安徽省皖江聯(lián)盟2024屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

安徽省皖江聯(lián)盟2024屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點分別為，，，則△ABC的歐拉線方程為（）A. B.C. D.2．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.3．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假4．數(shù)列，，，，，中，有序?qū)崝?shù)對是（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)對于任意的滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.6．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，且，點P為雙曲線右支一點，為的內(nèi)心，若成立，給出下列結(jié)論：①點的橫坐標為定值a；②離心率；③；④當軸時，上述結(jié)論正確的是（）A.①② B.②③C.①②③ D.②③④7．在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中，若，，則（）A.9 B.3C. D.8．點在圓上，點在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.9．已知直線為拋物線的準線，直線經(jīng)過拋物線的焦點，與拋物線交于點，則的最小值為（）A. B.C.4 D.810．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.12．已知直線：與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B兩點，若C為直線與y軸的交點，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.14．在等比數(shù)列中，若，，則_____15．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，若，則動點P的軌跡為雙曲線；②拋物線焦點坐標是；③過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若，則動點P的軌跡為橢圓；④曲線與曲線（且）有相同的焦點其中真命題的序號為______（寫出所有真命題的序號．）16．已知焦點為F的拋物線的方程為，點Q的坐標為，點P在拋物線上，則點P到y(tǒng)軸的距離與到點Q的距離的和的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為的正方形E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.（Ⅰ）求證：EF//平面PAD；（Ⅱ）求三棱錐C—PBD的體積.18．（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，，且，，成等比數(shù)列（1）求的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和19．（12分）已知數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍21．（12分）已知空間內(nèi)不重合的四點A，B，C，D的坐標分別為，，，，且（1）求k，t的值；（2）求點B到直線CD的距離22．（10分）某學校一航模小組進行飛機模型飛行高度實驗，飛機模型在第一分鐘時間內(nèi)上升了米高度．若通過動力控制系統(tǒng)，可使飛機模型在以后的每一分鐘上升的高度都是它在前一分鐘上升高度的（1）在此動力控制系統(tǒng)下，該飛機模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是多少米？（2）這個飛機模型上升的最大高度能超過米嗎？如果能，求出從第幾分鐘開始高度超過米；如果不能，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】求出重心坐標，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標，即可求出歐拉線方程.【詳解】由題可知，△ABC的重心為，可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，則方程為，直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為2，則方程為，聯(lián)立方程可得△ABC的垂心為，則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，故△ABC的歐拉線方程為.故選：A.2、C【解析】利用垂直的坐標表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.3、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因為成立，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.4、A【解析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序?qū)崝?shù)對是，故選：5、C【解析】令，結(jié)合題意可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進而得出，變形即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，又，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，則.故選：C6、C【解析】利用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及題意對選項逐個分析判斷即可【詳解】對于①，設(shè)內(nèi)切圓與的切點分別為，則由切線長定理可得,因為，，所以，所以點的坐標為，所以點的橫坐標為定值a，所以①正確，對于②，因為，所以，化簡得，即，解得，因為，所以，所以②正確，對于③，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由雙曲線的定義可得，，因為，，所以，所以，所以③正確，對于④，當軸時，可得，此時，所以，所以④錯誤，故選：C7、A【解析】利用等比數(shù)列的通項公式可得，結(jié)合條件即求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由，，得，解得或，又單調(diào)遞減，故，.故選：A.8、B【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，圓心，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：B.9、D【解析】先求拋物線的方程，再聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由弦長公式可求的最小值.【詳解】因為直線為拋物線的準線，故即，故拋物線方程為：.設(shè)直線，則，，而，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ实淖钚≈禐?，故選：D.10、D【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出的單調(diào)性，由此化簡不等式來求得不等式的解集.【詳解】當時，單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增.因為是偶函數(shù)，所以當時，單調(diào)遞減.，，，或.即不等式的解集為.故選：D11、D【解析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【詳解】由，可知，則有，解之得故選：D12、D【解析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后分別與直線聯(lián)立，求出A、B兩點的橫坐標，再利用可求解.【詳解】由雙曲線方程可知其漸近線方程為：，當時，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件,求出a的最小值.【詳解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.因為“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，故答案為:3.【點睛】本題考查充分條件和必要條件的應(yīng)用,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標和性質(zhì)計算可得；【詳解】解：∵在等比數(shù)列中，，∴原式故答案為：【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、②④##④②【解析】利用雙曲線定義判斷命題①；寫出拋物線焦點判斷命題②；分析點P滿足的關(guān)系判斷命題③；按取值討論計算半焦距判斷命題④作答.【詳解】對于①，因雙曲線定義中要求，則命題①不正確；對于②，拋物線化為：，其焦點坐標是，命題②正確；對于③，令定圓C的圓心為C，因，則點P是弦AB的中點，當P與C不重合時，有，點P在以線段AC為直徑的圓上，當P與C重合時，點P也在以線段AC為直徑的圓上，因此，動點P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除A點外)，則命題③不正確；對于④，曲線的焦點為，當時，橢圓中半焦距c滿足：，其焦點為，當時，雙曲線中半焦距滿足：，其焦點為，因此曲線與曲線（且）有相同的焦點，命題④正確，所以真命題的序號為②④.故答案為：②④【點睛】易錯點睛：橢圓長短半軸長分別為a，b，半焦距為c滿足關(guān)系式：；雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為、、滿足關(guān)系式：，在同一問題中出現(xiàn)認真區(qū)分，不要混淆.16、##【解析】利用定義將所求距離之和的最小值問題，轉(zhuǎn)化為的最小值問題.【詳解】焦點F坐標為，拋物線準線為,如圖，作垂直于準線于A，交y軸于B，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析（2）【解析】本試題主要是考查了線面平行的判定和三棱錐體積的求解的綜合問題．培養(yǎng)了同學們的推理論證能力和計算能力（1）根據(jù)已知的條件關(guān)鍵是分析出EF//PA，利用線面平行判定定理得到（2）根據(jù)上一問中的結(jié)論可知PM⊥平面ABCD.然后利用轉(zhuǎn)換頂點的思想求解棱錐的體積解：（Ⅰ）證明：連接AC，則F是AC的中點，E為PC的中點，故在CPA中，EF//PA，且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF//平面PAD（Ⅱ）取AD的中點M，連接PM，∵PA=PD，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥平面ABCD.在直角PAM中，求得PM=，∴PM=18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，且，，，利用“”法求解；（2）由，利用裂項相消法求解.【小問1詳解】解：，，設(shè)數(shù)列的公差為，則，，，由題知，整理得，解得，（舍去），，則.【小問2詳解】，則=.19、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）由已知條件，可得為常數(shù)，從而得證數(shù)列是等比數(shù)列，進而可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，又，所以，所以，利用錯位相減法即可求解數(shù)列的前項和.【小問1詳解】證明：由題意，因為，，，所以，，所以數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】解：由（1）可得，又，所以，所以，所以，所以，，所以，所以.20、（1）（2）【解析】（1）先求導(dǎo)，由到數(shù)值求出斜率，最后根據(jù)點斜式求出方程即可；（2）采用分離常數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】時，，，則，，所以在點處的切線方程為，即【小問2詳解】對任意的，恒成立，即，對任意的，令，即，則，因為，，所以當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以21、（1），（2）【解析】（1）由，可得存在唯一實數(shù)，使得，列出方程組，解之即可得解；（2）設(shè)直線與所成的角為，求出，再根據(jù)點B到直線CD的距離為即可得解【小問1詳解】