邯鄲市重點(diǎn)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

邯鄲市重點(diǎn)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用表示，村外一小路所在直線方程可用表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為（）A. B.C. D.2．已知拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，且該拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線(，)的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.4C.6 D.93．若橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則（）A. B.C. D.5．某中學(xué)高一年級(jí)有200名學(xué)生，高二年級(jí)有260名學(xué)生，高三年級(jí)有340名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生完成作業(yè)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本，則高二年級(jí)抽取的人數(shù)為（）A.10 B.13C.17 D.266．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)T在拋物線C的準(zhǔn)線上，線段FT與拋物線C的交點(diǎn)為W，，則（）A.1 B.C. D.7．已知直線m經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線m的斜率為（）A.-2 B.C. D.28．過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A. B.C.或 D.或9．“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．橢圓的長軸長為（）A. B.C. D.11．甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)進(jìn)行黨史知識(shí)比賽，決出第1名到第4名的名次（名次無重復(fù)），其中前2名將獲得參加市級(jí)比賽的資格，甲和乙去詢問成績，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你沒有獲得參加市級(jí)比賽的資格.”對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這兩個(gè)回答分析，4人的排名有（）種不同情況.A.6 B.8C.10 D.1212．下列求導(dǎo)不正確的是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點(diǎn)，且垂直于的直線方程為_______________.14．經(jīng)過點(diǎn)作直線，直線與連接兩點(diǎn)線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是________15．已知拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)B在C上，若點(diǎn)B，O，F(xiàn)構(gòu)成一個(gè)斜三角形，則______16．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，點(diǎn)P是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為___________________；若點(diǎn)Q為拋物線E：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，Q在直線x=-1上的射影為H，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，為橢圓C的左，右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若內(nèi)切圓的半徑為，求直線l的方程.18．（12分）在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在三棱柱中，，D為BC的中點(diǎn)，平面平面ABC（1）證明：；（2）已知四邊形是邊長為2的菱形，且，問在線段上是否存在點(diǎn)E，使得平面EAD與平面EAC的夾角的余弦值為，若存在，求出CE的長度，若不存在，請(qǐng)說明理由20．（12分）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）在①；②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．（10分）如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線軸時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）記,的面積分別為，求的取值范圍；（3）若的重心在圓上，求直線的斜率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出圓心到直線距離，減去半徑即為答案.【詳解】圓心到直線的距離，則從村莊外圍到小路的最短距離為故選：B2、A【解析】由題意求得拋物線的準(zhǔn)線方程為，進(jìn)而得到準(zhǔn)線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結(jié)合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，根據(jù)拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C的離心率.故選：A.3、B【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出的值，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知可得，可得，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.4、C【解析】建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)表示向量，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨令，則，，，，，.因?yàn)椋?，則，，，，則解得，，，故.故選：C5、B【解析】計(jì)算出抽樣比可得答案.【詳解】該校高中學(xué)生共有名，所以高二年級(jí)抽取的人數(shù)名.故選：B.6、B【解析】根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由已知得：，該拋物線的準(zhǔn)線方程為：，所以設(shè)，因?yàn)?，所以，由拋物線的定義可知：，故選：B7、A【解析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為：.故選：A8、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，方程為，即2x－y＝0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，∵直線過(1，2)，∴，∴，∴方程為，故選：D﹒9、A【解析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由,得,即或所以,反之,則不然所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選:A10、D【解析】由橢圓方程可直接求得.【詳解】由橢圓方程知：，長軸長為.故選：D.11、C【解析】由題可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分類討論可得答案.【詳解】若甲是最后一名，則其他三人沒有限制，4人排名即為，若甲是第三名，4人的排名為，所以4人的排名有種情況.故選：C12、C【解析】由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算后可判斷【詳解】A：；B：；C：；D：故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出，可得垂直于的直線的斜率為，再利用點(diǎn)斜式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以垂直于的直線的斜率為，垂直于的直線方程為，化為，故答案為.【點(diǎn)睛】對(duì)直線位置關(guān)系的考查是熱點(diǎn)命題方向之一，這類問題以簡單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），這類問題盡管簡單卻容易出錯(cuò)，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點(diǎn)一定不能掉以輕心.14、【解析】求出的斜率，結(jié)合圖形可得結(jié)論【詳解】，，而，因此，故答案為：15、2【解析】畫出簡單示意圖，令，根據(jù)拋物線定義可得，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及B在C上，求目標(biāo)式的值.【詳解】如下圖，令，直線為拋物線準(zhǔn)線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為，再由三角函數(shù)的定義及點(diǎn)在拋物線上求值.16、①.②.【解析】（1）利用直譯法直接求出P點(diǎn)的軌跡（2）先利用阿氏圓的定義將轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到另一個(gè)定點(diǎn)的距離，然后結(jié)合拋物線的定義容易求得的最小值【詳解】設(shè)P（x，y），由阿氏圓的定義可得即化簡得則設(shè)則由拋物線的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了阿氏圓定義的應(yīng)用．還考查了學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想、方程思想等思想方法解題的能力．難度較大三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解析】（1）根據(jù)離心率可得的關(guān)系，再將的坐標(biāo)代入方程后可求，從而可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線的方程為，，結(jié)合內(nèi)切圓的半徑為可得，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后結(jié)合韋達(dá)定理可得關(guān)于的方程，求出其解后可得直線方程.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，故可設(shè)，故橢圓方程為，代入得，故，故橢圓方程為：.【小問2詳解】的周長為，故.設(shè)，由題設(shè)可得直線與軸不重合，故可設(shè)直線，則，由可得，整理得到，此時(shí)，故，解得，故直線的方程為：或.18、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合已知條件即可得到證明.（2）運(yùn)用分組求和的方法，利用等比數(shù)列和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】（1）證明：∵，∴數(shù)列為首項(xiàng)是2，公比是2的等比數(shù)列.∴，∴.（2）由（1）知，，【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查分組求和的方法，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）證明見解析（2）存在，1【解析】（1）由面面垂直證明線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.【小問1詳解】∵，且D為BC的中點(diǎn)，∴，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，交線為BC，AD⊥BC，AD面ABC，所以AD⊥面，因?yàn)槊?，所?【小問2詳解】假設(shè)存在點(diǎn)E，滿足題設(shè)要求連接，，∵四邊形為邊長為2的菱形，且，∴為等邊三角形，∵D為BC的中點(diǎn)∴，∵平面平面ABC，交線為BC，面，所以面ABC，故以D為原點(diǎn)，DC，DA，分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系則，，，，設(shè)，，設(shè)面AED的一個(gè)法向量為，則，令，則設(shè)面AEC的一個(gè)法向量為，則，令，則設(shè)平面EAD與平面EAC的夾角為，則解得：，故點(diǎn)E為中點(diǎn)，所以20、（1）的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為；（2）.【解析】（1）用基本量表示題干中的量，聯(lián)立求解即可；（2）由，，用乘公比錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由已知，得，而，所以，解得，所以.由得.①，由得.②，聯(lián)立①②解得，所以.故的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由，得.，，上述兩式相減，得，所以，即.21、條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合正余弦的和差角公式化簡可得，得出；若選擇②，利用余弦定理及面積公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根據(jù)余弦定理求解的值.【詳解】解析：（1）選擇條件①.，，得，選擇條件②，由余弦定理及三角形的面積公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，難度一般.解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中邊角關(guān)系，運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化、再根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡是關(guān)鍵.一般地，當(dāng)?shù)仁街泻衋