淺析確定二次函數(shù)最值易產(chǎn)生的“盲區(qū)”

精品文檔-下載后可編輯淺析確定二次函數(shù)最值易產(chǎn)生的“盲區(qū)”利用二次函數(shù)的性質(zhì)，確定二次函數(shù)的最大（?。┲凳侵锌济}的熱點之一。但在求二次函數(shù)最值時，不少同學(xué)因忽視了自變量的取值范圍或?qū)ΨQ軸是否在自變量的取值范圍內(nèi)以及對最值所產(chǎn)生的影響認識不到位，而出現(xiàn)了求最值的“盲區(qū)”。下面就此問題作簡單的探討，供讀者參考。

例1：在某市開展的環(huán)境創(chuàng)優(yōu)活動中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長15米）的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成，若設(shè)花園靠墻的一邊長為x（m），花園的面積為y（m2）。

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）利用（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式，判斷當(dāng)x取何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？

【簡解】（1）y=-x2+20x（0＜x≤15）；

（2）錯解一：因為a=－＜0，所以當(dāng)x＝－＝20時，函數(shù)y有最大值＝200；

錯解二：因為a＝－＜0，所以當(dāng)x＝20時，函數(shù)y有最大值，但a＝20＞15，因此函數(shù)y不存在最大值。

【評析】以上兩種錯誤解答，都是對求二次函數(shù)最值的認識不全面而造成的。在解答該小題時，忽視了（1）中所求的自變量的取值范圍。事實上函數(shù)圖像的對稱軸是直線x＝20，而a=－＜0，所以當(dāng)x＜20時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大。又0＜x≤15＜20，即自變量的取值范圍在對稱軸的左邊，故當(dāng)x＝15時，函數(shù)y有最大值等于187.5。

例2：（2022揚州市）紅星公司生產(chǎn)的某種時令商品每件成本為20元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量m（件）與時間t（天）的關(guān)系如下表：

未來40天內(nèi)，前20天每天的價格y1（元/件）與時間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y1=t+25（1≤t≤20且t為整數(shù)），后20天每天的價格y2（元/件）與時間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y2=-t+40（21≤t≤40且t為整數(shù)）。下面我們就來研究銷售這種商品的有關(guān)問題：

（1）認真分析上表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的m（件）與t（天）之間的關(guān)系式；

（2）請預(yù)測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？

【簡解】（1）m=-2t+96；

（2）錯解：設(shè)前20天的銷售利潤為P1＝（－2t＋96）（t＋25－20）＝-t2＋14t＋480，因為a＝－＜0，所以當(dāng)t＝－＝14時，函數(shù)P1有最大值＝578。

設(shè)后20天的銷售利潤為P2，則P2＝（－2t＋964）（-t+40-20）

＝（t-44）2-16，因為a=1＞0，所以函數(shù)P2無最大值，故當(dāng)t＝14時，即第十四天銷售利潤最大為578元。

【評析】與例1不同的是，本題屬于分段函數(shù)，且函數(shù)P1、函數(shù)P2的自變量取值范圍已經(jīng)給出，需要根據(jù)各自自變量的取值范圍先分別確定P1、P2的最大值，再通過對P1、P2的比較，最后確定最大日銷售利潤，即求函數(shù)的最大值。事實上，對于函數(shù)P1，上述結(jié)論是正確的，而對于P2，由于函數(shù)P2圖像的對稱軸是直線t＝44，當(dāng)t＜44時，函數(shù)值P2隨自變量的增大而減小，而21≤t≤40＜44，即自變量取值范圍在對稱軸的左邊，所以當(dāng)t＝21時，函數(shù)P2有最大值＝513，通過比較P1、P2的最大值可知當(dāng)t＝14時，即第十四天銷售利潤最大為578元。

例3：（2022包頭市）某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量（件）與銷售單價（元）符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=65時，y=55；x=75時，y=45。

（1）求一次函數(shù)y=kx+b的表達式；

（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

（3）若該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價x的范圍。

【簡解】（1）y=-x+120；

（2）錯解：W=（X-60）y=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200，

所以，當(dāng)x=-=90時，W最大值=900；

【評析】該小題與例2的不同之處是自變量的取值范圍并沒有直接給出，具有一定的隱蔽性。該解法就忽視了題中自變量的限制條件。事實上根據(jù)題意可得，所以60≤x≤87。又因為拋物線的開口向下，對稱軸是直線x=90，所以當(dāng)x＜90時，函數(shù)值隨x的增大而增大，而自變量的取值范圍在對稱軸的左邊，故當(dāng)x＝87時，W有最大值為891元；

（3）略。

從以上幾例可以看出，求二次函數(shù)的最值時，不能僅僅套用教材中求二次函數(shù)最值的定義和公式，而要關(guān)注自變量的取值范圍以及對稱軸是否在自變量