廣東省湛江市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

廣東省湛江市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則A.2 B.3C. D.42．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知點O為坐標(biāo)原點，拋物線C：的焦點為F，點T在拋物線C的準(zhǔn)線上，線段FT與拋物線C的交點為W，，則（）A.1 B.C. D.4．在中，、、所對的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.5．有一個圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點，則關(guān)于下列命題：①鉛垂的側(cè)面積為150cm2；②一只螞蟻從P點出發(fā)沿鉛垂側(cè)面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確6．已知直線，，，則m值為（）A. B.C.3 D.107．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（）A. B.2C. D.8．已知點在拋物線：上，點為拋物線的焦點，，點P到y(tǒng)軸的距離為4，則拋物線C的方程為（）A. B.C. D.9．已知l，m是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．若直線過點（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°11．某學(xué)校隨機抽取了部分學(xué)生，對他們每周使用手機的時間進行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時13.75小時；③若從每周使用時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應(yīng)從使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③12．已知拋物線=的焦點為F，M、N是拋物線上兩個不同的點，若，則線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為（）A.8 B.4C. D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是____14．計算：________15．已知函數(shù)，若有兩個零點，則的范圍是______16．某高中高二年級學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)學(xué)選擇性必修一后進行了一次測試，總分為100分.現(xiàn)用分層隨機抽樣方法從學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中抽取一個樣本量為40的樣本，再將40個成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計成績樣本數(shù)據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的兩組學(xué)生成績樣本數(shù)據(jù)中，隨機抽取兩個進調(diào)查，求調(diào)查對象來自不同分組的概率.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和18．（12分）已知動點M到點F（0，2）的距離，與點M到直線l：y＝﹣2的距離相等.（1）求動點M的軌跡方程；（2）若過點F且斜率為1的直線與動點M的軌跡交于A，B兩點，求線段AB的長度.19．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，點M和點N分別為PA和PC的中點（1）證明：直線DM∥平面PBC；（2）求直線BM和平面BDN所成角的余弦值；（3）求二面角M-BD-N正弦值；（4）求點P到平面DBN距離；（5）設(shè)點N在平面BDM內(nèi)的射影為點H，求線段HA的長20．（12分）已知橢圓上頂點與橢圓的左，右頂點連線的斜率之積為（1）求橢圓C的離心率；（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點，，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程21．（12分）如圖，已知橢圓：（）的左、右焦點分別為、，離心率為.過的直線與橢圓的一個交點為，過垂直于的直線與橢圓的一個交點為，.（1）求橢圓的方程和點的軌跡的方程；（2）若曲線上的動點到直線：的最大距離為，求的值.22．（10分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，且（1）求拋物線的方程；（2）若，是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于，兩點（均與點不重合），設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過分別作的垂線與軸交于兩點，∴，故選D.2、A【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當(dāng)時，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A3、B【解析】根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義進行求解即可.【詳解】由已知得：，該拋物線的準(zhǔn)線方程為：，所以設(shè)，因為，所以，由拋物線的定義可知：，故選：B4、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對大角，結(jié)合正弦定理，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.5、C【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側(cè)面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯誤.將其側(cè)面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數(shù)為,作，，又,,cm,②正確.故選：C6、C【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，且，所以，解得；故選：C7、C【解析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，求出點P的軌跡方程，探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡整理得：，因此，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點P不在x軸上時，與點A，B可構(gòu)成三角形，當(dāng)點P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，顯然，點P到軸的最大距離為，此時，，所以面積的最大值是故選：C8、D【解析】由拋物線定義可得，注意開口方向.詳解】設(shè)∵點P到y(tǒng)軸的距離是4∴∵，∴.得：.故選：D.9、B【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系分析選項A,C,D，由平面與平面垂直的判定定理判定選項D.【詳解】選項A.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項B.由，，則，故正確.選項C.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項D.由,,則可能相交，可能平行，故不正確.故選：B10、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A11、B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.【詳解】，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可估計出平均值為，所以估計抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；每周使用時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應(yīng)從使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為，故③正確.故選：B.12、B【解析】過分別作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則由拋物線的定義可得，再過MN的中點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，然后利用梯形的中位線定理可求得結(jié)果【詳解】拋物線=的焦點，準(zhǔn)線方程為直線如圖，過分別作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過MN的中點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則由拋物線的定義可得，因為，所以，因為是梯形的中位線，所以，所以線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為4，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】聯(lián)立直線得，由無公共點得，進而得，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.14、【解析】根據(jù)無窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.【詳解】.故答案為：.15、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，結(jié)合函數(shù)的圖象列式可求出結(jié)果.【詳解】,當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，最多只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時取得極小值為，也是最小值，因為當(dāng)趨近于正負(fù)無窮時，都是趨近于正無窮，所以要使有兩個零點，只要，即就可以了.所以的范圍是故答案為：.16、（1）眾數(shù)；平均數(shù)，中位數(shù).（2）.【解析】（1）按“眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.【小問1詳解】眾數(shù)取頻率分布直方圖中最高矩形對應(yīng)區(qū)間的中點75；平均數(shù)；因為，所以中位數(shù)在區(qū)間上，且中位數(shù)【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的成績樣本數(shù)據(jù)分別有4個和2個，從6個樣本選2個共有個結(jié)果，記事件A=“調(diào)查對象來自不同分組”，結(jié)果有所以.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項、公差，由列出關(guān)于首項、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可知，利用裂項相消法可求數(shù)列的前n項和.小問1詳解】依題意：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則解得所以數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】由（1）可知因為，所以，所以.18、（1）x2＝8y（2）16【解析】小問1：由拋物線的定義可求得動點M的軌跡方程；小問2：可知直線AB的方程為y＝x+2，設(shè)點A（x1，y1）、B（x2，y2），將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出y1+y2的值，利用拋物線的定義可求得|AB|的值.【小問1詳解】由題意點M的軌跡是以F為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以，則p＝4，所以動點M的軌跡方程是x2＝8y；【小問2詳解】由已知直線AB方程是y＝x+2，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣8x﹣16＝0，，所以x1+x2＝8，則y1+y2＝x1+x2+4＝12，故|AB|＝y(tǒng)1+y2+4＝1619、（1）證明見解析（2）（3）（4）（5）【解析】（1）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，證明與平面的法向量垂直，從而證明直線平面（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直線和平面所成角的余弦值（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值（4）求出的坐標(biāo)，再求出平面的法向量，利用向量法，求出點到平面的距離；（5）設(shè)點在平面內(nèi)的射影為點，從而表示出的坐標(biāo)，求出到平面的距離，列出方程組，求出點坐標(biāo)，從而求出的長度.【小問1詳解】四棱錐，底面是一個直角梯形，，平面，所以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，所以，，取，則，所以，平面，所以直線平面.【小問2詳解】，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.【小問3詳解】設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，所以二面角的正弦值為.【小問4詳解】，平面的法向量，所以點到平面的距離為.【小問5詳解】設(shè)點在平面的射影為點，則，所以點到平面的距離為，根據(jù)，得解得，，，或者，，（舍）所以.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，可知，可得，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，由此即可求出離心率；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到，，再根據(jù)弦長公式，建立方程，即可求出的值，進而求出橢圓方程.【小問1詳解】解：由題意可知，橢圓上頂點坐標(biāo)為，左右頂點的坐標(biāo)分別為、，∴，即，則又，∴，所以橢圓的離心率；【小問2詳解】解：設(shè)，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿足，∴，∴橢圓C的方程為21、（1）橢圓的方程為，點的軌跡的方程為（2）【解析】（1）由題意可得，求出，再結(jié)合，求出，從而可得橢圓的方程，設(shè)，則由題意可得，坐標(biāo)代入化簡可得點的軌跡的方程，（2）由題意結(jié)合點到直線的距離公式可得，設(shè)，將直線方程代入橢圓方程中消去，整理利用根與系數(shù)的關(guān)系，由，可得，因為，代入化簡計算可求得答案【小問1詳解】由題意得，解得，則，所以橢圓的方程，設(shè)，則由題意可得，所以，所以，所以點軌跡的方程為【小問2