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甘肅省師大附中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若直線與平行,則實(shí)數(shù)m等于()A.0 B.1C.4 D.0或42.已知函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)在,上均為增函數(shù),則的取值范圍是A. B.C. D.3.已知點(diǎn)P(5,3,6),直線l過點(diǎn)A(2,3,1),且一個(gè)方向向量為,則點(diǎn)P到直線l的距離為()A. B.C. D.4.如圖,平面四邊形中,,,,為等邊三角形,現(xiàn)將沿翻折,使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn),且,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B.C. D.5.在等差數(shù)列中,,則等于A.2 B.18C.4 D.96.彬塔,又稱開元寺塔、彬縣塔,民間稱“雷峰塔”,位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測(cè)量彬塔的高度,選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與,現(xiàn)測(cè)得,,,在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°,則塔高()A.30m B.C. D.7.下列雙曲線中,以為一個(gè)焦點(diǎn),以為一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線方程是()A. B.C. D.8.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.9.已知函數(shù),,若對(duì)于任意的,存在唯一的,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(e,4) B.(e,4]C.(e,4) D.(,4]10.已知向量,且與互相垂直,則k=()A. B.C. D.11.函數(shù)的定義域?yàn)?,其?dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3C.4 D.512.命題“,”的否定是()A., B.,C, D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓C:,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合,若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則_________.14.已知,,若,則______15.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,則的最大值是_________.16.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為上一點(diǎn),,則為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的最大值和最小值;(2)說明的圖象由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?18.(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}滿足:點(diǎn)(n,bn)在曲線y=上,a1=b4,___,數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn從①S4=20,②S3=2a3,③3a3﹣a5=b2這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充到上面問題的橫線上并作答(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)是否存在正整數(shù)k,使得Tk>,且bk>?若存在,求出滿足題意的k值;若不存在,請(qǐng)說明理由19.(12分)已知圓的圓心在第一象限內(nèi),圓關(guān)于直線對(duì)稱,與軸相切,被直線截得的弦長(zhǎng)為.(1)求圓的方程;(2)若點(diǎn),求過點(diǎn)的圓的切線方程.20.(12分)已知,,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)如圖,在正方體中,E為的中點(diǎn)(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值22.(10分)如圖①,等腰梯形中,,分別為的中點(diǎn),,現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面,得到如圖②所示的多面體,在圖②中:(1)證明:平面平面;(2)求四棱錐的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由兩條直線平行的充要條件即可求解.【詳解】解:因?yàn)橹本€與平行,所以,解得,故選:A.2、A【解析】由,函數(shù)在上均為增函數(shù),恒成立,,設(shè),則,又設(shè),則滿足線性約束條件,畫出可行域如圖所示,由圖象可知在點(diǎn)取最大值為,在點(diǎn)取最小值.則的取值范圍是,故答案選A考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃3、B【解析】根據(jù)向量和直線l的方向向量的關(guān)系即可求出點(diǎn)P到直線l的距離.【詳解】由題意,,,,,,到直線的距離為.故選:B.4、A【解析】將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同,由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,在中,計(jì)算半徑即可.【詳解】由,,可知平面將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同,由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,記的外心為,由為等邊三角形,可得又,故在中,此即為外接球半徑,從而外接球表面積為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬中檔題.5、D【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到,,計(jì)算得到答案.詳解】等差數(shù)列中,故選D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算,利用性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】在△中有,再應(yīng)用正弦定理求,再在△中,即可求塔高.【詳解】由題設(shè)知:,又,△中,可得,在△中,,則.故選:D7、C【解析】設(shè)出雙曲線方程,根據(jù)題意,求得,即可選擇.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是,故可設(shè)雙曲線方程為,且;又為一個(gè)頂點(diǎn),故可得,解得,則雙曲線方程為:.故選:.8、B【解析】由題意可知且,構(gòu)造函數(shù),可得出,由函數(shù)的單調(diào)性可得出,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值,可得出關(guān)于的不等式,由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?,則且,由已知可得,構(gòu)造函數(shù),其中,,所以,函數(shù)為上的增函數(shù),由已知,所以,,可得,構(gòu)造函數(shù),其中,則.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,則,所以,,解得.故選:B.9、B【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可求出和的值域,結(jié)合已知條件可得,,從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解:g(x)=x2ex的導(dǎo)函數(shù)為g′(x)=2xex+x2ex=x(x+2)ex,當(dāng)時(shí),,由時(shí),,時(shí),,可得g(x)在[–1,0]上單調(diào)遞減,在(0,1]上單調(diào)遞增,故g(x)在[–1,1]上的最小值為g(0)=0,最大值為g(1)=e,所以對(duì)于任意的,.因?yàn)殚_口向下,對(duì)稱軸為軸,又,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在[,2]上的值域?yàn)閇a–4,a],且函數(shù)f(x)在,圖象關(guān)于軸對(duì)稱,在(,2]上,函數(shù)單調(diào)遞減.由題意,得,,可得a–4≤0<e<,解得ea≤4故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查了二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.本題的難點(diǎn)是這一條件的轉(zhuǎn)化.10、C【解析】利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得,解得故選:C.11、C【解析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)的圖象,結(jié)合函數(shù)的極值的定義,即可求解.【詳解】如圖所示,設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為,根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點(diǎn)處的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反,可得為函數(shù)的極大值點(diǎn),為函數(shù)的極小值點(diǎn),所以函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè).故選:C.12、D【解析】由含量詞命題否定的定義,寫出命題的否定即可【詳解】命題“,”的否定是:,,故選:D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】設(shè)M,N的中點(diǎn)坐標(biāo)為P,,則;由于,化簡(jiǎn)可得,根據(jù)橢圓的定義==6,所以12.考點(diǎn):1.橢圓的定義;2.兩點(diǎn)距離公式.14、【解析】根據(jù)空間向量垂直得到等量關(guān)系,求出答案.【詳解】由題意得:,解得:故答案為:15、##【解析】畫出可行域,通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置,由此求得的最大值.【詳解】,畫出可行域如下圖所示,由圖可知,平移基準(zhǔn)直線到點(diǎn)時(shí),取得最大值為.故答案為:16、【解析】將方程化為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再利用雙曲線的定義進(jìn)行求解.【詳解】將化為,所以,,由雙曲線的定義,得:,即,所以或(舍)故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)2,;(2)答案見解析.【解析】(1)根據(jù),求出范圍,再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像即可求值域;(2)根據(jù)正弦函數(shù)圖像變換對(duì)解析式的影響即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),有,可得,故,則的最大值為2,最小值為.【小問2詳解】先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象;然后把所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到函數(shù)的圖象;最后把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,這時(shí)得到的就是函數(shù)的圖象.18、(1)條件選擇見解析;an=2n,bn=25﹣n.(2)不存在,理由見解析.【解析】(1)把點(diǎn)(n,bn)代入曲線y=可得到bn=25﹣n,進(jìn)而求出a1,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,選①S4=20,利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求出d,從而得到an;若選②S3=2a3,利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求出d,從而得到an;若選③3a3﹣a5=b2,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式公式可求出d,從而得到an;(2)由(1)可知Sn==n(1+n),=,再利用裂項(xiàng)相消法求出Tn=1﹣,不等式無解,即不存在正整數(shù)k,使得Tk>,且bk>【小問1詳解】解:∵點(diǎn)(n,bn)在曲線y=上,∴=25﹣n,∴a1=b4=25﹣4=2,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,若選①S4=20,則S4==20,解得d=2,∴an=2+2(n﹣1)=2n;若選②S3=2a3,則S3=a1+a2+a3=2a3,∴a1+a2=a3,∴2+2+d=2+2d,解得d=2,∴an=2+2(n﹣1)=2n;若選③3a3﹣a5=b2,則3(a1+2d)﹣(a1+4d)=25﹣2=8,∴2a1+2d=8,即2×2+2d=8,∴d=2,∴an=2+2(n﹣1)=2n;【小問2詳解】解:由(1)可知Sn===n(1+n),∴==,∴Tn=(1﹣)+()+……+()=1﹣,假設(shè)存在正整數(shù)k,使得Tk>,且bk>,∴,即,此不等式無解,∴不存在正整數(shù)k,使得Tk>,且bk>19、(1)(2)或【解析】(1)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式求得,由此求得圓的方程.(2)根據(jù)過的圓的切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得切線方程.【小問1詳解】由題意,設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,圓關(guān)于直線對(duì)稱,圓與軸相切:…①點(diǎn)到的距離為:,圓被直線截得的弦長(zhǎng)為,,結(jié)合①有:,,又,,,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的斜率為,則方程為.又圓C的圓心為,半徑,由,解得.所以直線方程為,即即直線的方程為或.20、.【解析】求得集合,根據(jù),分和,兩種情況討論,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】由題意,集合當(dāng)時(shí),即,解得,此時(shí)滿足,當(dāng)時(shí),要使得,則或,當(dāng)時(shí),可得,即,此時(shí),滿足;當(dāng)時(shí),可得,即,此時(shí),不滿足,綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍為.21、(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)證明出四邊形為平行四邊形,可得出,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論;也可利用空間向量計(jì)算證明;(Ⅱ)可以將平面擴(kuò)展,將線面角轉(zhuǎn)化,利用幾何方法作出線面角,然后計(jì)算;也可以建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量計(jì)算求解.【詳解】(Ⅰ)[方法一]:幾何法如下圖所示:在正方體中,且,且,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,平面;[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,則、、、,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,則,,則.又∵向量,,又平面,平面;(Ⅱ)[方法一]:幾何法延長(zhǎng)到,使得,連接,交于,又∵,∴四邊形為平行四邊形,∴,又∵,∴,所以平面即平面,連接,作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴,又∵,∴直線平面,又∵直線平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影,∠為直線與平面所成的角,根據(jù)直線直線,可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]:向量法接續(xù)(I)的向量方法,求得平面平面的法向量,又∵,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]:幾何法+體積法如圖,設(shè)的中點(diǎn)為F,延長(zhǎng),易證三線交于一點(diǎn)P因?yàn)椋灾本€與平面所成的角,即直線與平面所成的角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,在中,易得,可得由,得,整理得所以所以直線與平面所成角的正弦值為[方法四]:純體積法設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)到平面的距離為h,在中,,,所以,易得由,得,解得,設(shè)直線與平面所成的角為,所以【整體點(diǎn)評(píng)】(Ⅰ)的方法一使用線面平行的判定定理證明,方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明;(II)第一種方法中使用純幾何方法,適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法,有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力,第二種方法使用空間向量方法,兩小題前后連貫,利用計(jì)算論證和求解,定為最優(yōu)解法;方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合
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