北京市首師附2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

北京市首師附2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若在直線上，則直線的一個方向向量為（）A. B.C. D.2．已知，,2成等差數(shù)列，則在平面直角坐標(biāo)系中，點M(x，y)的軌跡為()A. B.C. D.3．某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過隨機(jī)抽樣，獲得了200名男生的100米體能測試成績（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定成績低于13秒為優(yōu)，成績高于14.8秒為不達(dá)標(biāo).由直方圖推斷，下列選項錯誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績的眾數(shù)為13.75秒C.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績?yōu)閮?yōu)的人數(shù)為54D.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績?yōu)椴贿_(dá)標(biāo)的人數(shù)為184．若拋物線上一點到焦點的距離為5，則點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.5．過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.46．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角余弦值為（）A. B.C. D.7．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A. B.C. D.8．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點，則EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°9．已知、、、是直線，、是平面，、、是點（、不重合），下列敘述錯誤的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則10．設(shè)正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.11．一個盒子里有3個分別標(biāo)有號碼為1，2，3小球，每次取出一個，記下它的標(biāo)號后再放回盒子中，共取2次，則在兩次取得小球中，標(biāo)號最大值是3的概率為（）A. B.C. D.12．設(shè)命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，則的面積為_________14．如圖，在五面體中，//，，，四邊形為平行四邊形，平面，，則直線到平面距離為_________15．設(shè)，為實數(shù)，已知經(jīng)過點的橢圓與雙曲線有相同的焦點，則___________.16．一條光線經(jīng)過點射到直線上，被反射后經(jīng)過點，則入射光線所在直線的方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左焦點為F，右頂點為，M是橢圓上一點．軸且（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓C交于E，H兩點，點G在橢圓C上，且四邊形平行四邊形（其中O為坐標(biāo)原點），求18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點，為的中點，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面19．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.20．（12分）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點相同，且過點.（1）求雙曲線漸近線方程；（2）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.21．（12分）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且的短軸長為（1）求的方程；（2）若直線與交于P，Q兩點，，且的面積為，求k22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在時的最大值和最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間存在極小值，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意可得首先求出直線上的一個向量，即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案【詳解】∵在直線上，∴直線的一個方向向量，又∵，∴是直線的一個方向向量故選：D2、A【解析】已知，,2成等差數(shù)列,得到，化簡得到【詳解】已知，,2成等差數(shù)列,得到，化簡得到可知是焦點在x軸上的拋物線的一支.故答案為A.【點睛】這個題目考查的是對數(shù)的運(yùn)算以及化簡公式的應(yīng)用，也涉及到了軌跡的問題，求點的軌跡，通常是求誰設(shè)誰，再根據(jù)題干將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，從而列出方程，化簡即可.3、D【解析】根據(jù)頻率之和為求得，結(jié)合眾數(shù)、頻率等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項正確.眾數(shù)為，B選項正確.成績低于秒的頻率為，人數(shù)為，所以C選項正確.成績高于的頻率為，人數(shù)為人，D選項錯誤.故選：D4、C【解析】設(shè)，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為，由拋物線的性質(zhì)到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，求出，解出縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標(biāo)，故選：C.5、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果【詳解】過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A6、D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.7、D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間8、B【解析】取AD中點為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補(bǔ)角，據(jù)此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大小【詳解】如圖，取AD中點為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補(bǔ)角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角為∠FEG或其補(bǔ)角，當(dāng)∠EGF＝60°時，∠FEG＝60°，當(dāng)∠EGF＝120°時，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故選：B9、D【解析】由公理2可判斷A選項；由公理3可判斷B選項；利用平行線的傳遞性可判斷C選項；直接判斷線線位置關(guān)系，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由公理2可知，若，，，，則，A對；對于B選項，由公理3可知，若，，，則，B對；對于C選項，由空間中平行線的傳遞性可知，若，，則，C對；對于D選項，若，，則與平行、相交或異面，D錯.故選：D.10、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量所學(xué)點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，所以，，即，設(shè)，所以，，即，設(shè)點到平面的距離為，所以，故選：D.11、C【解析】求出兩次取球都沒有取到3的概率，再利用對立事件的概率公式計算作答.【詳解】依題意，每次取到標(biāo)號為3的球的事件為A，則，且每次取球是相互獨(dú)立的，在兩次取得小球中，標(biāo)號最大值是3的事件M，其對立事件是兩次都沒有取到標(biāo)號為3的球的事件，，則有，所以在兩次取得小球中，標(biāo)號最大值是3的概率為.故選：C12、B【解析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結(jié)果.【詳解】因為命題，，所以為，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：314、【解析】利用等價轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化為點到面的距離，作，利用線面垂直的判定定理證明平面，然后計算使用等面積法，可得結(jié)果.【詳解】作如圖由//，平面，平面所以//平面所以直線到平面距離等價于點到平面距離又平面，平面所以，又，則平面，，所以平面平面，所以又平面，所以平面所以點到平面距離為由，所以又，所以在中，又故答案為：【點睛】本題考查線面垂直的綜合應(yīng)用以及等面積法求高，重點在于使用等價轉(zhuǎn)換的思想，考驗理解能力，分析問題的能力，屬中檔題.15、1【解析】由點P在橢圓上，可得的值，再根據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點即可求解.【詳解】解：因為點在橢圓上，所以，解得，所以橢圓方程為，又橢圓與雙曲線有相同的焦點，所以，解得，故答案為：1.16、【解析】先求點關(guān)于直線的對稱點，連接,則直線即為所求.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，又點，所以，直線的方程為：，由圖可知，直線即為入射光線，所以化簡得入射光線所在直線的方程:.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)，聯(lián)立與橢圓方程，求出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點的坐標(biāo)，然后由點G在橢圓C上，可求出，從而可得【小問1詳解】∵橢圓C的右頂點為，∴，∵軸，且，∴，∴，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)，將直線代入，消去y并整理得，由，得．（*）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，得，將G點坐標(biāo)代人橢圓C的方程得，滿足（*）式∴18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可.【小問1詳解】在直三棱柱中，，且四邊形平行四邊形，又，則為的中點，又為的中點，故，即：，且平面，平面，所以平面；【小問2詳解】在直三棱柱中，平面，平面，則，且，，平面，故平面，因為平面，所以，又在平行四邊形中，，則四邊形菱形，所以，且，平面，故平面，因為平面，所以平面平面.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標(biāo)原點，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問2詳解】建立以為坐標(biāo)原點，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點坐標(biāo)，，設(shè)平面的法向量則，令，則，即，設(shè)平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.20、（1）（2）【解析】（1）將已知點代入雙曲線方程，然后可得；（2）由雙曲線右焦點與拋物線的焦點相同可解.【小問1詳解】因為雙曲線過點，所以所以，得又因為，所以所以雙曲線的漸近線方程【小問2詳解】由（1）得所以所以雙曲線的右焦點是所以拋物線的焦點是所以，所以所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程21、（1）（2）或k=1.【解析】（1）根據(jù)題意求得雙曲線的焦點即知橢圓焦點，結(jié)合橢圓短軸長，可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，整理得，從而得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后求出弦長以及到直線PQ的距離，進(jìn)而表示出，由題意得關(guān)于k的方程，解得答案.【小問1詳解】雙曲線即，故雙曲線交點坐標(biāo)為，由此可知橢圓焦點也為，又的短軸長為，故，所以，故橢圓的方程為；【小問2詳解】聯(lián)立，整理得：，其，設(shè)，則，所以=，點到直線PQ的距離為，所以=，又的面積為，則=，解得或k=1.22、（1）最大值為9，最小值為；（2）.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定在的極值、端點值，比較它們的大小即