2024屆浙江省杭州地區(qū)七校聯(lián)考數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆浙江省杭州地區(qū)七校聯(lián)考數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”的（）A.充要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．下列直線中，傾斜角為銳角的是（）A. B.C. D.4．方程表示的圖形是A.兩個半圓 B.兩個圓C.圓 D.半圓5．設函數(shù)若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.7．過點與直線平行的直線的方程是（）A. B.C. D.8．已知橢圓與圓在第二象限的交點是點，是橢圓的左焦點，為坐標原點，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.9．已知，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若以為直徑的圓過點P，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.10．已知拋物線C：，焦點為F，點到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.11．“不到長城非好漢，屈指行程二萬”，出自毛主席1935年10月所寫的一首詞《清平樂·六盤山》，反映了中華民族的一種精神氣魄，一種積極向上的奮斗精神.從數(shù)學邏輯角度分析，其中“好漢”是“到長城”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知四面體，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則（）A.1 B.2C.-1 D.-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下圖是4個幾何體的展開圖，圖①是由4個邊長為3的正三角形組成；圖②是由四個邊長為3的正三角形和一個邊長為3的正方形組成；圖③是由8個邊長為3的正三角形組成；圖④是由6個邊長為3的正方形組成若直徑為4的球形容器（不計容器厚度）內有一幾何體，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結論的番號）14．已知直線與圓交于兩點，則面積的最大值為__________.15．已知點P在圓上，已知，，則的最小值為___________.16．關于曲線C：1，有如下結論：①曲線C關于原點對稱；②曲線C關于直線x±y＝0對稱；③曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2π；④曲線C不是封閉圖形，且它與圓x2+y2＝2無公共點；⑤曲線C與曲線D：|x|+|y|＝2有4個公共點，這4點構成正方形其中正確結論的個數(shù)是_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l經過點M（0，1），且與橢圓C交于A，B兩點，若，求直線l的方程18．（12分）如圖，在四棱錐中，側面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點E為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）某公交公司為了方便市民出行，科學規(guī)劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設一個起點站，為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關系，經過調查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時間x/分101112131415等候人數(shù)y/人232526292831調查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數(shù)，再求與實際等候人數(shù)y的差，若差值的絕對值都不超過1，則稱所求方程是“恰當回歸方程”.（1）若選取的是中間4組數(shù)據(jù)，求y關于x的線性回歸方程=x+，并判斷此方程是否是“恰當回歸方程”.（2）假設該起點站等候人數(shù)為24人，請你根據(jù)（1）中的結論預測車輛發(fā)車間隔多少時間合適?附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為20．（12分）已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于兩點在軸上方），問在軸正半軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.21．（12分）如圖，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，（1）求證：∥平面；（2）求證：平面平面22．（10分）如圖，已知頂點，，動點分別在軸，軸上移動，延長至點，使得，且.（1）求動點的軌跡；（2）過點分別作直線交曲線于兩點，若直線的傾斜角互補，證明：直線的斜率為定值；（3）過點分別作直線交曲線于兩點，若，直線是否經過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由橢圓的標準方程結合充分必要條件的定義即得.【詳解】若，則方程表示焦點在軸上的橢圓；反之，若方程表示焦點在軸上的橢圓，則；所以“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”的充要條件.故選：A.2、C【解析】根據(jù)題意，由為原點到直線上點的距離的平方，再根據(jù)點到直線垂線段最短，即可求得范圍.【詳解】由，，視為原點到直線上點的距離的平方，根據(jù)點到直線垂線段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.3、A【解析】先由直線方程找到直線的斜率，再推導出直線的傾斜角即可.【詳解】選項A：直線的斜率，則直線傾斜角為，是銳角，判斷正確；選項B：直線的斜率，則直線傾斜角為鈍角，判斷錯誤；選項C：直線的斜率，則直線傾斜角為0，不是銳角，判斷錯誤；選項D：直線沒有斜率，傾斜角為直角，不是銳角，判斷錯誤.故選：A4、D【解析】其中，再兩邊同時平方，由此確定圖形【詳解】根據(jù)題意，，再兩邊同時平方，由此確定圖形為半圓.故選：D【點睛】幾何圖像中要注意與方程式是一一對應，故方程的中未知數(shù)的的取值范圍對應到圖形中的坐標的取值范圍5、D【解析】有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合可得結果.【詳解】解：設，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時，，有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，畫出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時，與的圖象有兩個交點，此時，函數(shù)有兩個零點，實數(shù)m的取值范圍是，故選：D.【點睛】方法點睛：本題主要考查分段函數(shù)的性質、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)的零點，以及數(shù)形結合思想的應用，屬于難題.數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質，為研究函數(shù)的數(shù)量關系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質6、A【解析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)單調性，由此判斷導函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個單調區(qū)間；在上遞減.所以導函數(shù)在上從左向右應為：正、負、正；在上應為負.所以A選項符合.故選：A7、A【解析】根據(jù)題意利用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】解：過點的直線與直線平行，，即.故選：A.8、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因為圓，可得，過點作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側同除，可得，解得或，又因為，所以橢圓的離心率為.故選：B【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結合直角三角形的勾股定理，列出關于的方程是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.9、B【解析】根據(jù)題意，在中，設，則，進而根據(jù)橢圓定義得，進而可得離心率.【詳解】在中，設，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選：B.【點睛】本題考查橢圓離心率的計算，考查運算求解能力，是基礎題.本題解題的關鍵在于根據(jù)已知條件，結合橢圓的定義，在焦點三角形中根據(jù)邊角關系求解.10、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因為點在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D11、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】解：設為不到長城，推出非好漢，即，則，即好漢到長城，故“好漢”是“到長城”的充分條件，故選：A12、D【解析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】四面體所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則，，，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解析】根據(jù)幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進而求其外接球半徑，并與4比較大小，即可確定答案.【詳解】若幾何體外接球球心為，半徑為，①由題設，幾何體為棱長為3的正四面體，為底面中心，則，，所以，可得，即，滿足要求；②由題設，幾何體為棱長為3的正四棱錐，為底面中心，則，所以，可得，即，不滿足要求；③由題設，幾何體為棱長為3的正八面體，其外接球直徑同棱長為3的正四棱錐，故不滿足要求；④由題設，幾何體為棱長為3的正方體，體對角線的長度即為外接球直徑，所以，不滿足要求；故答案為：①14、##【解析】先求出的范圍，再利用面積公式可求面積的最大值.【詳解】圓即為，直線為過原點的直線，如圖，連接，故，解得，此時，故的面積為，當且僅當時等號成立，此時即，故答案為：.15、【解析】推導出極化恒等式，即，結合最小值為，求出最小值.【詳解】由題意，取線段AB中點，則，，兩式分別平方得：①，②，①－②得：，因為圓心到距離為，所以最小值為，又，故最小值為：.故答案為：16、4【解析】直接利用曲線的性質，對稱性的應用可判斷①②；求出可判斷③；聯(lián)立方程，解方程組可判斷④⑤的結論【詳解】對于①，將方程中的x換為﹣x，y換為﹣y，方程不變，曲線C關于原點對稱，故①正確；對于②，將方程中的x換為﹣y，把y換成﹣x，方程不變，曲線C關于直線x±y＝0對稱，故②正確；對于③，由方程得，故曲線C不是封閉圖形，故③錯誤；對于④，曲線C：，不是封閉圖形，聯(lián)立整理可得：，方程無解，故④正確；對于⑤，曲線C與曲線D：由于，解得，根據(jù)對稱性，可得公共點為，故曲線C與曲線D有四個交點，這4點構成正方形，故⑤正確故答案為：4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為2，離心率為，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設直線方程為，代入橢圓方程，由得，利用韋達定理，化簡可得，求出，即可求直線的方程.試題解析：（1）設橢圓方程為，因為，所以，所求橢圓方程為.（2）由題得直線l的斜率存在，設直線l方程為y=kx+1，則由得，且．設，則由得，又，所以消去得，解得，，所以直線的方程為，即或.18、（1）見解析；（2）【解析】(1)用線線平行證明線面平行，∴在平面PCD內作BE的平行線即可；(2)求二面角的大小，可以用空間向量進行求解，根據(jù)已知條件，以AD中點O為原點，OB，AD，OP分別為x、y、z軸建立坐標系﹒【小問1詳解】如圖，取PD中點F，連接EF，F(xiàn)C﹒∵E是AP中點，∴EFAD，由題知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小問2詳解】取AD中點O，連接OP，OB，∵是以為斜邊等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O原點，OB、OD、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，如圖：設|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，則，設平面BED的法向量為，平面PBD的法向量為則，取，，取設二面角的大小為θ，則cosθ＝﹒19、（1），是“恰當回歸方程”；（2）10分鐘較合適.【解析】（1）應用最小二乘法求出回歸直線方程，再分別估計、時的值，結合“恰當回歸方程”的定義判斷是否為“恰當回歸方程”.（2）根據(jù)（1）所得回歸直線方程，將代入求x值即可.【小問1詳解】中間4組數(shù)據(jù)是：間隔時間（分鐘）11121314等候人數(shù)（人）25262928因為，所以，故，又，所以，當時，，而；當時，，而；所以所求的線性回歸方程是“恰當回歸方程”；【小問2詳解】由（1）知：當時，，所以預測車輛發(fā)車間隔時間10分鐘較合適.20、（1）；（2）存在，.【解析】（1）設出圓心，根據(jù)圓心到直線距離等于半徑列方程求出的值可得圓心坐標，進而可得圓的方程；（2）由題可設直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理及可得，即得.【小問1詳解】由已知可設圓心，則，解得或（舍）.所以圓.【小問2詳解】由題可設直線的方程