2022-2023學(xué)年廣東省廣州市嶺南中學(xué)高三1月數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年廣東省廣州市嶺南中學(xué)高三1月數(shù)學(xué)試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．3．下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是（1）對于命題使得，則都有；（2）已知，則（3）已知回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為（4,5），則回歸直線方程為；（4）“”是“”的充分不必要條件.A．1 B．2 C．3 D．44．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．15．方程的實數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點”，如果函數(shù)的“新駐點”為，那么滿足（）A． B． C． D．6．集合的真子集的個數(shù)是（）A． B． C． D．7．已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為（）A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)8．已知數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．119．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則實數(shù)的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．210．已知為等差數(shù)列，若，，則()A．1 B．2 C．3 D．611．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，則A∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2}12．已知，若則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，項的系數(shù)是__________．14．己知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線平行，則__________.15．如圖，直線是曲線在處的切線，則________.16．若橢圓：的一個焦點坐標(biāo)為，則的長軸長為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.(1)求的值；(2)令在上最小值為，證明：.18．（12分）已知橢圓：過點，過坐標(biāo)原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點.（1）證明：當(dāng)取得最小值時，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.19．（12分）以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，判斷直線為參數(shù)）與圓的位置關(guān)系．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，∠，是邊長為2的正三角形，，為線段的中點．（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點，當(dāng)二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知圓，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線平分圓M的周長.（1）求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程；（2）過原點作兩條互相垂直的直線，其中與圓M交于O，A兩點，與圓M交于O，B兩點，求面積的最大值.22．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計算即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．2、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.3、C【解析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要條件的判定方法，即可判定．【詳解】由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可知命題使得，則都有，是錯誤的；（2）中，已知，正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可知其對稱軸的方程為，所以是正確的；（3）中，回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為（4,5），由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程，可得回歸直線方程為是正確；（4）中，當(dāng)時，可得成立，當(dāng)時，只需滿足，所以“”是“”成立的充分不必要條件．【點睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用等知識點的應(yīng)用，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】因為，且，，則．故選：．【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

由題設(shè)中所給的定義，方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，根據(jù)零點存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解：由題意方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，對于函數(shù)，由于，，設(shè)，該函數(shù)在為增函數(shù)，，，在上有零點，故函數(shù)的“新駐點”為，那么故選：．【點睛】本題是一個新定義的題，理解定義，分別建立方程解出存在范圍是解題的關(guān)鍵，本題考查了推理判斷的能力，屬于基礎(chǔ)題..6、C【解析】

根據(jù)含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，計算可得；【詳解】解：集合含有個元素，則集合的真子集有（個），故選：C【點睛】考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可知在R上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化條件得，解一元二次不等式即可得解.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，即，易知在R上為增函數(shù).又，所以，解得.故選：C.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.8、B【解析】

根據(jù)題意計算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴.∵是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴.∴.∵，∴，解得.則當(dāng)時，的最大值是9.故選：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.9、B【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．10、B【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出．【詳解】∵{an}為等差數(shù)列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+11＝1．故選：B．【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．11、A【解析】

解出集合A和B即可求得兩個集合的并集.【詳解】∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故選：A．【點睛】此題考查求集合的并集，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解不等式，根據(jù)描述法表示的集合，準(zhǔn)確寫出集合中的元素.12、C【解析】

根據(jù)，得到有解，則，得，，得到，再根據(jù)，有，即，可化為，根據(jù)，則的解集包含求解，【詳解】因為，所以有解，即有解，所以，得，，所以，又因為，所以，即，可化為，因為，所以的解集包含，所以或，解得，故選：C【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240【解析】

利用二項式展開式的通項公式，令x的指數(shù)等于3，計算展開式中含有項的系數(shù)即可.【詳解】由題意得：，只需，可得，代回原式可得，故答案：240.【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項公式及簡單應(yīng)用，相對不難.14、【解析】

先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，解得.故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】

求出切線的斜率，即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知直線過點，可求出直線的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，.故答案為:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由焦點坐標(biāo)得從而可求出，繼而得到橢圓的方程，即可求出長軸長.【詳解】解：因為一個焦點坐標(biāo)為，則，即，解得或由表示的是橢圓，則，所以，則橢圓方程為所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略，從而未對的兩個值進(jìn)行取舍.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)見解析．【解析】

(1)將轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，令，故只需，即可求出的值；(2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，即，即可證出．【詳解】函數(shù)的定義域為，因為對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以要使在時恒成立，則只需，即，令，，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，故滿足條件的的值只有(2)由(1)知，所以，令，則，當(dāng)，時，即在上單調(diào)遞增；又，，所以，使得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且所以，即，所以，即．【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法，第(2)問通過最值問題深化對函數(shù)的單調(diào)性的考查，同時考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．18、（1）證明見解析；（2）存在，【解析】

（1）將點代入橢圓方程得到，結(jié)合基本不等式，求得取得最小值時，進(jìn)而證得橢圓的離心率為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性，求得到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用，則列方程，求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在，進(jìn)而求得定圓的方程.【詳解】（1）證明：∵橢圓經(jīng)過點，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時橢圓的離心率.（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性，設(shè)，.∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為.由，得，.設(shè)，，則，.∵，∴，∴，∴，即，∴到直線的距離.綜上，到直線的距離為定值，且定值為，故存在定圓：，使得圓與直線總相切.【點睛】本小題主要考查點和橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式求最值，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19、直線與圓C相切．【解析】

首先把直線和圓轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用點到直線的距離的應(yīng)用求出直線和圓的位置關(guān)系．【詳解】直線為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．圓轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式為，所以圓心到直線，的距離．直線與圓C相切．【點睛】本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，直線與圓的位置關(guān)系式的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解，轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】（1）證明：因為是正三角形，為線段的中點，所以．因為是菱形，所以．因為，所以是正三角形，所以，所以平面．又，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面，所以，．而，所以，．又，所以平面．以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則．于是，，．設(shè)面的一個法向量，由得令，則，即．設(shè)，易得，．設(shè)面的一個法向量，由得令，則，，即．依題意，即，令，則，即，即．所以．【點睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解，三棱錐的體積等知識點，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.21、（1），（2）【解析】

先求出，再求圓的半徑和極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)求出,,再求出得解.【詳解】（1）將化成直角坐標(biāo)方程，得則，故，則圓，即，所以圓M的半徑為