湖南省道縣第二中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

湖南省道縣第二中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，2．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）A. B.C. D.3．若，滿足約束條件則的最大值是A.-8 B.-3C.0 D.14．設(shè)aR，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．某市統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布了2017年至2020年該市政府部門網(wǎng)站的每年的兩項(xiàng)訪問量，數(shù)據(jù)如下：年度項(xiàng)目2017年2018年2019年2020年獨(dú)立用戶訪問總量（單位：個(gè)）2512573924400060989網(wǎng)站總訪問量（單位：次）23435370348194783219288下列表述中錯(cuò)誤的是（）A.2017年至2018年，兩項(xiàng)訪問量都增長幅度較大；B.2018年至2019年，兩項(xiàng)訪問量都有所回落；C.2019年至2020年，兩項(xiàng)訪問量都又有所增長；D.從數(shù)據(jù)可以看出，該市政府部門網(wǎng)站的兩項(xiàng)訪問量都呈逐年增長態(tài)勢6．圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A. B.C. D.7．已知直線交圓于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則直線l被圓C截得線段的長是（）A.3 B.2C. D.48．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.4C.3 D.29．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，，則AN與BM所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．過點(diǎn)（-2，1）的直線中，被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦最長的直線的方程是（）A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x-y-1=011．在等腰中，在線段斜邊上任取一點(diǎn)，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.12．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出．如圖，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的去掉，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若，則與的離心率之比為________14．如圖，在四棱錐中，是邊長為4的等邊三角形，四邊形ABCD是等腰梯形，，，，若四棱錐的體積為24，則四棱錐外接球的表面積是___________.15．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為____________.16．若，m，三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，遞增等比數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.18．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，且到軸的距離是（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線通過點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程19．（12分）已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值與最小值20．（12分）已知命題：；：.（1）若“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓與直線相切，點(diǎn)G為橢圓上任意一點(diǎn)，，，且的最大值為3（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，求的取值范圍22．（10分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，是特稱命題，所以其否定是全稱命題，即為，故選：C2、A【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1，故其表面積為，故選：A.3、C【解析】作出可行域，把變形為，平移直線過點(diǎn)時(shí)，最大.【詳解】作出可行域如圖：由得：，作出直線，平移直線過點(diǎn)時(shí)，.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃問題，屬于中檔題.4、A【解析】運(yùn)用兩直線平行的充要條件得出l1與l2平行時(shí)a的值，而后運(yùn)用充分必要條件的知識來解決即可解：∵當(dāng)a=1時(shí)，直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是﹣，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當(dāng)兩條直線平行時(shí)，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件故選A考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系5、D【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤即可.【詳解】A：2017年至2018年，兩項(xiàng)訪問量分別增長、，顯然增長幅度相較于后兩年是最大的，正確；B：2018年至2019年，兩項(xiàng)訪問量相較于2017年至2018年都有回落，正確；C：2019年至2020年，兩項(xiàng)訪問量分別增長、，正確；D：由B分析知，該市政府部門網(wǎng)站的兩項(xiàng)訪問量在2018年至2019年有回落，而不是逐年增長態(tài)勢，錯(cuò)誤.故選：D.6、A【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線，其方程為，即；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問題；處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，往往結(jié)合平面幾何知識（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過兩圓的圓心的直線方程）可減小運(yùn)算量.7、B【解析】由題設(shè)知為圓的圓心且A、B在圓上，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的定義求的大小，進(jìn)而判斷△的形狀，即可得直線l被圓C截得線段的長.【詳解】∵點(diǎn)為圓的圓心且A、B在圓上，又，∴，∴，又，∴，故△為等邊三角形，∴直線l被圓C截得線段的長是2故選：B8、C【解析】化簡復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【詳解】由純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C9、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求AN與BM對應(yīng)的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求AN與BM所成角的余弦值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D10、A【解析】當(dāng)直線被圓截得的最弦長最大時(shí)，直線要經(jīng)過圓心，即圓心在直線上，然后根據(jù)兩點(diǎn)式方程可得所求【詳解】由題意得，圓的方程為，∴圓心坐標(biāo)為∵直線被圓截得的弦長最大，∴直線過圓心，又直線過點(diǎn)（-2，1），所以所求直線的方程為，即故選：A11、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計(jì)算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C12、D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.75【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線定義用長半軸長和實(shí)半軸長表示出撤掉裝置前后的路程，然后由已知可解.【詳解】記橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，由橢圓和雙曲線的定義有：，得，即，又由橢圓定義知，，因?yàn)椋?，即所?故答案為：14、##【解析】根據(jù)球的截面圓圓心與球心的連線垂直截面可確定垂直平面ABCD，構(gòu)造直角三角形求解球的半徑即可得解.【詳解】如圖，分別取BC，AD的中點(diǎn)，E，連接PE，，，.因?yàn)槭沁呴L為4的等邊三角形，所以.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，，，，所以，.因?yàn)樗睦忮F的體積為24，所以，所以.因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以平面ABCD.因?yàn)?，所以四邊形ABCD外接圓的圓心為，半徑.設(shè)四棱錐外接球的球心為O，連接，OP，OB，過點(diǎn)О作，垂足為F.易證四邊形是矩形，則，.設(shè)四棱錐外接球的半徑為R，則，即，解得，故四棱錐外接球的表面積是.故答案為：15、【解析】設(shè)，表示出，消去y，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)，則.所以當(dāng)x=1時(shí)，最小.故答案為：.16、【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)求參數(shù)m，即可得曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求其離心率.【詳解】由題意，，可得，所以圓錐曲線為，則，，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）先求，再由求出，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由條件可得，解出結(jié)合條件可得答案.（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法可求【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，∴，則.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由得，解得或.因?yàn)槭沁f增等比數(shù)列，所以，.【小問2詳解】①①①②：∴18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合到焦點(diǎn)、軸的距離求，寫出拋物線方程.（2）直線的斜率不存在易得與不垂直與題設(shè)矛盾，設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，進(jìn)而求，由題設(shè)向量垂直的坐標(biāo)表示有求直線方程即可.【詳解】（1）由己知，可設(shè)拋物線的方程為，又到焦點(diǎn)的距離是1，∴點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1，又到軸的距離是，∴，解得，則拋物線方程是（2）假設(shè)直線的斜率不存在，則直線的方程為，與聯(lián)立可得交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，易得，可知直線與直線不垂直，不滿足題意，故假設(shè)不成立，∴直線的斜率存在．設(shè)直線為，整理得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或當(dāng)時(shí)，直線的方程是，不滿足，舍去當(dāng)時(shí)，直線的方程是，即，∴直線的方程是19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減是；（2）函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最小值是.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，列表求函數(shù)的最值.【小問1詳解】，當(dāng)，解得：或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，當(dāng)，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減是；【小問2詳解】由（1）可得下表4單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最小值是20、（1）;（2）.【解析】（1）先分別求出命題為真命題時(shí)的取值范圍，再由已知“”為真命題進(jìn)行分類討論即可求解；（2）由（1）可知，當(dāng)同時(shí)為真時(shí)，即可求出的范圍.試題解析：若為真，則，所以，則若為真，則，即.（1）若“”為真，則或，則.（2）若“”為真，則且，則.21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得到，根據(jù)其最小值，求出，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，由弦長公式，以及點(diǎn)到直線距離公式，求出的面積的最值，得到；得出點(diǎn)的軌跡為橢圓，且點(diǎn)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，記，則，得到，根據(jù)對勾函數(shù)求出最值.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意知，所以：，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是【小問2詳解】設(shè)，，，則由得，，點(diǎn)O到直線l的距離，對用均值不等式，則：當(dāng)且僅當(dāng)即，①