1-三角形中的特殊點和四點共圓

人人（智啟）教育個性化教案學生學校年級星期學科數(shù)學教師日期時段課題三角形中的四個基本特殊點和四點共圓(基礎)教學目標考點分析1，掌握三角形中的四個基本的特殊點（內(nèi)心外心垂心重心）的定義，2，初步掌握它們的一些性質(zhì)教學重點塞瓦定理，歐拉線，歐拉定理，垂足三角形,四點共圓的判定教學難點建立幾何觀念教學過程三角形中有非常多的特殊點，比如重心，垂心，旁心，內(nèi)心，外心，奈格爾點，格爾綱點，布洛卡爾點，spieker點，Baven點，九點圓圓心，陪位重心等等，也有很多特殊的直線，比如歐拉線，西姆松線，等等.經(jīng)過無數(shù)人研究，它們已經(jīng)成為幾何的基本工具，用以研究其余問題，掌握這些傳統(tǒng)知識，能使我們更好的理解和掌握平面幾何的更深刻的問題.下面我們就從給最基本的開始，即四個心：重心G，垂心H，外心O，內(nèi)心I.(以下如果沒有特別說明，a,b,c表示三角形ABC的頂點A,B,C的對邊長度,S表示三角形ABC的面積,p表示三角形的周長的一半.R表示外接圓半徑,r表示內(nèi)切圓半徑.)1,重心：三角形三條中心的交點,G.眾所周知，重心把每條中線都分為2:1的兩部分.下面我們來證明三條重線的確交于一點，為了給出一個統(tǒng)一的判斷方法，我們先來證明下面的塞瓦定理和四點共圓的判定方法：塞瓦定理：三角形ABC三邊上分別有D,E,F三點（如圖），若直線AD,BE,CF三線共點，則有：另外，塞瓦定理的逆定理也成立，這就是判定三線共點的一種方法.也就是：若上面的式子成立，則有AD,BE,CF共點.注意，上式中的線段都是有向線段.塞瓦定理的角元形式：三角形ABC三邊上分別有D,E,F三點（如圖），直線AD,BE,CF三線共點的等價條件為：那么，利用塞瓦定理逆定理，我們很容易證明三角形三條中線交于一點.甚至之后很多特殊點也可以用塞瓦定理逆定理來判定.四點共圓:即四個點(ABCD)在同一個圓上.圓內(nèi)接四邊形ABCD的基本性質(zhì):(1)對角互補,即∠BAD+∠BCD=180°(2)一邊在同側(cè)的張角相等,即∠DAC=∠DBC.四點共圓的判定方法:(1)若∠BAD+∠BCD=180°,即對角互補,則ABCD四點共圓.(2)若∠DAC=∠DBC,即一邊在同側(cè)的張角相等,則ABCD四點共圓.以上性質(zhì)和判定都很容易用圓周角的性質(zhì)來證明.請自己完成,其中判定方法是非常重要的.另外,我們可以證明三角形ADP相似于三角形BCP.這樣便得到下面的相交弦定理:(有向線段)這同時也是四點共圓的一種判定方法.由此可見,的值只與P的位置有關,與如何過P作圓的弦無關.這個值,我們把它叫做P點關于圓O的冪,簡稱P的冪.特別地,我們作直線PO,與圓O交于X,Y,則我們有我們定義P關于圓O的冪為,r為圓O的半徑,可以看出:當P在圓內(nèi)時,冪為負,在圓外時,冪為正,圓周上冪為0.如圖:由圓外一點P作兩條射線,與圓O分別交于A,D和B,C,求證:由此,也給出一個四點共圓的判定方法.請自己考慮極限情況:當BC兩點重合的情形.我們來看下面的證明題：三角形ABC的外接圓與另一圓D交于H，I，AB，AC分別與直線HI交于F，G，過D作BC的垂線與圓D交于E點，若FEC，GEB都三點共線，證明：AE平分∠BAC.托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，兩組對邊的乘積的和等于兩條對角線的乘積.即：我們用相似三角形給出托勒密定理的一種證明，一定要重視證明的方法.將來我們還要給出托勒密定理的推廣.米庫爾定理：如圖，四邊形ABCD的兩組對邊延長后分別交于E，F(xiàn)（通常稱之為完全四線形），則以下四個三角形的外接圓共點M：△ABF，△BCE，△CDF，△ADE.事實上我們假設△ABF，△BCE的外接圓交于B，M，然后證明FMCD四點共圓即可，這很容易用對角互補來判定.2,垂心：三角形三條高線所在直線的交點,H.請用塞瓦定理逆定理四點共圓兩種方法證明：三條高的確交于一點.另外我們以后將要證明，銳角三角形的垂足三角形（即三角形DEF）的內(nèi)心就是H，以及，銳角三角形ABC的垂足三角形是所有內(nèi)接三角形中周長最小者.請根據(jù)垂心的定義,找出上圖中相等的角:請給出線段EF和HD的計算方法,用a,b,c,A,B,C來表示.3,外心:三角形三邊中垂線的交點,O.我們用中垂線的定義和基本性質(zhì)就能證明它們交于一點O,另外,O點到三個頂點的距離相等,所以可以以O為圓心作圓同時經(jīng)過三個頂點,這個圓叫做三角形ABC的外接圓.由正弦定理我們知道外接圓半徑R的計算方法,以及和面積的關系:.請由圓周角和圓心角的關系,給出線段OD的長度計算公式:請問:直角三角形的外心在哪里?請計算一個三邊長分別是4,5,6的三角形的外接圓半徑.3,內(nèi)心:三角形三條角平分線的交點,I.我們用角平分線的定義和基本性質(zhì)就能證明它們交于一點I,另外,I點到三條邊的距離相等,所以可以以I為圓心作圓同時與三條邊相切,這個圓叫做三角形ABC的內(nèi)切圓.請用面積法給出內(nèi)切圓的半徑r的計算方法.用面積法給出角平分線AD長的計算公式.用角平分線定理給出AI和ID的比值.如圖三角形ABC的內(nèi)切圓與三邊的切點分別是D,E,F,證明:三角形DEF是銳角三角形.例題:1,銳角三角形ABC的垂心為H,三高垂足分別是D,E,F,證明:H是三角形DEF的內(nèi)心.且三角形DEF是ABC的內(nèi)接三角形中周長最小的.2,三角形ABC的垂心為H,外心為O,D是BC中點,求證:AH=2OD.這是一個重要關系,我們用兩種方法加以證明,一種用純幾何方式,另一種用計算法.另外,由此關系,請證明下面這個重要的向量關系:3,三角形ABC中,H,G,O分別時垂心,重心,外心,證明:H,G,O三點共線,且HG=2GO4,三角形ABC的外心為O,內(nèi)心為I,外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,設IO長度為d,則(歐拉定理)這個關系非常重要,事實上,它的逆定理仍然成立,即,若兩個半徑為R,r的圓的圓心距d滿足上式,則任何一個內(nèi)接于大圓的三角形必外切于小圓,而任何一個外切于小圓的三角形必定內(nèi)接于大圓.另外,由此公式,我們可以用a,b,c表示內(nèi)心I在外接圓中的冪.作業(yè)布置從例題中選擇.教學反思學生對本次課的總結和評定1、○特別滿意○滿意○一般○差2、本次課我學到了什么知識_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________