北京市西城區(qū)第十四中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

北京市西城區(qū)第十四中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.2．中國明代商人程大位對文學(xué)和數(shù)學(xué)頗感興趣，他于60歲時(shí)完成杰作《直指算法統(tǒng)宗》．這是一本風(fēng)行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書A.76石 B.77石C.78石 D.79石3．已知函數(shù).設(shè)命題的定義域?yàn)?，命題的值域?yàn)?若為真，為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列中，，則（）A. B.C. D.5．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.6．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A. B.C. D.7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點(diǎn)，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.8．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A.60 B.61C.62 D.639．圓心在x軸上且過點(diǎn)的圓與y軸相切，則該圓的方程是（）A. B.C. D.10．已知奇函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．高中生在假期參加志愿者活動(dòng)，既能服務(wù)社會(huì)又能鍛煉能力．某同學(xué)計(jì)劃在福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院中任選兩個(gè)單位參加志愿者活動(dòng)，則參加圖書館活動(dòng)的概率為（）A. B.C. D.12．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____________14．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線上的兩點(diǎn)，且滿足，則______；若OM垂直AB于點(diǎn)M，且為定值，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為__________.15．已知球面上的三點(diǎn)A，B，C滿足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為______16．如圖將自然數(shù)，…按到箭頭所指方向排列，并依次在，…等處的位置拐彎．如圖作為第一次拐彎，則第33次拐彎的數(shù)是___________，超過2021的第一個(gè)拐彎數(shù)是____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且滿足（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小18．（12分）若數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在銳角中，，，分別為角，，的對邊，且滿足，求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，在處有極值.（1）求、的值；（2）若，有個(gè)不同實(shí)根，求的范圍.21．（12分）已知等差數(shù)列}的公差為整數(shù)，為其前n項(xiàng)和，，（1）求{}的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求22．（10分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】求導(dǎo)后，利用求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：，則，由得，故選：D.2、C【解析】設(shè)出未知數(shù)，列出方程組，求出答案.【詳解】設(shè)甲、乙、丙分得的米數(shù)為x+d，x，x-d，則，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）故選：C3、C【解析】根據(jù)一元二次不等式恒成立和二次函數(shù)值域可求得為真命題時(shí)的取值范圍，根據(jù)和的真假性可知一真一假，分類討論可得結(jié)果.【詳解】若命題為真，則在上恒成立，，；若命題為真，則的值域包含，則或，；為真，為假，一真一假，若真假，則；若假真，則；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.4、D【解析】由數(shù)列的遞推公式依次去求，直到求出即可.【詳解】由，可得，，，故選：D.5、C【解析】根據(jù)基本不等式即可求出【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x：C6、A【解析】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題7、D【解析】由雙曲線的定義可設(shè)，，由平面幾何知識(shí)可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到，而，結(jié)合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故，對三角形，用余弦定理，得到，結(jié)合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.8、B【解析】討論奇偶性，應(yīng)用等差、等比前n項(xiàng)和公式對作分組求和即可.【詳解】當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，則，∴.故選：B.9、A【解析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，列式即可求出【詳解】依題可設(shè)圓的方程為，所以，解得即圓的方程是故選：A10、B【解析】根據(jù)給定的不等式構(gòu)造函數(shù)，再探討函數(shù)的性質(zhì)，借助性質(zhì)解不等式作答.【詳解】依題意，令，因是R上的奇函數(shù)，則，即是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則有在單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上連續(xù)，因此，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，于是得，解得，所以原不等式的解集是.故選：B11、D【解析】對4個(gè)單位分別編號(hào)，利用列舉法求出概率作答.【詳解】記福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院分別為A，B，C，D，從4個(gè)單位中任選兩個(gè)的試驗(yàn)有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個(gè)基本事件，它們等可能，其中有參加圖書館活動(dòng)的事件有AC，BC，CD，共3個(gè)基本事件，所以參加圖書館活動(dòng)的概率.故選：D12、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出【詳解】線段最短時(shí)，與直線垂直，所以，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，則.故答案為：.14、①.-24②.【解析】由拋物線的方程及數(shù)量積的運(yùn)算可求出，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求出，由圓的定義求出圓心即可.【詳解】由，即解得或（舍去）.設(shè)直線AB的方程為.由，消去x并整理得,.又，，直線AB恒過定點(diǎn)N(6,0),OM垂直AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M在以O(shè)N為直徑圓上.|MQ|為定值，點(diǎn)Q為該圓的圓心，又即Q(3,0).故答案為：；15、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因?yàn)榍蛐牡狡矫娴木嚯x為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.16、①.②.【解析】根據(jù)題意得到拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，歸納得到當(dāng)為奇數(shù)為；當(dāng)為為偶數(shù)為，分別代入，即可求解.【詳解】解：由題意，拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，如下表：拐彎的序數(shù)012345678拐彎處的數(shù)1235710131721觀察拐彎處的數(shù)字的規(guī)律：第1個(gè)數(shù)；第3個(gè)數(shù)；第5個(gè)數(shù)；第7個(gè)數(shù)；，所以當(dāng)為奇數(shù)為；同理可得：當(dāng)為為偶數(shù)為；第33次拐彎的數(shù)是，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，所以超過2021第一個(gè)拐彎數(shù)是.故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，所以面.因?yàn)槊?所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且滿足．所以，所以.因?yàn)椋?，?所以.因?yàn)?面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面，∴直線與底面所成角為，即.因?yàn)椋杂桑?）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,所以，設(shè)，由得，，即.則.設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為，則，不妨令，則.因?yàn)槊妫悦娴囊粋€(gè)法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義可求解；（2）根據(jù)（1）化簡，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，得，則所以數(shù)列是首項(xiàng)為﹣1，公比為3的等比數(shù)列所以【小問2詳解】由（1）得：所以，所以19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)降冪公式化簡的解析式，再用整體代入法即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由正弦定理邊化角，從而可求得，根據(jù)銳角三角形可得從而可求出答案【詳解】解：（1），由得所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由正弦定理得，∵∴，即，，得，或，解得，或（舍），∵為銳角三角形，∴解得∴∴的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡與性質(zhì)，考查正弦定理的作用，屬于基礎(chǔ)題20、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得，由此可解得與的值（2）依題意可知直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍介于極小值與極大值之間.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在處有極值，所以，即，解得，.【小問2詳解】由（1）知，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，所以，，若有3個(gè)不同實(shí)根，則，所以的取值范圍為.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和的方法求得答案.小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數(shù)，解得，從而，所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：;【小問2詳解