甘肅省銀川二中2023年高二數(shù)學第一學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

甘肅省銀川二中2023年高二數(shù)學第一學期期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若對于且都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．過坐標原點作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.4．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.35．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為A. B.C. D.6．是直線與直線互相平行的（）條件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要7．已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（）A.1 B.3C.9 D.818．函數(shù)的導函數(shù)為（）A. B.C. D.9．過拋物線C：的準線上任意一點作拋物線的切線，切點為，若在軸上存在定點，使得恒成立，則點的坐標為（）A. B.C. D.10．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，則（）A.14 B.9C.4 D.211．已知且，則的值為（）A.3 B.4C.5 D.612．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)到與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項分別為2，3，5，8，12，17，23則該數(shù)列的第100項為（）A.4862 B.4962C.4852 D.4952二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中所有項的系數(shù)和為_________14．已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù),,對任意實數(shù)都有,則不等式的解集為___________.15．拋物線的焦點坐標為__________16．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則該雙曲線的實軸長為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的一個焦點坐標為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標原點，橢圓與直線相交于兩個不同的點A、B，線段AB的中點為M.若直線OM的斜率為-1，求線段AB的長；（3）如圖，設(shè)橢圓上一點R的橫坐標為1（R在第一象限），過R作兩條不重合直線分別與橢圓交于P、Q兩點、若直線PR與QR的傾斜角互補，求直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.18．（12分）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)（圓形區(qū)域的邊界上無暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.（1）若，輪船直線返港，沒有觸礁危險，求的取值范圍?（2）若輪船直線返港，且必須經(jīng)過小島中心東北方向處補水，求的最小值.19．（12分）寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假：（1）：任意兩個等邊三角形都是相似的；（2）：，.20．（12分）已知拋物線過點.（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點兩點在軸的兩側(cè)，且，求證：過定點.21．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，其前n項和為（1）若，，求數(shù)列的前n項和；（2）若，，成等差數(shù)列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數(shù)m，n，p，使得，，成等差數(shù)列；（3）若存在正整數(shù)，使得數(shù)列，，…，在刪去以后按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列，求所有數(shù)對所構(gòu)成的集合，22．（10分）已知點，（1）若過點P作的切線只有一條，求實數(shù)的值及切線方程；（2）過點P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點，當面積最大時，求實數(shù)的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為對于且時，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為時，恒成立，求得的導數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求解.【詳解】由題意，對于且都有成立，不妨設(shè)，可得恒成立，即對于且時，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當時，恒成立，又由，所以在上恒成立，即在上恒成立，又由，所以，即實數(shù)取值范圍為.故選：D2、D【解析】求出直線直線過的定點A，由題意可知垂足是落在以O(shè)A為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過定點,由過坐標原點作直線的垂線，垂足為，可知：落在以O(shè)A為直徑的圓上，而以O(shè)A為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點到原點距離的平方，而圓過原點，圓上點到原點的最遠距離為，但將原點坐標代入直線中，不成立，即直線l不過原點，所以不可能和原點重合，故，故選：D3、A【解析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A4、D【解析】先分別求出兩條直線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積為，即可求出.【詳解】由已知得直線與直線的斜率分別為、，∵直線與直線垂直，∴，解得，故選：.5、A【解析】根據(jù)題意可求出正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，再根據(jù)截面圓半徑，球的半徑以及球心距的關(guān)系，即可求出球的半徑，從而得到球的體積【詳解】設(shè)球的半徑為cm，根據(jù)已知條件知，正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面圓的距離為cm，所以由，得，所以球的體積為故選：A【點睛】本題主要考查球的體積公式的應(yīng)用，以及球的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】求出直線與平行的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由解得或，當時，與平行，當時，與平行，則直線與直線平行等價于或，所以是直線與直線互相平行的充分而不必要條件.故選：B7、A【解析】根據(jù)條件，利用橢圓標準方程中長半軸長a，短半軸長b，半焦距c關(guān)系列式計算即得.【詳解】由橢圓的一個焦點坐標為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以值為1.故選：A8、B【解析】利用復(fù)合函數(shù)求導法則即可求導.【詳解】，故選：B.9、D【解析】設(shè)切點，點，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準線方程可得，將問題轉(zhuǎn)化為對任意點恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設(shè)切點，點由題意，拋物線C的準線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對任意點恒成立，也就是對任意點恒成立因為，，則，即對任意實數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點睛】一般表示拋物線的切線方程時可將拋物線方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，可利用導數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再代入計算.10、C【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓、雙曲線方程的特點直接列式計算作答.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，則，而橢圓與雙曲線有共同的焦點，則在雙曲線中，，即有，解得，所以.故選：C11、C【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標運算求解【詳解】由已知，解得故選：C12、D【解析】根據(jù)題意可得數(shù)列2，3，5，8，12，17，23，，滿足：，，從而利用累加法即可求出，進一步即可得到的值【詳解】2，3，5，8，12，17，23，后項減前項可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.015625【解析】賦值法求解二項式展開式中所有項的系數(shù)和.【詳解】令得：，即為展開式中所有項的系數(shù)和.故答案為：14、【解析】令則，∴在R上是減函數(shù)又等價于∴故不等式的解集是答案：點睛：本題考查用構(gòu)造函數(shù)的方法解不等式，即通過構(gòu)造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集，解題時要注意常見的函數(shù)類型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對于，可構(gòu)造函數(shù)；（2）對于，可構(gòu)造函數(shù)15、【解析】化成標準形式，結(jié)合焦點定義即可求解.【詳解】由，得，故拋物線的焦點坐標為故答案為：16、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運用點到直線的距離公式和弦長公式，可得a，b的關(guān)系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實軸長為2.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長半軸長a即可計算得解.(2)將代入橢圓的方程，再結(jié)合給定條件求出k值即可計算出AB的長.(3)設(shè)出直線PR的方程，再與橢圓的方程聯(lián)立求出點P坐標，同理可得點Q坐標，計算PQ的斜率即可作答.【小問1詳解】依題意，橢圓的半焦距c=1，而，解得，則，所以橢圓的方程是：.【小問2詳解】由消去y并整理得：，解得，，于是得線段AB的中點，直線OM斜率為，解得，因此，，所以線段AB的長為.【小問3詳解】由(1)知，點，依題意，設(shè)直線PR的斜率為，直線PR方程為：，由消去y并整理得，，設(shè)點，則有，顯然直線QR的斜率為-t，設(shè)點，同理有，于是得直線PQ的斜率，所以直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.【點睛】方法點睛：求橢圓的標準方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程②待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設(shè)出橢圓的標準方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論.18、（1）（2）120【解析】（1）建立平面直角坐標系設(shè)直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式可得；（2）先求補水點的坐標，根據(jù)直線過該點，結(jié)合所求，根據(jù)基本不等式可得.【小問1詳解】根據(jù)題意，以小島中心為原點，建立平面直角坐標系，當時，則輪船返港的直線為，因為沒有觸礁危險，所以原點到的距離，解得.【小問2詳解】根據(jù)題意可得，，點C在直線上，故點C，設(shè)輪船返港的直線是，則，所以.當且僅當時取到最小值.19、（1）存在兩個等邊三角形不是相似的，假命題（2），真命題【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準確改寫，即可求解.【小問1詳解】解：命題“任意兩個等邊三角形都是相似的”是一個全稱命題根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得其否定“存在兩個等邊三角形不是相似的”，命題為假命題.【小問2詳解】解：根據(jù)全稱命題與存在性命題關(guān)系，可得：命題的否定為.因為，所以命題為真命題.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）運用代入法直接求解即可；（2）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.【小問1詳解】由已知可得：；【小問2詳解】的斜率不為設(shè)，，∴OA→?因為直線與拋物線交于兩點兩點在軸的兩側(cè)，所以，即過定點.【點睛】關(guān)鍵點睛：運用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）（2）,證明見解析.（3）不存在，【解析】（1）數(shù)列為首項為公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)果；（2），，成等差數(shù)列，則+=2，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算可解得，進而計算可得，即可判斷結(jié)果；（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，解方程組可得無解，則所有數(shù)對所構(gòu)成的集合為.【小問1詳解】，，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，，數(shù)列為，數(shù)列為首項為公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項和.【小問2詳解】，，成等差數(shù)列，+=2，當時,+=,2,不符題意舍去，當時，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，，，.【小問3詳解】由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，,即，解得：方程組無解.即符合條件的不存在，所有