、、……各邊的質(zhì)心與邊的距離為、、、……系統(tǒng)的質(zhì)心與邊的距離為將大括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)中的第一項(xiàng)相加得：將大括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)中的第二項(xiàng)相加得：將大括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)中的第三項(xiàng)相加得：…….8．（2020·全國(guó)·高三競(jìng)賽）為了提高風(fēng)力發(fā)電的效率，我國(guó)目前正逐步采用變槳距（即調(diào)節(jié)風(fēng)機(jī)葉片與風(fēng)輪平面之間的夾角，當(dāng)風(fēng)速小時(shí)使葉片的迎風(fēng)面積增大，當(dāng)風(fēng)速超過(guò)一定限度時(shí)使葉片的迎風(fēng)面積減小，以穩(wěn)定其輸出功率）控制風(fēng)力發(fā)電機(jī)替代定槳距控制風(fēng)力發(fā)電機(jī)。圖a所示中風(fēng)力發(fā)電機(jī)每片葉片長(zhǎng)度為54m，定槳距風(fēng)機(jī)和變槳距風(fēng)機(jī)的功率與風(fēng)速的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖b所示，所處地域全天風(fēng)速均為7.5m/s，空氣密度為1.29kg/m3，煤的燃燒值為2.9×107J/kg。每小時(shí)進(jìn)入一臺(tái)變槳距控制風(fēng)力發(fā)電機(jī)的風(fēng)的初始動(dòng)能與完全燃燒___kg煤所放出的熱量相當(dāng)，變槳距控制風(fēng)力發(fā)電機(jī)將風(fēng)能轉(zhuǎn)化成電能的效率為_(kāi)__%?！敬鸢浮?/p>

3.1×102

16【解析】【詳解】[1][2]在一個(gè)小時(shí)內(nèi)空氣進(jìn)入發(fā)電機(jī)的總質(zhì)量為則空氣的總動(dòng)能為則等效燃燒的煤的質(zhì)量為則進(jìn)風(fēng)的原始功率為由圖可知當(dāng)前風(fēng)速的實(shí)際功率為，因此效率為9．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）如圖所示，我們以太陽(yáng)為參照系，地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)周期為T，以地球?yàn)閰⒄障?，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)周期為T，則相鄰兩次月球-地球-太陽(yáng)排列成幾乎一條直線的時(shí)間差約為_(kāi)___________。記地球繞太陽(yáng)的軌道半徑為rE，月球繞地球的軌道半徑為rM（rE>>rM），以太陽(yáng)為參照系，月球運(yùn)動(dòng)過(guò)程，加速度的最小值和最大值的大小比例為_(kāi)______________?！敬鸢浮?/p>

【解析】【詳解】[1]設(shè)地球繞太陽(yáng)的角速度為ω1，月球繞地球的角速度為ω1，再經(jīng)過(guò)時(shí)間t后三個(gè)球排成幾乎一條直線，則解得[2]當(dāng)月球運(yùn)行到三球在一條直線且月球在中間時(shí)，加速度最小；當(dāng)月球運(yùn)行到三球在一條直線上，且地球在中間時(shí)，加速度最大，故有故有因?yàn)?，所以有所以四、?shí)驗(yàn)題10．（2020·全國(guó)·高三競(jìng)賽）實(shí)驗(yàn)題一單擺法測(cè)定重力加速度和待測(cè)金屬球材料的電導(dǎo)率【實(shí)驗(yàn)題目】根據(jù)下列給定的實(shí)驗(yàn)器材和內(nèi)容，設(shè)計(jì)單擺實(shí)驗(yàn)，測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣群痛郎y(cè)金屬球材料的電導(dǎo)率。【實(shí)驗(yàn)器材】(1).單擺裝置一套：包括一個(gè)半徑為的測(cè)角儀，量程為，分度值為。(2).帶擺線的鋁球一個(gè)（質(zhì)量、電導(dǎo)率）；帶擺線的待測(cè)金屬球一個(gè)（質(zhì)量）。(3).螺旋測(cè)微器一把、卷尺一個(gè)，多通道計(jì)時(shí)秒表一個(gè)（使用方法詳見(jiàn)“秒表使用說(shuō)明書(shū)”）。(4).釹鐵硼永磁鐵一塊。注意：磁鐵為易碎物品，使用中請(qǐng)勿掉落地面。(5).秒表盒一個(gè)、泡沫板幾塊和撲克一副（可用于墊高磁鐵）。(6).一次性口罩一個(gè)?！緦?shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)】(1).擺球的懸線較細(xì)，測(cè)量過(guò)程中不能用力拉扯擺線。(2).擺球與懸線使用膠粘合，使用過(guò)程中不能人為拉扯，輕拿輕放，人為情況導(dǎo)致的球線分離不能更換擺球。(3).不得在擺線等儀器上做任何標(biāo)記。(4).使用釹鐵硼永磁鐵時(shí)，請(qǐng)小心輕放，以免損壞，影響后續(xù)實(shí)驗(yàn)測(cè)量。(5).實(shí)驗(yàn)結(jié)束，必須將儀器設(shè)備整理為初始狀態(tài)。(6).實(shí)驗(yàn)過(guò)程中全程高清視頻監(jiān)控，任何惡意損壞實(shí)驗(yàn)伩器等不當(dāng)行為將每次扣15分。(7).測(cè)量過(guò)程中請(qǐng)佩戴口罩，空氣的流動(dòng)對(duì)測(cè)量結(jié)果有影響?！净A(chǔ)知識(shí)】(1).線性阻尼振動(dòng)把一個(gè)金屬小球拴在一根細(xì)長(zhǎng)的線上，當(dāng)細(xì)線質(zhì)量遠(yuǎn)小于小球質(zhì)量，小球的直徑遠(yuǎn)小于細(xì)線的長(zhǎng)度時(shí)，此裝置可以看作是一單擺。略去空氣的浮力以及擺線的伸長(zhǎng)量，且當(dāng)擺角較小時(shí)（小于等于），可以認(rèn)為單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。較長(zhǎng)時(shí)間觀察單擺的運(yùn)動(dòng)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，單擺的擺幅隨著時(shí)間衰減，這是空氣阻力在起作用。當(dāng)小球擺動(dòng)的速度很小時(shí)，空氣阻力近似與擺動(dòng)速度成線性關(guān)系，小球的運(yùn)動(dòng)稱為線性阻尼振動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)方程為，且有一般解，其中為擺角，為阻尼系數(shù)，為無(wú)阻尼簡(jiǎn)諧振動(dòng)的固有角頻率。線性阻尼振動(dòng)的角頻率與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率之間滿足。(2).運(yùn)動(dòng)金屬球在梯度磁場(chǎng)中受到的阻尼力梯度磁場(chǎng)指的是空間變化率（梯度）不為零的磁場(chǎng)。金屬球在這樣的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)在其內(nèi)部產(chǎn)生渦旋電流，因此會(huì)受到外磁場(chǎng)的作用。這個(gè)作用總是與金屬球的運(yùn)動(dòng)方向相反，稱之為磁阻尼力。金屬球在梯度磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的磁阻尼力與金屬球的電導(dǎo)率有關(guān)。如果金屬球在一個(gè)梯度為（常數(shù)）的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，磁阻尼力可以表達(dá)成：，其中是金屬球的半徑，為金屬球的運(yùn)動(dòng)速度，為金屬球材料的電導(dǎo)率?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容及要求】實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：①.使用鋁球做為單擺擺球，準(zhǔn)確測(cè)量長(zhǎng)沙的重力加速度。(1)選擇合適的測(cè)量工具，多次測(cè)量鋁球的直徑、單擺擺線的長(zhǎng)度，列出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求出平均值，并計(jì)算各物理量的不確定度。(2)設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)方案，觀測(cè)鋁球在線性空氣阻尼作用下，擺幅隨時(shí)間的變化，記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算周期；根據(jù)線性阻尼振動(dòng)方程一般解的形式，擬合計(jì)算空氣阻尼系數(shù)，分別估算兩者的不確定度。(3)根據(jù)測(cè)量結(jié)果，利用阻尼振動(dòng)周期的公式計(jì)算重力加速度，并估算其不確定度。②.測(cè)定鋁球在磁阻尼作用下做單擺運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù)。(1)在擺球靜止時(shí)，釹鐵硼磁鐵應(yīng)放置在擺球質(zhì)心的正下方處，觀測(cè)鋁球在磁阻尼作用下，擺幅隨時(shí)間的變化，記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。(2)根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合計(jì)算出此條件下單擺的阻尼系數(shù)，并估算其不確定度。③.測(cè)量待測(cè)金屬球材料的電導(dǎo)率(1)選擇合適的擺長(zhǎng)，分別在有、無(wú)磁鐵條件下，觀測(cè)待測(cè)金屬球單擺擺幅隨時(shí)間的變化，并記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。(2)根據(jù)上述測(cè)量結(jié)果分別計(jì)算出未知金屬球在有、無(wú)磁鐵時(shí)的阻尼系數(shù)和，并估算這兩個(gè)阻尼系數(shù)的不確定度。(3)根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果以及磁阻尼力公式：，推導(dǎo)出待測(cè)金屬球材料電導(dǎo)率的計(jì)算公式，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出待測(cè)金屬球材料的電導(dǎo)率，并估算其不確定度。實(shí)驗(yàn)要求：(1).請(qǐng)學(xué)生自行調(diào)整測(cè)角儀（半徑為）到合適的位置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量。(2).寫出實(shí)驗(yàn)原理、操作要點(diǎn)，列出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容保留必要的數(shù)據(jù)處理過(guò)程?！敬鸢浮恳?jiàn)解析【解析】【詳解】評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1．使用鋁球做單擺擺球，準(zhǔn)確測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?1)8分實(shí)驗(yàn)操作要點(diǎn)：1分①讓鋁球做小角度（小于）擺動(dòng)，當(dāng)擺球擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，使用多通道計(jì)時(shí)器記錄擺球擺動(dòng)30次的所有的時(shí)間。②鋁球拉至擺角大于時(shí)釋放，當(dāng)擺球角度達(dá)到時(shí)開(kāi)始記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄螺旋測(cè)微器零點(diǎn)誤差：次數(shù)123456平均時(shí)間（）59.0359.159.0759.0659.0859.0359.06擺線（）950.1950.2950.0949.9949.8950.0950.0鋁球直徑（）20.00220.00019.99920.00419.99819.99820.000實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理根據(jù)算術(shù)平均值的不確定度公式求解各測(cè)量物理量的不確定度得：；；；則擺長(zhǎng)為：評(píng)分：1）實(shí)驗(yàn)操作要點(diǎn)1分：每一點(diǎn)各占0.5分；2）數(shù)據(jù)記錄6分：周期、擺線、小球直徑各占2分。6組以上數(shù)據(jù)6分；3-5組計(jì)3分；少于3組計(jì)1.5分；沒(méi)有螺旋測(cè)微器的零點(diǎn)誤差扣1分。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或結(jié)果無(wú)單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過(guò)兩處有效數(shù)字錯(cuò)誤則數(shù)據(jù)部分計(jì)0分；3）不確定度的計(jì)算1分：計(jì)算結(jié)果無(wú)單位扣1分。只有實(shí)驗(yàn)結(jié)果，無(wú)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計(jì)零分。(2)8分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄和處理鋁球在空氣阻尼作用下，擺幅隨時(shí)間的變化數(shù)據(jù)周期數(shù)時(shí)間（）角度（）角度（）角度（）角度（）角度（）00.005.005.005.005.005.001019.674.664.674.664.684.672039.344.344.354.334.364.333059.034.034.054.044.054.034078.713.783.793.793.793.785098.413.573.563.553.563.5760118.133.333.333.343.353.3370137.793.143.153.143.163.1480157.422.982.992.992.992.9890177.202.782.812.792.822.78100196.842.662.672.652.682.66110216.572.492.512.502.512.49120236.232.382.392.392.42.38130255.952.242.252.252.252.24140275.652.142.132.132.132.14150295.312.002.012.012.012.00160314.971.931.931.921.931.93170334.691.821.831.821.821.82180354.301.741.731.741.741.74190374.031.661.651.651.651.66200393.801.591.581.591.591.59210413.411.501.501.511.501.50阻尼系數(shù)求解：2分方法一：多組數(shù)據(jù)擬合使用公式進(jìn)行擬合得到阻尼系數(shù)如下：鋁球12345平均擬合0.0041160.0040240.0040880.0040010.0041230.004070不確定度：方法二：?jiǎn)谓M數(shù)據(jù)擬合使用公式擬合可以得到阻尼系數(shù)：不確定度評(píng)分：1）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)6分：三組及以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并且單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大于等于11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)6分，少于3組數(shù)據(jù)或者單組只有8-10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)3分，單組數(shù)據(jù)少于8個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)0分。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或結(jié)果無(wú)單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過(guò)兩處有效數(shù)字錯(cuò)誤則數(shù)據(jù)部分計(jì)0分；（多組數(shù)據(jù)線性擬合評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一致）或者單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量角度衰減范圍大于3度并且單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大于等于11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)6分，單組及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量角度衰減角度范圍在2-3度或者單組只有8-10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)3分，單組數(shù)據(jù)少于8個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)0分。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或結(jié)果無(wú)單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過(guò)兩處有效數(shù)字錯(cuò)誤則數(shù)據(jù)部分計(jì)0分；2）擬合出阻尼系數(shù)：擬合出三組及以上阻尼系數(shù)、求出平均值并計(jì)算出不確定度計(jì)2分，少于三組擬合結(jié)果的減半計(jì)分；或者滿足單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量要求擬合出阻尼系數(shù)并計(jì)算出其不確定度計(jì)2分，計(jì)算結(jié)果無(wú)單位扣1分。只有實(shí)驗(yàn)結(jié)果，無(wú)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計(jì)零分。(3)求重力加速度根據(jù)；可得根據(jù)測(cè)量和計(jì)算結(jié)果，將數(shù)值代入公式由不確定度傳遞公式得：（或者）得：評(píng)分：1）重力加速度的公式1分；2）實(shí)驗(yàn)結(jié)果2分：重力加速度為（含不確定度的結(jié)果）2分；或者（含不確定度的結(jié)果）1分；實(shí)驗(yàn)結(jié)果無(wú)單位扣1分；計(jì)算過(guò)程無(wú)不確定度的求解公式扣1分。只有實(shí)驗(yàn)結(jié)果，無(wú)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計(jì)零分。2．測(cè)定鋁球在磁阻尼作用下做單擺運(yùn)動(dòng)的阻尼系數(shù)。(1)7分操作要點(diǎn)：1分①不改變第一問(wèn)鋁球做單擺運(yùn)動(dòng)的條件，待鋁球靜止時(shí)，將釹鐵硼方形磁鐵放置于鋁球質(zhì)心正下方處。②將鋁球拉至擺角大于時(shí)釋放，使得擺球正好從磁鐵的正中心擺過(guò)，當(dāng)擺球角度達(dá)到時(shí)開(kāi)始記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：6分鋁球在空氣阻尼和磁阻尼的作用下，擺幅隨時(shí)間的變化數(shù)據(jù)周期數(shù)時(shí)間（）角度（）角度（）角度（）角度（）角度（）00.005.005.005.005.005.0059.834.584.604.584.584.601019.684.184.194.194.184.181529.523.793.823.813.823.812039.363.493.483.493.483.492549.163.113.143.103.123.103058.972.792.812.802.812.803568.882.492.512.492.52.494078.712.112.122.112.122.114588.481.951.981.961.981.955098.351.701.721.701.721.7055108.231.491.501.501.501.49評(píng)分：1）實(shí)驗(yàn)操作要點(diǎn)1分；2）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)6分：三組及以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并且單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大于等于11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)6分，少于3組數(shù)據(jù)或者單組只有8-10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)3分，單組數(shù)據(jù)少于8個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)0分。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或結(jié)果無(wú)單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過(guò)兩處有效數(shù)字錯(cuò)誤則數(shù)據(jù)部分計(jì)0分；或者單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量角度衰減范圍大于3度并且單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大于等于11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)6分，單組及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量角度衰減角度范圍在2-3度或者單組只有8-10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)3分，單組數(shù)據(jù)少于8個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)0分。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或結(jié)果無(wú)單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過(guò)兩處有效數(shù)字錯(cuò)誤則數(shù)據(jù)部分計(jì)0分。(2)阻尼系數(shù)求解：2分方法一：多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合同理使用公式進(jìn)行擬合，得鋁球在磁場(chǎng)中擺動(dòng)的磁阻阻尼系數(shù)：鋁球12345平均擬合0.0062070.0060480.0062240.0061450.0062020.006165不確定度：方法二：?jiǎn)谓M實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合使用公式擬合可以得到阻尼系數(shù)：不確定度評(píng)分：擬合出三組及以上阻尼系數(shù)求出平均值并給出相應(yīng)的不確定度計(jì)算公式求出相應(yīng)的不確定度2分，少于三組擬合結(jié)果或者不給出不確定度求解公式減半計(jì)分；或者滿足單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量要求擬合出阻尼系數(shù)并給出相應(yīng)的不確定度計(jì)算公式求出相應(yīng)的不確定度計(jì)2分，計(jì)算結(jié)果無(wú)單位扣1分；只有實(shí)驗(yàn)結(jié)果，無(wú)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計(jì)零分。擬合出來(lái)的磁阻作用下的阻尼系數(shù)要大于空阻作用下的阻尼系數(shù)，趨勢(shì)不對(duì)則擬合結(jié)果記零分。3．測(cè)定待測(cè)金屬球材料的電導(dǎo)率。(1)12分操作要點(diǎn)：2.0分①取下鋁球，保持磁鐵位置不變。②將待測(cè)金屬球掛上，調(diào)整擺線的長(zhǎng)度使得擺線的長(zhǎng)度與原鋁球擺線長(zhǎng)度一致（球心到磁鐵距離與鋁球一致）。③將待測(cè)金屬球拉至擺角大于時(shí)釋放，使得擺球正好從磁鐵的正中心的豎直平面擺過(guò)，當(dāng)擺球角度達(dá)到時(shí)開(kāi)始記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（記錄待測(cè)金屬球在磁場(chǎng)中擺動(dòng)時(shí)，擺角隨時(shí)間的衰減規(guī)律）。④當(dāng)待測(cè)金屬球在磁場(chǎng)中擺動(dòng)的數(shù)據(jù)記錄完畢后，將磁鐵取下，同樣將待測(cè)金屬球拉至擺角大于時(shí)釋放，當(dāng)擺球角度達(dá)到時(shí)開(kāi)始記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（記錄待測(cè)金屬球在空氣中擺動(dòng)時(shí)，擺角隨時(shí)間的衰減規(guī)律）。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：10分待測(cè)金屬球在磁阻尼和空氣阻尼作用下，擺幅隨時(shí)間的變化數(shù)據(jù)周期數(shù)時(shí)間（）角度（）角度（）角度（）角度（）角度（）00.005.005.005.005.005.002039.384.634.634.634.634.634078.774.304.294.294.284.2860118.133.983.983.983.973.9680157.513.663.653.653.673.67100196.943.383.393.393.383.38120236.233.103.113.103.093.10140275.662.872.862.872.892.89160315.062.622.612.622.592.59180354.452.402.392.382.392.40200393.842.192.192.192.192.19220433.231.991.991.991.991.99待測(cè)金屬球在空氣阻尼作用下，擺幅隨時(shí)間的變化數(shù)據(jù)周期數(shù)時(shí)間（）角度（）00.005.003059.104.6560118.274.3190177.314.02120236.423.76150295.553.51180354.663.30210413.703.10240472.812.93270531.882.79300591.032.61330650.142.48360709.302.32390768.372.20420827.452.09450886.511.98待測(cè)金屬球直徑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄螺旋測(cè)微器零點(diǎn)誤差：次數(shù)123456平均待測(cè)金屬球直徑20.00220.00119.99920.00319.99819.99820.000評(píng)分：1）操作要點(diǎn)2分：2）待測(cè)金屬球在磁阻尼和空氣阻尼共同作用下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)6分：三組及以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并且單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大于等于11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)6分，少于3組數(shù)據(jù)或者單組只有8-10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)3分，單組數(shù)據(jù)少于8個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)0分。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或結(jié)果無(wú)單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過(guò)兩處有效數(shù)字錯(cuò)誤則數(shù)據(jù)部分計(jì)0分；（線性擬合多組數(shù)據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一致）或者單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量角度衰減范圍大于3度并且單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大于等于11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)6分，單組及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量角度衰減角度范圍在2-3度或者單組只有8-10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)3分，單組數(shù)據(jù)少于8個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)0分。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或結(jié)果無(wú)單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過(guò)兩處有效數(shù)字錯(cuò)誤則數(shù)據(jù)部分計(jì)0分；3）待測(cè)金屬球在空氣阻尼作用下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)3分：?jiǎn)谓M實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量角度衰減范圍大于3度并且單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大于等于11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)3分，單組及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量角度衰減角度范圍在2-3度或者單組只有8-10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)1.5分，單組數(shù)據(jù)少于8個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)0分。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或結(jié)果無(wú)單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過(guò)兩處有效數(shù)字錯(cuò)誤則數(shù)據(jù)部分計(jì)0分；或者說(shuō)明在擺長(zhǎng)、球的直徑、擺幅相同的情況下兩球的空氣阻尼阻尼系數(shù)一致并解釋其原因，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)部分計(jì)3分；4）待測(cè)金屬球直徑數(shù)據(jù)1分：6組以上數(shù)據(jù)1分；少于6組計(jì)0.5分；沒(méi)有螺旋測(cè)微器的零點(diǎn)誤差扣0.5分。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或結(jié)果無(wú)單位扣1分，有一處有效數(shù)字不正確扣1分，超過(guò)兩處有效數(shù)字錯(cuò)誤則數(shù)據(jù)部分計(jì)0分；(2)2分待測(cè)金屬球在空氣阻尼和磁阻阻尼作用下的阻尼系數(shù)：1.5分方法一：多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合使用公式擬合可得出待測(cè)金屬球在磁阻阻尼系數(shù)未知金屬球12345平均擬合0.0015570.0015550.0015510.0015620.0015610.001557不確定度：方法二：?jiǎn)谓M實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合使用公式擬合可以得到阻尼系數(shù)：不確定度待測(cè)金屬球空氣阻尼系數(shù)0.5分方法一：指數(shù)擬合得不確定度：方法二：線性擬合得不確定度：評(píng)分：2分1）擬合出待測(cè)金屬球的磁阻阻尼系數(shù)并利用公式求解出不確定度計(jì)1.5分；擬合出三組數(shù)據(jù)及以上的阻尼系數(shù)求出平均值并利用不確定度計(jì)算公式求出不確定度計(jì)1.5分，少于3組或者無(wú)不確定度計(jì)算公式計(jì)1分；或者滿足單組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量要求的擬合出阻尼系數(shù)并利用不確定度計(jì)算公式求出不確定度計(jì)1.5分；無(wú)不確定度計(jì)算公式扣1分；2）擬合出待測(cè)金屬球的空氣阻尼系數(shù)0.5分，無(wú)不確定度計(jì)算公式扣1；所有的計(jì)算結(jié)果無(wú)單位扣1分，只有實(shí)驗(yàn)結(jié)果，無(wú)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計(jì)零分。擬合出來(lái)的磁阻作用下的阻尼系數(shù)要大于空阻作用下的阻尼系數(shù)，鋁球的阻尼大于相同條件下的銅球的阻尼，趨勢(shì)不對(duì)則擬合結(jié)果記零分。(3)導(dǎo)出電導(dǎo)率的求解公式和實(shí)驗(yàn)結(jié)果處理電導(dǎo)率公式的推導(dǎo)因?yàn)樽枇Γ?；所以又因?yàn)?；所以其中式中、為待測(cè)金屬球和鋁球的電導(dǎo)率，、為待測(cè)金屬球和鋁球的質(zhì)量，、為待測(cè)金屬球和鋁球的半徑。實(shí)驗(yàn)結(jié)果處理將已知量代入公式求解待測(cè)金屬球的電導(dǎo)率得：不確定度：則：故評(píng)分：1）電導(dǎo)率公式推導(dǎo)10分：、、各2分；2）待測(cè)金屬球電導(dǎo)率結(jié)果6分：6分；或者3分；其余結(jié)果計(jì)0分；實(shí)驗(yàn)結(jié)果無(wú)單位扣2分；只有實(shí)驗(yàn)結(jié)果，無(wú)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與結(jié)果不相關(guān)的計(jì)零分。3）實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不確定度分析2分。無(wú)不確定度計(jì)算公式扣1分。五、解答題11．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）如圖所示，在一次紅、藍(lán)兩軍的對(duì)抗模擬演習(xí)中，紅軍飛機(jī)在藍(lán)軍上空飛行，飛行高度，藍(lán)軍一高射炮發(fā)現(xiàn)目標(biāo)．到飛機(jī)原飛行路徑（直線）在水平面上的投影（直線）的距離為，發(fā)射炮彈速度為（1）要使每炮均擊在飛機(jī)的原飛行路徑上，那么的對(duì)準(zhǔn)線與平面的交點(diǎn)軌跡是怎樣的曲線，定量求之（2）如果飛機(jī)在距最近的處發(fā)現(xiàn)了，決定在的平面先作圓周運(yùn)動(dòng)再丟下一個(gè)和飛機(jī)速度相同的炸彈攻擊．．試求飛機(jī)做圓周運(yùn)動(dòng)半徑大?。?）當(dāng)飛機(jī)在處并決定作出（2）中所述行動(dòng)的同時(shí)，也發(fā)現(xiàn)了飛機(jī)的行動(dòng)，設(shè)此時(shí)對(duì)準(zhǔn)上方，水平角度調(diào)整速度，豎直方向調(diào)整時(shí)間忽略．定量計(jì)算并指出高射炮能否在飛機(jī)丟炸彈前擊下飛機(jī)【答案】(1)對(duì)準(zhǔn)點(diǎn)軌跡為一個(gè)圓：(2)(3)高射炮能在飛機(jī)拋炸彈前打下飛機(jī)【解析】【詳解】（1）如圖作坐標(biāo)系．對(duì)于處飛機(jī)路徑上的點(diǎn)，炮水平偏角，有，設(shè)瞄準(zhǔn)的高度為，對(duì)于拋出的炮彈：將①式代入②式得出故對(duì)準(zhǔn)點(diǎn)軌跡為一個(gè)圓：（2）設(shè)飛機(jī)飛地半徑為，于是拋出炸彈走的水平距離為對(duì)于炸彈，有由此得出（3）飛機(jī)飛到拋炸彈處所用時(shí)間為對(duì)于高射炮，只考慮其在一特殊情況下的時(shí)間：先對(duì)準(zhǔn)飛機(jī)拋炸彈處再射出炮彈．調(diào)整時(shí)間對(duì)于炮彈，有由上述式子可得取較小的通過(guò)計(jì)算得，，由，高射炮能在飛機(jī)拋炸彈前打下飛機(jī)12．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）小球A、B、在光滑的水平面上沿一直線靜止放置，A、B質(zhì)量不等，B、質(zhì)量相同，B與B'間有一輕彈簧連接，彈簧處于自由長(zhǎng)度狀態(tài)，讓A對(duì)準(zhǔn)B勻速運(yùn)動(dòng)，彈性碰撞后，接著又可觀察到A、B兩球間發(fā)生一次相遇不相碰事件，試求A質(zhì)量與B質(zhì)量的比值．（給出3位有效數(shù)值）【答案】【解析】【詳解】將B、的質(zhì)量同記為m，A質(zhì)量便是，再將A的初速度記為，A、B相碰后，A的速度和B的速度可由下面的方程組確定：，解得，．按圖中位置的x軸碰撞時(shí)刻t=0，而后A的運(yùn)動(dòng)可表述為，碰后，B、彈簧、系統(tǒng)質(zhì)心C將做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為．B沿x軸方向相對(duì)C的初速度為設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，從B到C一段彈簧的勁度系數(shù)便是，B相對(duì)于C做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，有，．由初始條件t=0時(shí)，，可得振幅和初相分別是，．于是，．相對(duì)于水平面沿x軸方向的運(yùn)動(dòng)便是，．某個(gè)時(shí)刻，A、B相遇而不相碰的條件是，，即，．移項(xiàng)后兩式平方相加及兩式相除，整理后得①（在第三象限），②由①得，，代入②得，．采用計(jì)算器二分逼近法可得【點(diǎn)睛】碰撞與彈簧相結(jié)合的題目自然是難題了．本題的另一個(gè)難度則是在解答過(guò)程中出現(xiàn)超越方程的處理方式，從目前的條件來(lái)看，功能強(qiáng)大的計(jì)算器自然能起到很大的幫助，但圖像的處理方式也是競(jìng)賽學(xué)習(xí)中必須掌握的基本方法．需要提示的是，在研究復(fù)雜的振動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)類似的超越方程，其處理方法應(yīng)掌握好．13．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）一個(gè)原長(zhǎng)為L(zhǎng)、彈性系數(shù)為k的輕軟彈簧一端懸掛在轉(zhuǎn)軸上，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為m的球體．彈簧自水平、自然伸長(zhǎng)狀態(tài)釋放，如圖甲所示．當(dāng)彈簧達(dá)到豎直位置時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度是多少？（軟彈簧意味著，因此彈簧內(nèi)部的張力始終直接正比于其伸長(zhǎng)量）【答案】【解析】【詳解】由于彈簧很軟，初始時(shí)球體實(shí)際上做自由落體運(yùn)動(dòng)．彈簧的長(zhǎng)度很快變?yōu)樵L(zhǎng)度的數(shù)倍（原長(zhǎng)度在后續(xù)運(yùn)動(dòng)中可以忽略不計(jì)）．在這樣的近似下，球體在水平和豎直兩個(gè)方向上均做簡(jiǎn)諧振動(dòng)．由于小球剛剛釋放時(shí)初速度為0，它到達(dá)懸掛點(diǎn)正下方時(shí)水平振動(dòng)剛好經(jīng)過(guò)周期．同時(shí)，豎直方向的運(yùn)動(dòng)也相應(yīng)地完成周期，到達(dá)懸掛點(diǎn)正下方的平衡位置，距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于彈簧的原長(zhǎng)度為．小球的運(yùn)動(dòng)也可以用方程來(lái)定量描述，在如圖乙所示的坐標(biāo)系中，小球在點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方程為在小球運(yùn)動(dòng)的初期，彈簧的伸長(zhǎng)量與原長(zhǎng)度L相比很小，彈簧的彈力可忽略不計(jì)．另一方面，當(dāng)時(shí)，彈簧的原長(zhǎng)可以忽略，小球的運(yùn)動(dòng)方程可以簡(jiǎn)化為和．這兩個(gè)方程描述的周期相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，平衡位置分別為x方向的原點(diǎn)和y方向坐標(biāo)為的位置．考慮振動(dòng)的初始條件，有，小球位于懸掛點(diǎn)正下方時(shí)，，，與前面的結(jié)論是一致的．當(dāng)然，小球最終還可以到達(dá)的位置．【點(diǎn)睛】這是一個(gè)平面振動(dòng)系統(tǒng)的模型，而且，它們的平衡位置是錯(cuò)位的，求解它們必須是在熟練地掌握運(yùn)動(dòng)的合成及振動(dòng)的規(guī)律運(yùn)用的基礎(chǔ)上進(jìn)行．從另一方面講，本題仍然只是給出了一個(gè)基本的運(yùn)動(dòng)模型，命題人完全可以在此模型的基礎(chǔ)上增加一些附加的結(jié)構(gòu)，以增加難度，進(jìn)而達(dá)到考查能力的目的．14．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）如圖所示，有一輛左右對(duì)稱的光滑小車，質(zhì)量為M，放在光滑水平面上，不考慮輪子質(zhì)量。重力加速度為g。將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。如圖放置，初態(tài)質(zhì)點(diǎn)和小車都靜止，然后自由釋放。小球下降r之后進(jìn)入半徑為r的圓弧，經(jīng)過(guò)圓心角為后騰空一段距離l后恰好相對(duì)小車沿切線進(jìn)入右側(cè)圓弧，最終上升到右側(cè)與初態(tài)相同高度的點(diǎn)。(1)求出質(zhì)點(diǎn)剛開(kāi)始騰空時(shí)，小車的速度大小(2)為了使得質(zhì)點(diǎn)恰好進(jìn)入右側(cè)圓弧，l應(yīng)當(dāng)為多少。【答案】(1)；(2)【解析】【詳解】(1)假設(shè)小球在地面系中擁有水平速度v，豎直速度v，車擁有水平速度u由水平方向車球系統(tǒng)動(dòng)量守恒知列出在脫離瞬間的能量守恒速度約束條件題目給出；在第一個(gè)和第二個(gè)式子中左右同除M，新的三個(gè)方程只含三個(gè)速度作為未知量，解得(2)在小車系中，球以的初始速度，在脫離后做斜拋運(yùn)動(dòng)，其射程即為l，列出方程帶入得15．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）一質(zhì)量為，傾角為的斜面放置在光滑水平面上，另一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓柱體沿斜面無(wú)滑動(dòng)滾下，如圖所示（1）建立斜面和圓柱體的動(dòng)力學(xué)方程，并指出圓柱體作純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件（2）確定此力學(xué)系統(tǒng)的守匣量，并給出具體的表達(dá)式（3）求解斜面的加速度，以及圓柱體質(zhì)心相對(duì)于斜面的加速度【答案】(1)即,圓柱體作純滾動(dòng)的條件為(2)(3)解得斜面加速度和圓柱體質(zhì)心的相對(duì)加速度分別為,【解析】【詳解】選擇地面為定參考系，動(dòng)參考系在斜面上，如圖所示．設(shè)斜面有向右的加速度，圓柱體質(zhì)心有相對(duì)于斜面的加速度（設(shè)其方向沿斜面向下），以圓柱體質(zhì)心為動(dòng)點(diǎn)，斜面為動(dòng)系，由加速度合成定理，而，故有．于是，得到，．對(duì)斜面應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有．①對(duì)圓柱體質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為，．考慮到，．于是，有，②．③設(shè)圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為（設(shè)為逆時(shí)針轉(zhuǎn)，根據(jù)動(dòng)量矩定理，有，即．④圓柱體作純滾動(dòng)的條件為．⑤（2）設(shè)斜面有向右的速度，圓柱體質(zhì)心相對(duì)于斜面有向下的速度，如圖所示，根據(jù)速度合成定理，有，而，故有．于是，得到，．以斜面和圓柱體組成系統(tǒng)，該系統(tǒng)水平方向上不受外力，由系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒，可得．兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并考慮到，，即得．⑥（3）聯(lián)立式①～⑥，解得斜面加速度和圓柱體質(zhì)心的相對(duì)加速度分別為，16．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）兩相互咬合良好，且導(dǎo)通的金屬盤狀齒輪、均可繞水平軸無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，而由另一個(gè)與同軸絕緣滑輪上有細(xì)繩，下掛一重物，質(zhì)量為，、、的半徑分別為，，，質(zhì)量分別為，，，且兩軸、間連有電阻，大小為．其他電阻均不計(jì)，空間中分布有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，大小為，方向垂直于金屬盤，試問(wèn)：（1）對(duì)任一時(shí)刻（時(shí)，下落速度），與流過(guò)的總電量滿足：，，為常量，試求之（2）重物下落至勻速時(shí)的速度（3）當(dāng)時(shí)，重物的加速度【答案】(1)，(2)(3)【解析】【詳解】(1)設(shè)輪角速度大小為，則也為，而角速度為，從而，電流再進(jìn)行力學(xué)分析，電流對(duì)，輪產(chǎn)生的力矩分別為，設(shè)輪角加速度為，則其中為、輪切點(diǎn)作用力，為繩中的張力，而，，分別為、，輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．①③式入②式得．④又，，即對(duì)上式求和，最終有故，（2）當(dāng)重物勻速下降時(shí)，有即，且，解得所以，（3）當(dāng)時(shí)，從而，代入④式得所以，17．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）如圖所示，空間中有一水平面，其右側(cè)為一垂直于水平面的墻面．現(xiàn)使空間內(nèi)具有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，大小為，方向如圖所示，已知一質(zhì)量為，帶電量為的小球，在距墻左處的水平面上以速度開(kāi)始向右水平運(yùn)動(dòng)，設(shè)球與水平面動(dòng)摩擦因數(shù)為，且與墻的碰撞為彈性的．試問(wèn)：（1）要使小球曾經(jīng)運(yùn)動(dòng)到平面以上，且最后以垂直于墻面的速度與墻相碰，以上數(shù)據(jù)應(yīng)滿足的條件．（2）設(shè)小球可以運(yùn)動(dòng)到平面以上，并且為（1）中所滿足條件的次小值，而且由小球運(yùn)動(dòng)到靜止用時(shí)為．小球最終停在何處？（3）若小球始終緊貼水平面運(yùn)動(dòng)，且最終靜止于原出發(fā)點(diǎn)，則從出發(fā)到靜止耗時(shí)為多少？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【解析】【詳解】（1）若要小球可以運(yùn)動(dòng)到平面以上，則首先有，接下來(lái)，我們將分解成和，其中，則．于是小球的運(yùn)動(dòng)分解成水平向右的速度為的直線運(yùn)動(dòng)及速率為的逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的合成，且易知此圓周運(yùn)動(dòng)中，有，．當(dāng)小球速度垂直于墻時(shí)，此時(shí)，現(xiàn)討論如下：①，即，則此種情況下，小球運(yùn)動(dòng)的軌跡下方拐點(diǎn)處速度向右，上方拐點(diǎn)處速度向左，當(dāng)小球垂直撞墻時(shí)，必有，則②，即，則此種情況下，小球運(yùn)動(dòng)的軌跡上、下方拐點(diǎn)處的速度都向右，則時(shí)，小球均可垂直撞墻，故有另外，當(dāng)時(shí)，我們注意到小球軌跡為如圖所示，要使小球在處于時(shí)碰撞，則拐點(diǎn)面必須在面左方，即是說(shuō)，對(duì)于任一，要求有其中，為圓周運(yùn)動(dòng)半徑，，對(duì)于上式右邊求最值，易知，即合速度豎直向上時(shí)，右邊最大，從而應(yīng)滿足化簡(jiǎn)得綜上所述．?dāng)?shù)據(jù)應(yīng)滿足條件為（1*）或（2*）如下1*．2*．（2）當(dāng)滿足（1）中條件1*時(shí)，我們知，，故由題意，碰后返回所用時(shí)間為．而這段時(shí)間內(nèi)，有支持力，且滿足．從而，直到小球停止時(shí)，總沖量．其中即小球碰后所有距離，由動(dòng)量定理，則．故而得：．同理，當(dāng)滿足（1）中條件2*時(shí)，得．（3）由題意，此時(shí)，對(duì)于碰墻前時(shí)刻，有．故而，．與（2）同理可知，碰墻時(shí)速度滿足．而對(duì)于碰撞后到靜止，同理有，故而．所以總時(shí)間．18．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）如圖所示，一水平光滑圓盤繞著通過(guò)點(diǎn)并垂直于盤面的定軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)．盤上有一個(gè)以為圓心的圓形軌道，一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)被約束在軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)與軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)為．開(kāi)始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度為，試分析：（1）運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度（2）軌道對(duì)質(zhì)點(diǎn)約束反力的大小（3）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路程與時(shí)間的關(guān)系．【答案】（1）（2）（3）【解析】【詳解】（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)受軌道壓力，動(dòng)摩擦力．應(yīng)用動(dòng)靜法，則質(zhì)點(diǎn)還有離心慣性力，和科氏慣性力．，①．②方向如圖所示．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓周線，采用自然坐標(biāo)系，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為，③④由式④可得⑤將式⑤代入式③中，可得⑥將式⑥分離變量，可得兩邊積分，化簡(jiǎn)得⑦（2）將式⑦代入式⑤中，得到⑧即為軌道對(duì)質(zhì)點(diǎn)的約束反力．（3）根據(jù)，得⑨對(duì)式⑨兩邊積分，并考慮初始條件：時(shí)，有．于是，有19．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）有一個(gè)豎直光滑輕軒固定在質(zhì)量的寬大底座中央．一不可伸長(zhǎng)的輕繩長(zhǎng)，一端固定在桿頂，另一端連接在一個(gè)套在桿上的小輕環(huán)上，小輕環(huán)可沿桿自由運(yùn)動(dòng)（桿長(zhǎng)略大于）．另在輕繩上串一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)且小孔光滑的小珠，質(zhì)量為．平衡態(tài)下，小珠靠在小輕環(huán)上．之后給小珠一個(gè)與水平面夾向上的速度．在整個(gè)過(guò)程中，底座處于水平面內(nèi)不會(huì)翻轉(zhuǎn)．問(wèn)：小珠上升過(guò)程中，為使底座水平不動(dòng)，地面和底座的靜摩擦系數(shù)至少應(yīng)為多少？【答案】【解析】【詳解】由于環(huán)與桿無(wú)摩擦，又由繩張力的作用，輕環(huán)與小珠相連線時(shí)刻與桿垂直．如圖所示，以桿為軸，端點(diǎn)為原點(diǎn)，垂直方向?yàn)檩S建坐標(biāo)系，小珠運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)滿足，即故小珠運(yùn)動(dòng)軌跡為一拋物線，頂點(diǎn)為為求每一點(diǎn)曲率半徑，建立以下模型：小球以由高處平拋至地面，有于是令，有設(shè)，則對(duì)任一點(diǎn)有，速度方向又由于，且，，有于是對(duì)任一處有，可知初時(shí)，，的方向正好沿軌道切線速度方向向心力方向受合力受向心力為再考慮，當(dāng)坐標(biāo)時(shí)，有而，即有解出不妨設(shè)，那么考慮底座的受力于是為求最大值，，有估計(jì)大約值為運(yùn)用切線法，有做大略圖．由圖發(fā)現(xiàn)，處為極大值所以，20．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在行星繞太陽(yáng)的橢圓運(yùn)動(dòng)中，若令，，其中，為周期，為半長(zhǎng)軸，為離心率．在天文學(xué)上，稱為偏近點(diǎn)角，試證開(kāi)普勒方程：．（當(dāng)行星處子近日點(diǎn)時(shí)，取，即）注：偏近點(diǎn)角是過(guò)橢圓上的任意一點(diǎn)，垂直于橢圓半長(zhǎng)軸，交半長(zhǎng)軸外接圓的點(diǎn)到原點(diǎn)的直線與半長(zhǎng)軸所成夾角．在橢圓的參數(shù)方程，中，參數(shù)角即為偏近點(diǎn)角【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【詳解】方法1：由能量關(guān)系，得則．①由于，則．由于，其中，則．由于，則，②則，③．④把③④代入①，得．代入②，得．由開(kāi)普勒第三定律，得，則．積分，得．由于處于近點(diǎn)時(shí)，，而此時(shí)，得，則，即．方法2：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則軌道方程為．同時(shí)，，．對(duì)于任意一點(diǎn)，有，而，則．為此，作以為圓心，以為半徑的圓，方程為．過(guò)作軸平行線交圓于，則，．為從近日點(diǎn)到任意點(diǎn)的時(shí)間，其間轉(zhuǎn)過(guò)了圈，則．為面積速度，，關(guān)鍵是求，由于對(duì)于同樣的，橢圓、圓上對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)、，易知，則，則．又，．則，則，則，則．上面計(jì)算中，只取了中的一個(gè)值，故只需再推廣的定義，上式即化為．21．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）（1）質(zhì)量為的天體（例如太陽(yáng)）固定不動(dòng)，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)（例如小行星）以速度、瞄準(zhǔn)距離從無(wú)窮遠(yuǎn)處，在的萬(wàn)有引力作用下沿雙曲線軌道靠近運(yùn)動(dòng)，最后又遠(yuǎn)離而去．試求圖1所示的散射角（即運(yùn)動(dòng)方向的偏轉(zhuǎn)角）．（2）電量的帶電質(zhì)點(diǎn)（例如重原子核）近似不動(dòng)，質(zhì)量為、電量為的帶電質(zhì)點(diǎn)（例如如粒子）以速度、瞄準(zhǔn)距離從無(wú)窮遠(yuǎn)處（或足夠遠(yuǎn)處）靠近運(yùn)動(dòng)，又在庫(kù)侖力的作用下遠(yuǎn)離而去，試求圖2所示的散射角．【答案】（1）（2）【解析】【詳解】（1）如圖所示，雙曲線的參量記為、、，且．質(zhì)點(diǎn)位于內(nèi)焦點(diǎn)，雙曲線的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)相距，質(zhì)點(diǎn)在處的速度大小記為．由能量守恒有，由角動(dòng)量守恒有，可解得，，即．由幾何關(guān)系有，即有，所以，．（2）如同（1），如圖所示．由能量守恒有由角動(dòng)量守恒有可解得由幾何關(guān)系有．所以，22．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）如圖所示，遙遠(yuǎn)的太空中有一孤立星體，半徑為，質(zhì)量為，分布均勻．有一空間站在距球心的圓軌道上做無(wú)動(dòng)力飛行．現(xiàn)考慮從空間站向星體發(fā)射飛船，需要討論飛船的著陸問(wèn)題（1）人們提出了兩種著陸方案，方案一：飛船相對(duì)空間站發(fā)射時(shí)速度指向球心，大小為．方案二：飛船發(fā)射時(shí)相對(duì)空間站速度指向空間站運(yùn)動(dòng)的反方向，大小為，請(qǐng)分別求出與的大?。?）當(dāng)空間站運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)發(fā)射飛船，為使飛船能精確著陸在圖中的點(diǎn)，試求飛船發(fā)射時(shí)的相對(duì)空間站的速度．（以上問(wèn)題均不考慮空間站的反沖作用，且飛船總是沿切線方向著陸，飛船總是采取節(jié)省燃料的發(fā)射方式）【答案】（1）所以，，（2）相對(duì)速度的方向指向球心，大小為【解析】【詳解】（1）設(shè)空間站質(zhì)量為，飛行速度為．由牛頓第二定律得，所以，．對(duì)于方案一，由角動(dòng)量守恒得飛船著陸前瞬間的速度．由機(jī)械能守恒得，所以，．對(duì)于方案二，由得，所以，．（2）如圖所示，以為極軸建立極坐標(biāo)．設(shè)飛船的軌跡方程為．當(dāng)時(shí)，有．當(dāng)時(shí)，有．所以，，所以，所以，，所以，時(shí)，，所以，，①．設(shè)飛船發(fā)射時(shí)絕對(duì)速度為，相對(duì)速度為，著陸時(shí)速度為．由角動(dòng)量守恒有．②由機(jī)械能守恒有．③聯(lián)立①②③得，由此得，，所以，相對(duì)速度的方向指向球心，大小為，與（1）中的方案一相同．23．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）根據(jù)現(xiàn)代大爆炸宇宙學(xué)說(shuō)，整個(gè)宇宙是膨脹的．在某個(gè)特定的時(shí)刻，宇宙中相距為的兩點(diǎn)的相對(duì)退行速度為．這就是著名的哈勃定律，其中僅為時(shí)間的函數(shù)，在一段不太長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，可視為恒量（1）宇宙的膨脹會(huì)由于引力作用而不斷減速，隨著不同的宇宙平均密度，宇宙可能是開(kāi)放的（即無(wú)限膨脹下去），也可能是閉合的（即會(huì)在某一時(shí)刻開(kāi)始收縮），試求出這兩種情況下，宇宙平均密度的分界點(diǎn)（用與基本物理常量表示）（2）設(shè)目前宇宙的哈勃常量為，平均密度，試計(jì)算宇宙從大爆炸到開(kāi)始收縮的時(shí)間（用含，及基本物理常量的式子表示）【答案】(1)(2)【解析】【詳解】（1）在空間中取一質(zhì)點(diǎn)作為宇宙中心，以為參考系，則對(duì)與距離為處的質(zhì)元，其總機(jī)械能為，其中又時(shí)，由題意有，故，所以，（2）由于，故質(zhì)元在從發(fā)出，到達(dá)處后，總機(jī)械能為從而又會(huì)回到，式中為以為中心，半徑為的球所包含的質(zhì)量，為了利用開(kāi)普勒第三定律，我們認(rèn)為直線是一個(gè)極端的橢圓，且此橢圓半長(zhǎng)軸長(zhǎng)滿足：而，是現(xiàn)在（即密度為的時(shí)刻）與的距離．且上式考慮了宇宙在膨脹過(guò)程中，彼此不會(huì)超越故由開(kāi)普勒第三定律（為此運(yùn)行一周的時(shí)間），有又由于題中所求為，則24．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）飛機(jī)在空中以速度做水平飛行，它發(fā)出頻率為的聲波，當(dāng)它從A飛往B處時(shí)，用了4s，而地面上觀測(cè)者某處觀察者E測(cè)得飛機(jī)在從A到B過(guò)程中，聲波頻率由降為．已知聲速，試求飛機(jī)飛行高度．【答案】【解析】【詳解】設(shè)飛機(jī)在A處時(shí)聽(tīng)到的聲音是從處發(fā)出的，飛機(jī)在B處時(shí)聽(tīng)到的聲音是從處發(fā)出的，兩處飛機(jī)飛行的方向與觀測(cè)者間的夾角分別為、，如圖所示．由多普勒效應(yīng)可知，，代入數(shù)據(jù)解得，．所以，，，聲音從傳到E用時(shí)：．聲音從傳到E用時(shí)：．由圖中的幾何關(guān)系知，即代入數(shù)據(jù)得．【點(diǎn)睛】對(duì)于聲源（或觀察者）的運(yùn)動(dòng)與波的傳播在同一直線上的多普勒效應(yīng)，我們并沒(méi)有關(guān)注看與聽(tīng)之間的差別，而當(dāng)聲源（或觀察者）的運(yùn)動(dòng)與波的傳播不在同一直線上時(shí)，觀察者聽(tīng)到聲音時(shí)看到聲源的方位，并非此時(shí)聽(tīng)到的聲音傳播的方位，這之間的差異極易被忽略，從而導(dǎo)致出錯(cuò)25．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）如圖甲所示，在水平光滑桌面的中心有一光滑小孔O，一根勁度系數(shù)為k的輕而細(xì)的彈性繩穿過(guò)小孔O，繩的一端固定于小孔正下方的A點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量甲為m的小球，彈性繩自由長(zhǎng)度等于．現(xiàn)將小球沿桌面拉至B處，設(shè)，并將小球沿垂直于OB的方向以初速度沿桌面射出，試求：（1）小球繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)90°至C點(diǎn)所需時(shí)間；（2）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度及C點(diǎn)至O點(diǎn)的距離．【答案】(1)(2),【解析】【詳解】在桌面上建立M如圖乙所示的xOy坐標(biāo)系．小球運(yùn)動(dòng)至r，位置時(shí)，受指向O點(diǎn)的彈性力kr，此力在x、y方向的分別為這兩個(gè)力都是線性恢復(fù)力，所以小球在x、y方向上的分運(yùn)動(dòng)均為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)角頻率同為周期同為．（1）小球繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)90°至C點(diǎn)，相當(dāng)在x、y方向上均經(jīng)過(guò)四分之一周期的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所需時(shí)間為（2）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)x方向的振動(dòng)位移為零，y方向的振動(dòng)速度為零．由x和y方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)機(jī)械能各自守恒，可將C點(diǎn)的速度、坐標(biāo)分別與B點(diǎn)的坐標(biāo)、速度聯(lián)系起來(lái)，有，，解得，．順便一提，小球x、y方向的振動(dòng)振幅分別為，．x、y方向的振動(dòng)方程為，．小球運(yùn)動(dòng)的軌道為橢圓：．26．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）一個(gè)小球連接兩個(gè)相同的自然伸長(zhǎng)的輕質(zhì)彈性繩，彈性繩的遠(yuǎn)端都固定起來(lái)，并且兩根彈性繩都位于一條直線上（如圖所示）．現(xiàn)在把小球在垂直于彈性繩初始直線方向向上拉開(kāi)1cm，然后釋放，后讀出小球的振動(dòng)周期為2s．問(wèn)：拉開(kāi)距離為2cm時(shí)，小球振動(dòng)的周期為多少？（彈性繩自然長(zhǎng)度，重力不計(jì)）【答案】【解析】【詳解】當(dāng)小球沿垂直于彈簧所處的初始直線位置發(fā)生位移時(shí)，彈簧將由伸長(zhǎng)至l，則彈簧的伸長(zhǎng)量為．每根彈簧由此產(chǎn)生的彈力為．則小球所受到的合力為．小球受到的合力即為小球的回復(fù)力，這顯然不是線性的．小球運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程為方程稱為非線性方程，它只有數(shù)值解，沒(méi)有解析解，但是，對(duì)于本問(wèn)題，我們無(wú)需求解．方法一：量綱分析首先，我們來(lái)確定一下由上述動(dòng)力學(xué)方程決定的小球的運(yùn)動(dòng)，其周期由哪些因素決定？ⅰ與方程中的有關(guān)；ⅱ與小球的振幅A有關(guān)．而，．因?yàn)?，所以，所以，，即，，所以．故由，，可得．方法二：為了求出周期與振幅之間的關(guān)系，可以先利用機(jī)械能守恒，從中解出速度v，再由速度解出經(jīng)歷四分之一周期的時(shí)間．當(dāng)小球的位移為x時(shí)，由前面的分析可知，每根彈簧的伸長(zhǎng)量為，每根彈簧的彈性勢(shì)能為．由機(jī)械能守恒可得，即，所以，即，即．顯然，故有．【點(diǎn)睛】首先，有人認(rèn)為，只要是在彈力作用下的小幅振動(dòng)便是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，本題給出明確的答案．其次，本題所給出的兩種解法在競(jìng)賽領(lǐng)域均有一定的代表性，量綱分析法在物理領(lǐng)域有著普遍的應(yīng)用，是物理規(guī)律內(nèi)洽的一種體現(xiàn)，近年的競(jìng)賽試題在這方面多有涉及．而類似于方法二的解題技巧，則往往在于學(xué)習(xí)的積累，僅靠臨場(chǎng)發(fā)揮是很難達(dá)到目的的，是一種基本功的表現(xiàn)．27．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）6個(gè)小朋友在操場(chǎng)上玩追逐游戲。開(kāi)始時(shí)，6個(gè)小朋友兩兩間距離相等，構(gòu)成一正六邊形。然后每個(gè)小朋友均以不變的速率v追趕前面的小朋友（即小朋友1追2、2追3、3追4、4追5、5追6、6追1），在此過(guò)程中，每個(gè)小朋友的運(yùn)動(dòng)方向總是指向其前方的小朋友。已知某一時(shí)刻t0=0，相鄰兩個(gè)小朋友的距離為l，如圖所示。試問(wèn)：（1）從t0時(shí)刻開(kāi)始，又經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后面的小朋友可追到前面的小朋友；（2）從t0時(shí)刻開(kāi)始，直至追上前面的小朋友，每個(gè)小朋友又跑了多少路程；（3）在t0時(shí)刻，每個(gè)小朋友的加速度大小是多少。【答案】（1）；（2）2l；（3）【解析】【分析】【詳解】由對(duì)稱性知，每個(gè)小朋友運(yùn)動(dòng)情況是一樣的，以小朋友1為例（1）在從小朋友1到小朋友的2連線方向上，小朋友1相對(duì)于小朋友2的速度分量為小朋友1追上2的時(shí)間為（2）從t0時(shí)刻開(kāi)始，直至追上前面的小朋友每個(gè)小朋友所跑的路程為（3）取小朋友1的運(yùn)動(dòng)軌跡為自然坐標(biāo)系，其切向加速度為如解題圖所示，設(shè)經(jīng)dt時(shí)間小朋友1運(yùn)動(dòng)到1′點(diǎn)，小朋友2運(yùn)動(dòng)到2′點(diǎn)，小朋友1的速度方向變?yōu)閺?′點(diǎn)指向2′點(diǎn)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為dθ。由余弦定理得由正弦定理得式中dθ為中兩邊與之間的夾角。小朋友1運(yùn)動(dòng)的角速度為小朋友1運(yùn)動(dòng)的法向加速度為則小朋友1的加速度大小為28．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）某同學(xué)特別喜愛(ài)造橋游戲，如圖所示，用10根一樣的輕桿搭了一座橋，桿長(zhǎng)l，所有連接的地方均為鉸接，在B點(diǎn)掛了小重物，重力大小為P。AG在同一水平高度。(1)求地面對(duì)AG點(diǎn)作用力的豎直分量大小NL，NR；(2)如果每根桿能承受的最大壓力或張力均為F，則為了保證橋不塌方最大為多少？【答案】(1)；；(2)【解析】【詳解】(1)我們將整個(gè)橋視為一個(gè)系統(tǒng)，受重物壓力P，左右兩側(cè)支持力，根據(jù)力矩平衡可以解出其大小。分別對(duì)左右兩個(gè)支點(diǎn)計(jì)算力矩平衡有得得(2)對(duì)于題目中的桿模型來(lái)說(shuō)，其對(duì)外作用力T一定沿桿方向，如圖所示我們注意到在其它端點(diǎn)可以依據(jù)桿的張力們的豎直分量平衡分別解出BC、CD、DE、EF上的桿的作用力，它們大小都與TFG相等，但方向不同，其中BC和DE為支持力，CD和EF為拉力，繼而我們也可以得出剩下的四根水平桿的受力大小，其中TAC=TDF=TEG=TGF而剩下的BD桿不同TED=2TGF據(jù)此我們知道隨著重物重力P的增加，AB會(huì)最先達(dá)到臨界解得29．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）2016年9月，G20峰會(huì)在杭州隆重召開(kāi)，其會(huì)議廳的裝飾設(shè)計(jì)既展示出中國(guó)建筑的節(jié)能環(huán)保理念，又體現(xiàn)了浙江的竹文化特色．圖a給出了其部分墻面采用的微孔竹板裝飾的局部放大照片，該裝飾同時(shí)又實(shí)現(xiàn)了對(duì)聲波的共振吸收.竹板上有一系列不同面積、周期性排列的長(zhǎng)方形微孔，聲波進(jìn)入微孔后導(dǎo)致微孔中的空氣柱做簡(jiǎn)諧振動(dòng).單個(gè)微孔和竹板后的空氣層，可簡(jiǎn)化成一個(gè)亥姆霍茲共振器，如圖b所示.假設(shè)微孔深度均為l、單個(gè)微孔后的空氣腔體體積均為、微孔橫截面積記為S.聲波在空氣層中傳播可視為絕熱過(guò)程，聲波傳播速度與空氣密度及體積彈性模量的關(guān)系為，其中是氣體壓強(qiáng)的增加量與其體積V相對(duì)變化量之比，已知標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)(273K，latm=1.01×105Pa)下空氣(可視為理想氣體)的摩爾質(zhì)量Mmol=29.0g/mol，熱容比，氣體普適常量R=8.31J/(K·mol).(1)求標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣的密度和聲波在空氣中的傳播速度；(2)求上述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率(用、S、I、V0表示)；(3)為了吸收頻率分別為120Hz和200Hz的聲波，相應(yīng)的兩種微孔橫截面積之比應(yīng)為多少?【答案】（1）（2）（3）【解析】【詳解】(1)由理想氣體狀態(tài)方程有(1)式中，P、V和T分別為空氣的壓強(qiáng)、體積和(絕對(duì))溫度，M和Mmol分別為空氣總質(zhì)量和；摩爾質(zhì)量．由(1)式得空氣密度為在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下(以下標(biāo)“標(biāo)”表示)有，(2)理想氣體的絕熱過(guò)程滿足=常量式中γ是熱容比．對(duì)上式兩邊微分得(3)由(3)式可得，空氣的體積彈性模量為(4)聲波在空氣中的傳播速度為在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下有(5)(2)細(xì)管內(nèi)的空氣柱的質(zhì)量為(6)細(xì)管中的空氣柱的運(yùn)動(dòng)是由外界壓力與容器內(nèi)的壓力之差所引起的.設(shè)這部分空氣柱運(yùn)動(dòng)的位移為x(向外為正)，容器內(nèi)的空氣體積的改變?yōu)?7)容器內(nèi)氣體壓力的變化滿足絕熱過(guò)程，由(3)式有(8)相應(yīng)地，對(duì)于細(xì)管內(nèi)運(yùn)動(dòng)著的空氣柱的作用力為(9)從而，細(xì)管內(nèi)空氣柱的運(yùn)動(dòng)方程可寫為(10)(10)式可寫成(11)這是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方程，o是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率(12)將代入(10)式得，所述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率為(13)上式最后一步利用了單個(gè)微孔后的空氣腔體體積為.(3)按題設(shè)，兩種需要通過(guò)所述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率和之比為(14)由(13)式可得，(15)式中，S1和S2是相應(yīng)的上述亥姆霍茲共振器的微孔的橫截面積.由(15)式有(16)即(17)30．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）農(nóng)用平板車的簡(jiǎn)化模型如圖a所示，兩車輪的半徑均為r(忽略內(nèi)外半徑差)，質(zhì)量均為m(車輪輻條的質(zhì)量可忽略)，兩輪可2m繞過(guò)其中心的光滑細(xì)車軸轉(zhuǎn)動(dòng)(軸m的質(zhì)量可忽略)；車平板長(zhǎng)為l、質(zhì)把手量為2m，平板的質(zhì)心恰好位于車輪的軸上；兩車把手(可視為細(xì)直桿)的長(zhǎng)均為2l、質(zhì)量均為m，且把手前端與平板對(duì)齊，平板、把手和車軸固連成一個(gè)整體，車輪、平板和把手各自的質(zhì)量分布都是均勻的.重力加速度大小為g.(1)該平板車的車輪被一裝置(圖中未畫出)卡住而不能前后移動(dòng)，但仍可繞車軸轉(zhuǎn)動(dòng).將把手提至水平位置由靜止開(kāi)始釋放，求把手在與水平地面碰撞前的瞬間的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度.(2)在把手與水平地面碰撞前的瞬間立即撤去卡住兩車輪的裝置，同時(shí)將車輪和軸鎖死，在碰后的瞬間立即解鎖，假設(shè)碰撞時(shí)間較短(但不為零)，碰后把手末端在豎直方向不反彈.已知把手與地面、車輪與地面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為μ(最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力).求在車輪從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)直至靜止的過(guò)程中，車軸移動(dòng)的距離.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】(1)車輪被一裝置卡住而不能前后移動(dòng)，但仍可繞輪軸轉(zhuǎn)動(dòng).把手繞車軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為平板繞車軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為平板與把手整體繞車軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(1)把手和平板整體的質(zhì)心位置到車軸的距離(見(jiàn)解題圖a)為(2)設(shè)把手與地面碰撞前的瞬間的角速度為，由機(jī)械能守恒有(3)式中h是把手和平板整體的質(zhì)心下降的距離(見(jiàn)解題圖b)將(2)式代入上式得由上式和(1)(3)式得(4)(2)在把手與地面碰撞前的瞬間，把手和平板車的質(zhì)心的速度大小為由幾何關(guān)系有，碰前瞬間把手和平板質(zhì)心速度的水平與豎直分量(從把手末端朝向把手前端為正)分別為(5)(6)記碰撞時(shí)間間隔為△t，由題設(shè)，把手、平板與車輪組成的系統(tǒng)在碰撞過(guò)程中可視為一個(gè)物體.剛碰時(shí)，由于把手末端與地面之間有相對(duì)速度，把手末端與地面之間在碰撞過(guò)程中水平方向的相互作用力是滑動(dòng)摩擦力.設(shè)碰撞過(guò)程中地面對(duì)系統(tǒng)在豎直方向上總的支持力為N′，在碰撞后的瞬間系統(tǒng)的水平速度為(≥0).在水平和豎直方向上分別對(duì)此系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量定理有(7)(8)值得注意的是，(8)式左端的沖量不可能等于零，因而(7)式左端的沖量也不可能等于零.由(7)(8)式得即當(dāng)系統(tǒng)靜止，故(9)當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，下面分兩階段討論系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后直至停止的過(guò)程:階段I.車輪又滑又滾階段兩車輪的受力如解題圖c所示，圖中是地面對(duì)兩車輪的正壓力，和是把手和平板通過(guò)軸對(duì)兩車輪分別在水平方向和豎直方向的作用力，地面對(duì)車輪的滑動(dòng)摩擦力.把手和平板作為一個(gè)整體的受力解題圖d所示，圖中N是地面對(duì)把手末端的正壓力.地面與車之間的總滑動(dòng)摩擦力為(10)把手、平板和車輪組成的系統(tǒng)的質(zhì)心加速度為(11)對(duì)把手和平板系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有(12)(13)對(duì)把手和平板系統(tǒng)應(yīng)用相對(duì)于過(guò)質(zhì)心的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理有由(11)(12)(13)式得將以上兩式代入(14)式得(14)于是因而對(duì)兩車輪在豎直方向上應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有(15)對(duì)兩車輪應(yīng)運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理有(16)由(15)式得再由(16)式得設(shè)車輪經(jīng)歷時(shí)間間隔t后開(kāi)始純滾動(dòng)，由純滾動(dòng)條件有(17)此即由此得車輪開(kāi)始做純滾動(dòng)時(shí)的速度為(18)在整個(gè)又滑又滾階段，車軸移動(dòng)的距離為于是有階段Ⅱ.車輪純滾動(dòng)階段兩車輪的受力如解題圖e所示，圖中是地面對(duì)兩車輪的正壓力，和分別是把手和平板通過(guò)軸對(duì)兩車輪在水平方向和豎直方向的作用力，是地面對(duì)車輪的作用力(靜摩擦力)．把手和平板作為一一個(gè)整體的受力解題圖f所示，圖中是地面對(duì)把手末端的正壓力.對(duì)兩車輪運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有(20)對(duì)兩車輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理有(21)由純滾動(dòng)條件有(22)由(20)(21)(22)式得對(duì)把手和平板系統(tǒng)在水平方向上應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有聯(lián)立以上兩式有對(duì)把手和平板系統(tǒng)在豎直方向上應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有對(duì)把手和平板系統(tǒng)應(yīng)用相對(duì)于過(guò)質(zhì)心C的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理有聯(lián)立以上三式消去和，得解得于是(23)在整個(gè)純滾動(dòng)階段，車軸移動(dòng)的距離滿足于是在車輪從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)直至靜止的整個(gè)過(guò)程中，車軸移動(dòng)的距離為31．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）如圖a，旅行車上有一個(gè)半徑為R的三腳圓凳(可視為剛性結(jié)構(gòu))，三個(gè)相同凳腳的端點(diǎn)連線(均水平)構(gòu)成邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，凳子質(zhì)心位于其軸上的G點(diǎn).半徑為r的一圓筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O點(diǎn)處，茶杯質(zhì)量為m(遠(yuǎn)小于凳子質(zhì)量)，其中杯底質(zhì)量為(杯壁和杯底各自的質(zhì)量分布都是均勻的)，杯高為H(與杯高相比，杯底厚度可忽略).杯中盛有茶水，茶水密度為.重力加速度大小為g.(1)為了使茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩(wěn)定，杯中茶水的最佳高度是多少?(2)現(xiàn)該茶水杯的底面邊緣剛好緩慢滑移到與圓凳的邊緣內(nèi)切于D點(diǎn)時(shí)靜止(凳面邊有小凸緣，可防止物體滑出；凳面和凳面邊的凸緣各自的質(zhì)量分布都是均勻的)，且OD⊥AC(見(jiàn)圖b)，求此時(shí)旅行車內(nèi)底板對(duì)各凳腳的支持力相對(duì)于滑移前(該茶水杯位于凳面中心處)的改變.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】(1)以凳面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)O點(diǎn)向上的豎直線為y軸.茶杯(包括茶水在內(nèi))的質(zhì)心位置為(1)式中h是杯中茶水的高度.令，(1)式即事實(shí)上，考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過(guò)程，茶水杯整體的質(zhì)心先是逐漸降低，然后再逐漸上升.為了使茶水杯盛盡可能多的茶水并保持足夠穩(wěn)定，茶水杯整體的質(zhì)心應(yīng)盡可能接近凳面，處于最低點(diǎn)的位置，故有(2)由(1)(2)式得(3)舍棄負(fù)值(不合題意)，杯中茶水的最佳高度為(4)【另一種解法】：事實(shí)上，考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過(guò)程，茶水杯整體的質(zhì)心先是逐漸降低，然后再逐漸上升.為了使茶水杯盛盡可能多的茶水并保持足夠穩(wěn)定，茶水杯整體的質(zhì)心應(yīng)盡可能接近凳面，處于最低點(diǎn)的位置.(1)式即它滿足代數(shù)不等式式中當(dāng)h滿足即(4)時(shí)取等號(hào)，即杯中茶水的最佳高度.】(2)記凳子質(zhì)量為M.該茶水杯的底面邊緣剛好滑移到與圓凳的邊緣內(nèi)切于D點(diǎn)靜止后，坐標(biāo)系及三腳圓凳的受力分析分別如解題圖a和解題圖b所示，其中、和分別是車內(nèi)底板對(duì)凳腳A、B和C的支持力.由幾何關(guān)系有(5)(6)三腳圓凳處于力平衡狀態(tài)，豎直方向合力為零(7)(8)式中，，P=Mg.由(7)(8)式得以x軸為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，力矩平衡(9)記，由(5)(6)(9)式有【另一種解法】以AC為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，由力矩平衡條件有(9)即聯(lián)立以上各式得(10)(11)值得指出的是，解(10)滿足，即，(12)這已由題給條件保證了.由(7)(10)(11)式得，此時(shí)旅行車內(nèi)底板對(duì)各凳腳的支持力相對(duì)于茶水杯滑移前的改變?yōu)?13)(14)32．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）一個(gè)半徑為和，重量為，可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的滑輪通過(guò)一個(gè)固定在墻上可轉(zhuǎn)動(dòng)的叉子支撐，其中，，如圖所示．繩索在滑輪較小半徑的軸肩上纏繞了一圈，繩索右端用重力加載，滑輪與墻之間以及滑輪與繩之間的摩擦因數(shù)相同，靜摩擦因數(shù)為，動(dòng)摩擦因數(shù)為．試問(wèn)：（1）如果要使重物懸起，左邊繩子在的情況下，至少要施加多大力？（2）如果要使重物緩慢升起，左邊繩子在時(shí)需用多大為？（3）在什么角度下，提升重物所需的拉力最?。黄渲禐槎啻?？【答案】(1)(2)(3)因此，在滑輪開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)前，所需的最小拉力為;在滑輪進(jìn)入滑動(dòng)之后，最小拉力為【解析】【詳解】(1)首先分析滑輪是繞著軸轉(zhuǎn)動(dòng)還是處于自鎖狀態(tài)．如果滑輪處于自鎖狀態(tài)，則一個(gè)任意大小的外力作用在滑輪上（在繩子不滑動(dòng)的情況下）都能使滑輪保持平衡．自鎖時(shí)滑輪不能順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，下圖畫出了滑輪的受力分析，根據(jù)平衡條件，①，②，③④聯(lián)立式①～④，可得⑤由于因此，只要當(dāng)時(shí)滑輪不會(huì)沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)．此時(shí)，拉力必須由繩索的摩擦方程來(lái)計(jì)算，即⑥（2）同樣的，首先判斷滑輪是否會(huì)由于自鎖而逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)受到阻止．此時(shí)，應(yīng)將式①～③中前添加負(fù)號(hào)即可，解得⑦⑧由于且可見(jiàn)式⑧恒成立.只要當(dāng)時(shí)滑輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)受到阻止．此時(shí)，要提起重物必須依靠繩索在滑輪上的滑動(dòng)根據(jù)繩索的摩擦方程，在繩開(kāi)始滑動(dòng)前，拉力為⑨繩索滑動(dòng)后，則為⑩（3）為了提升重物，必有．此時(shí)，在任意的角度，根據(jù)平衡條件，有，?，?，．?在滑輪沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，即?聯(lián)立式???及?，可得?為了分析方便，令?當(dāng)角度為時(shí)并未超出滑輪的自鎖極限，由此有由此，可解得在情況下，滑輪可能轉(zhuǎn)動(dòng)并提起重物，因此需要確定滑輪發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的臨界角．此時(shí)，式?應(yīng)取等號(hào)，并聯(lián)立式⑩和式?求得臨界角，即當(dāng)時(shí)，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)并提起重物為了求繩索拉力的最小值，根據(jù)式?可知考慮到，當(dāng)時(shí)，取到最大值．于是，有因此，在滑輪開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)前，為克服滑輪與墻之間的靜摩擦力，所需的最小拉力為?在滑輪進(jìn)入滑動(dòng)之后，為克服滑動(dòng)摩擦力所需的最小拉力為?下面，可以驗(yàn)證，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)比滑輪自鎖時(shí)提取重物所需的拉力要小，當(dāng)滑輪自鎖時(shí)，提升重物只能依靠繩索在滑輪軸肩上的滑動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn).當(dāng)滑輪自鎖時(shí)，繩索滑動(dòng)前，繩索的拉力根據(jù)式⑩，有．當(dāng)滑輪自鎖時(shí)，繩索滑動(dòng)后，繩索拉力根據(jù)式?，有顯然，式?與式?就是所要求的最小拉力33．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）均質(zhì)桿長(zhǎng)為，豎直地放在桌面邊緣上，點(diǎn)與桌面的邊緣接觸．給一微小擾動(dòng)，桿將繞點(diǎn)向外轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)桿受到桌子的反力為零時(shí)，桿將離開(kāi)桌子，試求：（1）當(dāng)桿離開(kāi)桌子時(shí)，桿轉(zhuǎn)過(guò)的角度，并求此時(shí)桿的角速度？（2）如果桿垂直地打擊地面，則桌子的高度應(yīng)為多少？【答案】(1)(2)【解析】【詳解】桿的受力分析如圖所示．（1）取桿為研究對(duì)象，在桿未離開(kāi)桌子時(shí)，可以將桿的運(yùn)動(dòng)看作繞的轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理，有．①由于繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，有，將其代入式①中，可解得．質(zhì)心的法向加速度為．根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有，，②解之得．當(dāng)桿離開(kāi)桌面時(shí)有，即，即．故桿離開(kāi)桌子時(shí)，桿轉(zhuǎn)過(guò)的角度為．此時(shí)，桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為（2）當(dāng)桿脫離桌子時(shí)，僅受重力作用，桿作平面運(yùn)動(dòng)，如圖所示．根據(jù)桿對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，即，可得，因此桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度不變．桿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的速度為，于是有，．要使桿垂直地打擊地面，其轉(zhuǎn)過(guò)的角度應(yīng)滿足，，2，3，…．因此，桿在離開(kāi)桌子到打擊地面所運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為桿質(zhì)心在鉛直方向的位移為于是，桌子的高度應(yīng)滿足34．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）打樁機(jī)的鐵塔高度為，錘的質(zhì)量；鋼筋混凝土樁的質(zhì)量，樁的橫截面為正方形，其邊長(zhǎng)．樁在被打入地下的過(guò)程中，其阻力可以認(rèn)為主要來(lái)自樁側(cè)面泥土對(duì)其的黏滯作用，且阻力系數(shù)為，當(dāng)樁已被打入地下時(shí)，再把錘升高，然后自由落下打擊樁．假設(shè)碰撞過(guò)程是完全非彈性碰撞，試回答下列問(wèn)題：（1）這一錘能把樁再打多深？（2）打樁的效率（用于推進(jìn)樁的能量與錘打擊樁的能量之比）為多少？（3）如果碰撞過(guò)程是彈性碰撞，其恢復(fù)因數(shù)，重新分析問(wèn)題（1）和（2）．【答案】（1）（2）％（3）％【解析】【詳解】（1）當(dāng)錘下落高度時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，其速度為①由于是非彈性碰撞，對(duì)于樁和錘組成的系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有②聯(lián)立式①與式②，可得碰撞后樁和錘的共同速度為③設(shè)這一錘能把樁打入的深度為，取豎直向下為軸正向，樁下降時(shí)受到的阻力為④對(duì)于樁、錘系統(tǒng)損失的能量用于克服阻力做功，有⑤將式④代入式⑤化簡(jiǎn)得⑥代入數(shù)值得解得（2）碰撞前，錘的動(dòng)能為⑦碰撞后，樁、錘系統(tǒng)用于克服阻力做功的動(dòng)能為．⑧故打樁效率為％．（3）設(shè)錘與樁碰撞結(jié)束時(shí)，錘、樁的速度分別為和，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有⑨根據(jù)恢復(fù)因數(shù)的定義，有．⑩聯(lián)立式⑨與式⑩解得，，即得，．?顯然，碰撞后錘被反彈．與式⑤類似，有．?聯(lián)立式④、式?和式?并代入數(shù)值得，解得可知，這一錘打進(jìn)的深度為此時(shí)，打樁的效率為％可見(jiàn)，有了彈性后，打樁的效率提高了，這是由于因變形和裂損的能量損失更小，使效率提高．35．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）質(zhì)點(diǎn)或光滑球以某一角度入射到硬質(zhì)表面上發(fā)生的反跳，通常呈現(xiàn)“反射角等于入射角”的現(xiàn)象．但是對(duì)于一種粗糙的硬質(zhì)橡皮球，當(dāng)其與硬質(zhì)表面碰撞且滿足動(dòng)能守恒時(shí)，它在反跳過(guò)程中卻表現(xiàn)出許多奇異的現(xiàn)象，這種粗糙的高彈性人造硬質(zhì)橡皮球稱為超級(jí)彈性球，簡(jiǎn)稱為超球．這種超球在硬質(zhì)表面上的反跳幾乎是完全彈性的，用它可以直觀地演示粗糙物的彈性碰撞現(xiàn)象．試回答下列問(wèn)題：（1）若將一個(gè)小超球放在一個(gè)大超球的頂上，讓這兩個(gè)超球一起自由下落并撞擊地面，就會(huì)發(fā)現(xiàn)小超球又跳回到空中，如果大超球與小超球的半徑之比選擇適當(dāng)，那么小超球?qū)⒎刺母叨却蠹s是原先下落高度的9倍，如圖1所示．若將大超球、小超球和乒乓球緊貼在一起自由下落，如圖2所示，如果這些球的質(zhì)量選擇恰當(dāng)，那么在它們碰撞地面后，乒乓球?qū)⒎刺母叨葞缀跏窃认侣涓叨鹊?9倍．試建立力學(xué)模型進(jìn)行說(shuō)明（2）如果超球以一定的速度和繞水平軸旋轉(zhuǎn)的角速度與硬質(zhì)地面碰撞，旋轉(zhuǎn)的超球在、兩點(diǎn)之間來(lái)回反跳，如圖3所示．試說(shuō)明發(fā)生這種現(xiàn)象的條件【答案】（1）說(shuō)明見(jiàn)解析（2）說(shuō)明見(jiàn)解析【解析】【詳解】（1）在大超球碰撞地面之前，兩超球均自由下落，它們之間未發(fā)生碰撞，大超球先與地面相碰撞，隨后立即與小超球發(fā)生碰撞，假設(shè)大超球與地面以及超球間的碰撞都是完全彈性的．兩超球自由下落結(jié)束時(shí)，都有向下的速度，由機(jī)械能守恒可得；大超球與地面彈性碰撞后，速度大小不變，方向向上．設(shè)大超球與小超球彈性碰撞后的速度大小分別為和，且方向向上．由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，可得①②式中，為大超球的質(zhì)量；為小超球的質(zhì)量由式①與式②，可解得，③碰撞后小超球以初速度為豎直向上運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒可得小超球反跳的高度：④即得⑤若選擇大超球半徑為小超球半徑的10倍，即，則．于是，由式⑤得到對(duì)于題圖2所示的三個(gè)緊貼的球，設(shè)由上至下三個(gè)球的質(zhì)量分別為、和，且滿足．根據(jù)前面的分析，當(dāng)大球與地面碰撞后，立即與球發(fā)生碰撞，由式③可知，當(dāng)球以相對(duì)于地面的速度反跳時(shí)，小球正以速度下落題圖2-b1．在相對(duì)球?yàn)樗矔r(shí)靜止的慣性系里，小球相對(duì)于球以速度與球相碰撞（題圖2-b2）．由于，碰撞后球相對(duì)于球以速度反跳（題圖2-b3），即小球相對(duì)于地面以速度反跳（題圖2-b4）．因此，小球反跳的高度為⑥（2）首先，討論旋轉(zhuǎn)超球在硬質(zhì)地面上的碰撞問(wèn)題．假設(shè)碰撞是完全彈性的，且碰撞瞬間超球與地面接觸點(diǎn)處沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，但受到摩擦力的作用，同時(shí)忽略重力的影響．為討論方便，碰撞前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用下標(biāo)“0”表示，第一次碰撞后用“1”、第二次碰撞后用“2”表示，依此類推．取超球運(yùn)動(dòng)的平面為平面，如圖所示，設(shè)超球的質(zhì)量為，半徑為，在第一次碰撞前超球質(zhì)心的速度（以和表示速度的兩個(gè)分量）和旋轉(zhuǎn)角速度（超球?qū)τ谕ㄟ^(guò)質(zhì)心的軸的角速度）；碰撞后的速度分量為和，角速度為，設(shè)接觸點(diǎn)處的摩擦力為，法向力為，作用時(shí)間為．根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理，在方向有⑦根據(jù)動(dòng)量矩定理，對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸有⑧其中，為超球?qū)τ谕ㄟ^(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)于均質(zhì)實(shí)心球，有此外，對(duì)于彈性碰撞，因摩擦力不做功，由機(jī)械能守恒定律可得⑨考慮到完全彈性碰撞，可知⑩由式⑦和式⑧，可得?再由式⑨，并利用式⑩與式?，得到?現(xiàn)在，要實(shí)現(xiàn)在、兩點(diǎn)之間來(lái)回反跳，要求、兩處反跳后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)左右對(duì)稱，因此反跳前后超球質(zhì)心的速度與角速度應(yīng)滿足：，，?將式?代入式?中，得到?可見(jiàn)，若超球以角速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)以的水平分速度與地面碰撞，則反跳后超球以的水平分速度和以再次與地面相撞，這樣超球就來(lái)回反跳36．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）如圖所示，豎直平面內(nèi)有懸點(diǎn)和，上有一原長(zhǎng)為0的彈性輕繩，彈性繩的勁度系數(shù)為，懸于點(diǎn)，另一端掛一質(zhì)量為的小球，靜止于處，另有一個(gè)同樣的彈性繩懸于點(diǎn)，和小球一樣的小球系在繩的另一端．現(xiàn)將球拉至水平，且，點(diǎn)左邊處有一豎直的彈性墻．初始時(shí)可使具有豎直方向的速度，且能擊中，求速度．（繩與繩之間不會(huì)相纏繞，球懸繩