結構力學課件：位移法

第八章位移法第7章位移法第七章位移法§7-1位移法基本概念§7-2桿件單元的形常數(shù)和載常數(shù)§7-4位移法舉例§7-5對稱結構的計算§7-3位移法的基本體系基本要求掌握:基本體系的確定，典型方程的建立，方程中的系數(shù)項和自由項的計算，最后彎矩圖的繪制。熟練掌握:用位移法計算荷載作用下超靜定梁、剛架。

掌握:利用對稱性簡化計算。了解:溫度改變、支座移動下的超靜定結構計算。超靜定結構的計算思路:欲求超靜定結構先取一個基本體系,然后讓基本體系在受力和變形方面與原體系完全一樣。§7-1

位移法的基本概念對于線彈性體系，只要基本體系與原體系變形一致，受力自然相同；反之受力一致，變形自然相同。力法是通過兩者變形一致從而達到受力相同；位移法是通過兩者受力一致從而達到變形相同。力法的特點位移法的特點基本未知量多余未知力獨立結點位移基本結構靜定結構一組單跨超靜定梁基本方程位移條件平衡條件FPθCθDΔΔFP2.基本結構的確定

加附加約束，鎖住結點位移。1.基本未知量的確定重要假定：忽略受彎直桿的軸向變形。位移法的基本未知量是結構內(nèi)部結點（不包括支座結點）的獨立轉角和獨立線位移。位移法的基本結構是將基本未知量完全鎖住后，得到的超靜定梁的組合體?！?/p>

位移法的基本未知量和基本結構3．基本未知量之——轉角未知量轉角未知量的數(shù)目=剛結點的數(shù)目;結構有幾個剛結點就有幾個結點轉角未知量。ABCDEABCABCD

若一個結構需附加n根鏈桿才能使所有內(nèi)部結點無線位移，則結構線位移未知量的數(shù)目就是n。4．基本未知量之——結點線位移未知量附加鏈桿BCPAABCDABCDABCDEA為有限值獨立結點轉角的數(shù)目：7個獨立結點線位移的數(shù)目：3個例1：確定圖示結構位移法未知量的數(shù)目。橫梁豎柱的矩形剛架，獨立結點線位移的數(shù)目等于其層數(shù)。位移法未知量的數(shù)目是10。獨立結點轉角的數(shù)目：3個獨立結點線位移的數(shù)目：2個。例2：確定圖示結構位移法未知量的數(shù)目。位移法未知量的數(shù)目是5。①桿端轉角qA、qB

和弦轉角

b＝D/l都以順時針為正。②桿端彎矩對桿端以順時針為正。剪力規(guī)定同前。三種單跨超靜定梁EIl兩端固定EIl一端固定一端鉸支EIl一端固定一端定向§7-2桿件單元的形常數(shù)和載常數(shù)③結點的外力偶、約束力偶，都以順時針轉動為正號。MP正的外力偶、約束力矩AB一、正負號規(guī)定:1.兩端固定梁的形常數(shù)AiBABi由單位桿端位移引起的桿端彎矩（剪力），稱為形常數(shù)。EIAB

系數(shù)4i、2i、-6i/l

稱為形常數(shù)。二、形常數(shù)2.一端固定、一端鉸支梁的形常數(shù)EIBABAi

系數(shù)3i、-3i/l

稱為形常數(shù)。3.一端固定、一端滑動支座梁的形常數(shù)BAEI

系數(shù)i、-i稱為形常數(shù)。背下來單位桿端位移引起的桿端力(形常數(shù))單跨超靜定梁簡圖MABMBA4i2i03i0i－iAB1AB1AB1AB1AB11.兩端固定梁三、載常數(shù)qABAFpB

單跨超靜定梁在荷載作用下產(chǎn)生的桿端彎矩稱為固端彎矩或載常數(shù)。書表7-12.一端固定、一端鉸支座的梁ABqFpBA3.一端固定、一端滑動支座的梁ABFpABqABABqqqBABAq背下荷載引起的載常數(shù)（表7-1）AB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q單跨超靜定梁簡圖ABFPl/2l/2qAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ABl/2l/2FPFPAB固端剪力？圖示連續(xù)梁，取結點B的轉角θB作為基本未知量。[例]試求圖示連續(xù)梁的彎矩圖。qEIEIllABC§7-3位移法舉例實質(zhì)上是原結構B點的平衡方程基本體系位移法的基本思路1⑴基本未知量θB⑵建立位移法方程求θB

。

①加剛臂，取基本體系。

②由F1=0

列位移法方程。EIEIllABCqqF1F1=0qABCABBC超靜定梁AB、BC

由支座位移、荷載產(chǎn)生桿端彎矩:MBAMBCF1B=0

AB、BC桿類似于B端為固定端的單跨梁。用力法求解AiBBCiq用力法求解k113i2i4iΔ1=1位移法的基本思路2EIEIllABC⑴基本未知量Δ1。⑵建立位移法方程求Δ1

。

①加剛臂，取基本體系。

②由F1=0

列位移法方程。q基本體系F1F1=0×Δ14i3ik11Bk11=7iqF1PqBF1Pql2/8F1P=－ql2/8⑶疊加彎矩3i2i4i位移法的基本思路：⑴確定獨立的結點位移。以獨立的結點位移作為位移法的基本未知量。⑵以一組單跨超靜定梁作為位移法的基本結構。⑶根據(jù)附加約束中的約束力等于零建立位移法方程。建立位移法方程有兩種不同的途徑:①直接建立平衡方程。如基本思路1。②列位移法基本方程。如基本思路2。本章以該法為主。⑷解位移法方程，得到結點位移，然后由此得到桿端彎矩。解：

[例]

用位移法求圖示剛架的M圖，各桿EI相同。1.直接利用平衡條件建立位移法方程。ABCDE8kN/miii1）未知量：θB

θD()

()2）列出桿端彎矩表達式a)

固端彎矩ABCDE8kN/miiiib)

θB

產(chǎn)生桿端彎矩iABCDEiii()c)

θD

產(chǎn)生桿端彎矩iABCDEiii()則桿端彎矩表達式如下：3）建立位移法方程并求解由原結構B點和D點的平衡條件可得：2ABCDE8kN/miii14）作彎矩圖將求得的θB

、θD

代入桿端彎矩表達式得：M圖(kN·m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.73ABCDE8kN/miii法2:建立位移法典型方程原因地點未知量：θB=Δ1

、θD=Δ2k11k21ABCDE單位位移Δ1=1單獨作用時，剛臂上的約束力矩×Δ1k12k22ABCDE單位位移Δ2=1單獨作用時，剛臂上約束力矩×Δ2F1PF2PABCDE荷載單獨作用時，剛臂上的約束力矩——位移法典型方程剛臂是“安上的”，因此每個附加剛臂上的約束力矩之和等于零。即：由反力互等定理：kij=kji具有n個未知量的結構：k11

1+k12

2+

··········+k1n

n+F1P=0

k21

1+k22

2+··········+k2n

n+F2P=0

··································kn1

1+kn2

2+

··········+knn

n+FnP=0

結構的剛度系數(shù)矩陣:對稱矩陣解:2寫出典型方程1確定基本體系、基本未知量未知量：θB=Δ1

、θD=Δ2ABCDE8kN/miiiΔ1

Δ2k11=8ik21D2ik21=2ik11B4i4ik11k212i4i2i4iABCDE③求系數(shù)及自由項k12=2i3ik22D4ik22=8iik12B2ik12k22ABCDE2ii4i3iF1P=－10.67F2PD10.6742.67F2P=－32F1PB10.67F1PF2P10.6742.6721.33ABCDEMP

圖10.67④求解位移法方程F1P=-10.67F2P=-32k11=8ik12=k21=2ik22=8i⑤疊加法求彎矩M圖(kN·m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.73Δ1=Δ2=2kN/m14kNEABCD(i)(i/2)(2i)[例]

用位移法求圖示剛架內(nèi)力圖。解題步驟：基本體系，基本未知量典型方程系數(shù)計算解方程疊加法畫最后彎矩圖解：①基本體系，基本未知量：2kN/m14kNABC(i)(i/2)(2i)DEB042kN/m14kNEACDF1P=14D

1414kNEABCD2kN/m4kN·mMP圖14kN·mF2P=32寫出典型方程3求系數(shù)及自由項難點k11=5i

3iD

2ik21=-0.75i-0.75i

0iEACDBEABCDii/22i2i

i3iΔ1=1k12=-0.75iD0.75ik22=0.75i0.375i0.375i

0.75i0.75iEACDB

1.5i

1.5iEABCDii/22i0.75i0.75iΔ2=1④解方程k11=5i

k12=k21=-0.75ik22=0.75i

F1P=14F2P=3附加剛臂上的力矩等于零附加鏈桿上的力等于零⑤疊加法求彎矩⑥繪內(nèi)力圖EABCD141221614kNEABCD2kN/m4kN·mMP圖14kN·mEABCD2i

i3i

1.5iEABCD0.75i0.75i一、奇數(shù)跨剛架1.對稱荷載FPFPBi2i1i1未知量2i2i1BC

FP§7-6對稱結構的計算未知量

Bi2i1i1

FP

FPB

2i2i1

CFP2．反對稱荷載二、偶數(shù)跨剛架1.對稱荷載

FP

FPBi2iii2i1

FP

Bi2i2.反對稱荷載FPBii1/2i2

FPFPBiii1i2

i2

[例]

作圖示結構M

圖。i1i1i1i12i1FP/2FP/22i1i1i1i1i1FP/2FP/2FPi1i1i1i12i1lhlM=0FP/2i1i1i1i1i1i1FP/4FP/4i1i1i1FP/4FP/43FPh/28FPh/7M圖（×FPh）2倍？M=0i12i1FP/4題7-2a試寫出圖示桿端彎矩表達式和位移法基本方程。解：該結構有一個基本未知量，為D處的角位移，確定圖示基本體系。則可得各桿端彎矩如下：則基本方程為：即：F-7.4試用位移法求解圖示結構，并繪制彎矩圖。

①選基本體系.解：②

列基本方程.ACDB基本體系ACDB