2024屆四川省成都市龍泉驛區(qū)高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

2024屆四川省成都市龍泉驛區(qū)高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線方程為（）A. B.C. D.2．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.C.-1 D.3．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是A. B.C D.4．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，5．下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.6．已知，若對(duì)于且都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率是（）A B.C. D.8．現(xiàn)有一根金錘，長(zhǎng)5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.159．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A.6 B.12C.56 D.7810．已知，則（）A. B.C. D.11．下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則12．某家庭準(zhǔn)備晚上在餐館吃飯，他們查看了兩個(gè)網(wǎng)站關(guān)于四家餐館的好評(píng)率，如下表所示，考慮每家餐館的總好評(píng)率，他們應(yīng)選擇（）網(wǎng)站①評(píng)價(jià)人數(shù)網(wǎng)站①好評(píng)率網(wǎng)站②評(píng)價(jià)人數(shù)網(wǎng)站②好評(píng)率餐館甲100095%100085%餐館乙1000100%200080%餐館丙100090%100090%餐館丁200095%100085%A.餐館甲 B.餐館乙C.餐館丙 D.餐館丁二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，，則公差______14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，為雙曲線上一點(diǎn)，且，線段的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)______15．如圖，在正四棱錐中，為棱PB的中點(diǎn)，為棱PD的中點(diǎn)，則棱錐與棱錐的體積之比為_(kāi)_____16．若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱(chēng)此直線y＝kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”，已知函數(shù)f（x）＝x2（x∈R），g（x）（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命題：①F（x）＝f（x）﹣g（x）內(nèi)單調(diào)遞增；②f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且b的最小值為﹣4；③f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之間存在唯一的“隔離直線”y＝2x﹣e其中真命題為_(kāi)____（請(qǐng)?zhí)钏姓_命題的序號(hào)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)，直線，圓.（1）若連接點(diǎn)與圓心的直線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值18．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列滿(mǎn)足，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值20．（12分）已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2（1）求直線l的方程；（2）設(shè)x軸上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)P、Q，（其中P在Q的右側(cè)），過(guò)P的任意一條直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求證：始終被x軸平分21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)與曲線的右焦點(diǎn)重合.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線上的點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的坐標(biāo).22．（10分）如圖，在三棱錐中，平面平面，且，（1）求證：；（2）求直線與所成角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C2、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故.故選：D.3、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上的單調(diào)性，并得出，然后分別在和解不等式，由此可得出不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，由于函?shù)為上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得.綜上所述，使得成立的的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造合適的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.4、C【解析】利用全稱(chēng)量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱(chēng)量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.5、C【解析】焦點(diǎn)在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)6、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對(duì)于且時(shí)，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，求得的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求解.【詳解】由題意，對(duì)于且都有成立，不妨設(shè)，可得恒成立，即對(duì)于且時(shí)，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，又由，所以在上恒成立，即在上恒成立，又由，所以，即實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：D7、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因?yàn)椋?，即所以，由雙曲線的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B8、D【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D9、D【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)直接求得.【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：由，解得：；由可得：，所以.故選：D10、C【解析】取中間值，化成同底利用單調(diào)性比較可得.【詳解】,，，故，故選：C11、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和運(yùn)算法則分別計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，則，故A錯(cuò)誤；B.若，則，故B錯(cuò)誤；C.若，則，故C錯(cuò)誤；D.若，則，故D正確.故選：D12、D【解析】根據(jù)給定條件求出各餐館總好評(píng)率，再比較大小作答.【詳解】餐館甲的總好評(píng)率為：，餐館乙的總好評(píng)率為：，餐館丙的好評(píng)率為：，餐館丁的好評(píng)率為：，顯然，所以餐館丁的總好評(píng)率最高.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求得，再根據(jù)題意列出相關(guān)的方程組，解得答案.【詳解】為等差數(shù)列，故由可得：，即，故，故，所以，解得，故答案為：214、【解析】在中求出，再在中求出，即可得到的齊次式，化簡(jiǎn)即可求出離心率【詳解】設(shè)雙曲線：，，不妨設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)因?yàn)榫€段的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，所以，在中，，所以，，在中，，所以，，因此，，化簡(jiǎn)得，，即，而，解得故答案為：15、【解析】根據(jù)圖形可求出與棱錐的體積之比，即可求出結(jié)果【詳解】如圖所示：棱錐可看成正四棱錐減去四個(gè)小棱錐的體積得到，設(shè)正四棱錐的體積為，為PB的中點(diǎn)，為PD的中點(diǎn)，所以，而，同理，故棱錐的體積的為，即棱錐與棱錐的體積之比為故答案為：.16、①②④【解析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)，檢驗(yàn)在x∈（，0）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，即可判斷；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，x2≥kx+b對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，即有△1≤0，又kx+b對(duì)一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出k，b的范圍，即可判斷②③；④存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2，∴x∈（，0），F(xiàn)′（x）＝2x0，∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（，0）內(nèi)單調(diào)遞增，故①對(duì)；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，則x2≥kx+b對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又kx+b對(duì)一切x＜0成立，則kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k?﹣4≤k≤0，同理?﹣4≤b≤0，故②對(duì)，③錯(cuò)；④函數(shù)f（x）和h（x）的圖象在x處有公共點(diǎn)，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，由f（x）≥kx﹣ke（x∈R），可得x2﹣kx+ke≥0當(dāng)x∈R恒成立，則△≤0，只有k＝2，此時(shí)直線方程為：y＝2x﹣e，下面證明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，G′（x），當(dāng)x時(shí)，G′（x）＝0，當(dāng)0＜x時(shí)，G′（x）＜0，當(dāng)x時(shí)，G′（x）＞0，則當(dāng)x時(shí)，G（x）取到極小值，極小值是0，也是最小值所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，則g（x）≤2x﹣e，當(dāng)x＞0時(shí)恒成立∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y＝2x﹣e，故④正確故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查新定義，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，考查函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）3（2）實(shí)數(shù)的值為和【解析】（1）由直線垂直，斜率乘積為可得值；（2）求出加以到直線的距離，由勾股定理求弦長(zhǎng)，從而可得參數(shù)值【小問(wèn)1詳解】圓，，，，，，【小問(wèn)2詳解】圓半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，則又由點(diǎn)到直線距離公式得：化簡(jiǎn)得：，解得：或所以實(shí)數(shù)的值為和.18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）求出的值，可求得等差數(shù)列的公差，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可求得的表達(dá)式，可求得，然后對(duì)是否滿(mǎn)足在時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)求和法可求得的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)和數(shù)列的單調(diào)性可證得所證不等式成立.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以，設(shè)數(shù)列公差為，則，所以，當(dāng)時(shí)，由，可得，所以，所以，因?yàn)闈M(mǎn)足，所以，對(duì)任意的，【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，故?shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果；（2）設(shè)，借助韋達(dá)定理表示，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組可得，設(shè)，則又因?yàn)?，得，故直線l的方程為：即為；（2）由題意可設(shè)，可設(shè)過(guò)P的直線為聯(lián)立方程組可得，顯然設(shè)，則所以所以始終被x軸平分21、（1）；（2）或.【解析】（1）求出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義求出的值，代入拋物線的方程可求得的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由雙曲線方程可得，，所以，解得.則曲線的右焦點(diǎn)為，所以，.因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）