黑龍江省賓縣第一中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

黑龍江省賓縣第一中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．函數(shù)在上的最大值是A. B.C. D.3．已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，是它們一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.4．直線l的方向向量為，且l過點(diǎn)，則點(diǎn)到l的距離為()A B.C. D.5．已知p：，q：，那么p是q的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件6．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的兩點(diǎn)，均在第一象限，且，，，則直線的斜率為（）A.1 B.C. D.8．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形9．已知拋物線，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.410．把直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使它與圓相切，則直線轉(zhuǎn)動(dòng)的最小正角度A. B.C. D.11．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則___14．某射箭運(yùn)動(dòng)員在一次射箭訓(xùn)練中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：8，9，8，10，6，7，9，10，8，5，則命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為___________.15．已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與的對(duì)稱軸垂直，與交于，兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則的面積為________16．設(shè)變量x，y滿足約束條件則的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形是一塊邊長(zhǎng)為4km正方形地域，地域內(nèi)有一條河流，其經(jīng)過的路線是以中點(diǎn)為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線的一部分（河流寬度忽略不計(jì)），某公司準(zhǔn)備投資一個(gè)大型矩形游樂場(chǎng).（1）設(shè)，矩形游樂園的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系；（2）試求游樂園面積的最大值.18．（12分）已知等差數(shù)列中，，，等比數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求的最小值19．（12分）已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積的最大值.20．（12分）已知函數(shù)為常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）有一種魚的身體吸收汞，當(dāng)這種魚身體中的汞含量超過其體重的1.00ppm（即百萬分之一）時(shí)，人食用它，就會(huì)對(duì)人體產(chǎn)生危害．現(xiàn)從一批該魚中隨機(jī)選出30條魚，檢驗(yàn)魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：ppm），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68（1）求上述數(shù)據(jù)的眾數(shù)，并估計(jì)這批魚該項(xiàng)數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；（2）有A，B兩個(gè)水池，兩水池之間有8個(gè)完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時(shí)通過2條魚①將其中汞的含量最低的2條魚分別放入A水池和B水池中，若這2條魚的游動(dòng)相互獨(dú)立，均有的概率進(jìn)入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；②將其中汞的含量最低的2條魚都先放入A水池中，若這2條魚均會(huì)獨(dú)立地且等可能地從其中任意一個(gè)小孔由A水池進(jìn)入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚由不同小孔進(jìn)入B水池的概率22．（10分）已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，是上一點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，（1）證明：是的中點(diǎn)；（2）求二面角的大小

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】用向量分別表示,利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可得，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查用向量的夾角公式求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令可得，可得上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最大值是故選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題3、D【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)a2，焦距2c．根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結(jié)論【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設(shè)|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡(jiǎn)得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長(zhǎng)，考查利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題4、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可計(jì)算.【詳解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距離故選：C.5、C【解析】若p成立則q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要條件.【詳解】因?yàn)?gt;0,<1,所以若p：成立，一定成立,但q：成立，p：不一定成立,所以p是q的充分不必要條件.故選：C.6、A【解析】根據(jù)直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.7、C【解析】作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，結(jié)合拋物線定義得出斜率為可求.【詳解】如圖：作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，因?yàn)?，，，由拋物線的定義可知：，，，所以，直線斜率為：.故選：C.8、B【解析】直接利用正弦定理以及已知條件，求出、、的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀【詳解】解：在中，已知，，，分別為角，，的對(duì)邊），由正弦定理可知：，所以，解得，所以為等邊三角形故選：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的形狀的判斷，正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】化簡(jiǎn)拋物線的方程為，求得，即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題意，拋物線，即，解得，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是故選：B10、B【解析】根據(jù)直線過原點(diǎn)且與圓相切，求出直線的斜率，再數(shù)形結(jié)合計(jì)算最小旋轉(zhuǎn)角【詳解】解析：由題意，設(shè)切線為，∴.∴或.∴時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)最小∴最小正角為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率即可求解.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.12、C【解析】首先表示出拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，即可求出參數(shù)，即可求出拋物線的焦點(diǎn).【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線為因?yàn)樵趻佄锞€的準(zhǔn)線上故其焦點(diǎn)為故選：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.5【解析】導(dǎo)數(shù)的定義公式的變形應(yīng)用，要求分子分母的變化量相同.【詳解】故答案為：.14、【解析】直接利用求平均數(shù)的公式即可求解.【詳解】由已知得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故答案為：.15、【解析】先設(shè)出拋物線方程，寫出準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用得到拋物線方程，再利用三角形的面積公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)拋物線的方程為，則焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由題意，得，，，所以，解得，所以.故答案為：.16、【解析】根據(jù)線性約束條件畫出可行域，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)直線在軸上截距最大時(shí)即可求出答案.【詳解】畫出可行域，如圖，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最大值，且最大值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線的方程，利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的面積為即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線的方程為，將點(diǎn)代入方程可得，解得，則拋物線方程為，由已知得，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，【小問2詳解】，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)時(shí)，有最大值，18、（1）（2）0【解析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算可求得，進(jìn)而利用等比數(shù)列的基本量的計(jì)算即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，則，觀察分析即可解【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，所以由，，得所以，從而，，所以，，q＝3，所以【小問2詳解】由（1）可知，所以，當(dāng)n＝1時(shí)，為正值﹐所以；當(dāng)n＝2時(shí)，為負(fù)值﹐所以；當(dāng)時(shí)，為正值﹐所以又綜上：當(dāng)n＝3時(shí)，有最小值019、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的離心率、點(diǎn)在橢圓上以及得到的方程組，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和三角形的面積公式得到三角形的面積，再利用基本不等式求其最值.【小問1詳解】解：由題可得，且，將點(diǎn)代入橢圓方程，得，解得，，即橢圓方程為；【小問2詳解】解：由（1）可得，，設(shè)：，聯(lián)立，消去，得，設(shè)，，則，則所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的面積的最大值為.20、（1）答案見解析；（2）7；（3）【解析】（1）根據(jù)題意求得，討論，，，時(shí)解，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)為則結(jié)合，得令通過求導(dǎo)研究單調(diào)性解得進(jìn)而解出的值.（3）由已知可得解析式，觀察有，求導(dǎo)得原題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).結(jié)合根分布可得，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為是在上的兩個(gè)不同零點(diǎn)可得且，代入函數(shù)中令通過單調(diào)性求出進(jìn)而可得答案.【詳解】解：(1)，令，解得：①當(dāng)時(shí)，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，恒成立，所以上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)設(shè)切點(diǎn)為則(*)，由可得(**)，聯(lián)立(*)(**)可得，設(shè)則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以，所以.（3）由已知可得令由題意知在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).則，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，則和是在上的兩個(gè)不同零點(diǎn).所以且，所以令則所以在上單調(diào)遞增，所以有其中，即又恒成立，所以故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.21、（1）眾數(shù)為0.82，8％分位數(shù)約為1.34（2）①；②【解析】（1）根據(jù)題中表格數(shù)據(jù)即可求得答案；（2）①兩條魚有可能均在A水池也可能都在B水池，故可根據(jù)互斥事件的概率結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算求得答案；②先求出這兩條魚由同一個(gè)小孔進(jìn)入B水池的概率，然后根據(jù)對(duì)立事件的概率計(jì)算方法，求得答案.【小問1詳解】由題意知，數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.82，估計(jì)這批魚該項(xiàng)數(shù)據(jù)的80％分位數(shù)約為【小問2詳解】①記“兩魚最終均在A水池”為事件A，則，記“兩魚最終均在B水池”為事件B，則，∵事件A與事件B互斥，∴兩條魚最終在同一水池的概率為②記“兩魚同時(shí)從第一個(gè)小孔通過”為事件，“兩魚同時(shí)從第二個(gè)小孔通過”為事件，…依次類推，而兩魚的游動(dòng)獨(dú)立，∴，記“兩條魚由不同小孔進(jìn)入B水池”為事件C，則C與對(duì)立，又由事件，事件，…，事件互斥，∴，即22、（1）證明見解析；（2）.【解