第四章指數函數與對數函數（15類知識歸納34類題型突破）（原卷版）

第四章指數函數與對數函數（15類知識歸納+34類題型突破）1.了解根式的相關概念與性質、掌握分數指數冪的運算．2.理解并掌握指數函數的圖象及性質．3.了解對數的概念與性質、掌握對數的的相關運算．4.理解并掌握對數函數的圖象與性質.5.理解函數零點的定義，并會用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間及二分法近似求解.根式的相關概念與性質方根一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且當為奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數當為偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數，負數沒有偶次方根，0的任何次方根都是0.根式的概念式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數。當為奇數時，當為偶數時，分數指數冪的意義及應用0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義實數指數冪的運算性質及應用①同底數冪的乘法運算②同底數冪的除法運算③冪的乘方運算④積的乘方運算指數函數的定義一般地，函數，叫做指數函數。指數函數的圖象與性質a>10<a<1圖像定義域R值域(0，+∞)性質（1）過定點（0，1）（2）當x>0時，y>1;x<0時,0<y<1(2)當x>0時，0<y<1;x<0時,y>1(3)在（，+）上是增函數（3）在（，+）上是減函數對數的定義如果，那么數叫做以為底，的對數，記作，其中叫做對數的底數，叫做真數。兩種特殊的對數一般對數：底數為，，記為常用對數：底數為10，記為；自然對數：底數為e（e≈…），記為指數和對數的互化公式對數的性質與運算法則兩個基本對數：①，②對數恒等式：①，②冪的對數：①：②：③：積的對數：商的對數：換底公式：；推廣1：對數的倒數式推廣2：對數函數的定義形如：的函數叫做對數函數判斷下列函數是否為對數函數①，②，③，④，⑤，⑥，⑦對數函數的圖象與性質圖象性質（1）定義域：（0,+）（2）值域：R（3）當x=1時，y=0即過定點（1，0）（4）當時，；當時，（4）當時，；當時，（5）在（0,+）上為增函數（5）在（0,+）上為減函數函數的零點對于函數，我們把的實數叫做函數的零點函數的零點與方程的根和圖象與軸交點的關系函數的零點就是方程的實數解，也就是函數的圖象與軸交點的橫坐標方程的實數解函數的零點函數的圖象與軸有交點零點存在性定理如果函數在區(qū)間的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數在區(qū)間至少有一個零點，即存在，使得，這個也是方程的解題型一根式的化簡求值【例1】（1）（2023春·江西撫州·高一資溪縣第一中學校考期末）（

）A． B． C． D．（2）（2022秋·西藏拉薩·高一拉薩中學?？计谀┤簦?，則的值為（

）A．1 B．5 C． D．鞏固訓練：1．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）式子的值為（

）A． B． C． D．12．（2023秋·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）（多選）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．題型二指數冪的運算【例2】（1）（2023秋·天津河西·高一統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．（2）（2022秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知，則的值是（

）A．47 B．45 C．50 D．35鞏固訓練1．（2023春·江西撫州·高一江西省樂安縣第二中學?？计谀┫铝懈魇接嬎阏_的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·甘肅白銀·高一統(tǒng)考期末）下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．題型三分數指數冪與根式的互化【例3】（1）（2023春·江西·高一贛州市第四中學?？计谀┛苫癁?)A． B．C． D．（2）（2023秋·上海金山·高一統(tǒng)考期末）將化為有理數指數冪的形式為．（3）（2023秋·內蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中學?？计谀┗啠╝，b為正數）的結果是（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023秋·上海浦東新·高一上海師大附中校考期末）把化成有理數指數冪的形式為.2．（2023秋·陜西西安·高一?？计谀┗喌慕Y果為（

）A． B． C． D．題型四指數冪化簡求值【例4】（1）（2023秋·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）計算：.（2）（2023春·江西·高一寧岡中學?？计谀┯嬎?，結果是（

）A．1 B． C． D．（3）（2023秋·山西朔州·高一懷仁市第一中學校?？计谀┮阎瘮?，則.鞏固訓練1．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）化簡的值為.2．（2023春·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）．3．（2023秋·江西吉安·高一江西省泰和中學?？计谀┤?，則的值為．題型五根據函數是指數函數求參數【例5】（1）（2023秋·吉林長春·高一長春外國語學校校考期末）若函數是指數函數，則等于（

）A．或 B． C． D．（2）（2023秋·江西宜春·高一統(tǒng)考期末）已知函數是指數函數.(1)求實數的值；(2)解不等式（3）（2023秋·天津·高一統(tǒng)考期末）已知指數函數（a＞0，且）的圖象過點．(1)求a的值；(2)若，，求m＋n的值；(3)求不等式的解集．鞏固訓練1．（2023秋·甘肅臨夏·高一?？计谀┮阎侵笖岛瘮?(1)求的值；(2)解不等式2．（2023秋·內蒙古鄂爾多斯·高一校聯考期末）已知函數是指數函數.(1)求實數的值；(2)已知，，求的值域.題型六求指數函數解析式【例6】（1）（2023春·貴州黔東南·高一?？计谀┮阎笖岛瘮档膱D像經過點，則．（2）（2023秋·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學?？计谀┮阎笖岛瘮档膱D象過點．(1)求的解析式；(2)若函數，且在區(qū)間上有兩個零點，求m的取值范圍．鞏固訓練1．（2023秋·內蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┮阎瘮?其中a為常數,且函數的圖象過點,則．2．（2023秋·安徽滁州·高一?？计谀┮阎笖岛瘮担?，且）的圖象過點．(1)求函數的解析式；(2)若，求實數的取值范圍．題型七指數型函數圖象過定點問題【例7】（1）（2023秋·四川巴中·高一?？计谀┖瘮担ㄇ遥┑膱D像恒過定點，則點的坐標為．（2）（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）函數的圖象恒過定點P，則點P的坐標是；若點P在直線上，則的最小值為.鞏固訓練1．（2023春·上海寶山·高一統(tǒng)考期末）無論為何值，函數的圖象恒經過一個定點，該定點坐標為.2．（2023春·湖北咸寧·高一統(tǒng)考期末）函數的圖像一定過定點，則點的坐標是.題型八根據指數型函數圖象判斷參數的范圍【例8】（1）（2023秋·四川內江·高一統(tǒng)考期末）函數①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數：，，，中的一個，則a，b，c，d的值分別是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，（2）（2023秋·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）已知指數函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

（3）（2023春·浙江杭州·高一?？计谀┖瘮岛秃瘮翟谕蛔鴺讼迪碌膱D像可能是（

）A． B．C． D．鞏固訓練1．（2023秋·陜西安康·高一校聯考期末）指數函數與的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．2．（2023秋·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，且，則下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．題型九判斷指數型函數的圖象形狀【例9】（1）（2023春·內蒙古巴彥淖爾·高一校考期末）函數的圖像大致為（

）A． B．C． D．（2）（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┖瘮档膱D象大致是（

）A．

B．

C．

D．

（3）（2023秋·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知且，函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．鞏固訓練1．（2023秋·安徽滁州·高一?？计谀┖瘮档拇笾聢D象是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．3．（2023秋·浙江湖州·高一期末）（多選）函數的圖像可能是（

）A．B．C． D．題型十判斷指數函數的單調性【例10】（1）（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）下列函數中，在區(qū)間上單調遞減的是（

）A． B． C． D．（2）（2023秋·內蒙古呼和浩特·高一鐵路一中校考期末）已知函數，則（

）A．是奇函數，且在R上是增函數B．是偶函數，且在上是增函數C．是奇函數，且在R上是減函數D．是偶函數，且在上是減函數鞏固訓練1．（2023秋·江西宜春·高一校考期末）（多選）下列函數既是偶函數又在上單調遞增的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·四川·高一四川外國語大學附屬外國語學校?？计谀ǘ噙x）設函數，對于任意的，下列命題正確的是（

）A． B．C． D．題型十一求指數型復合函數的單調性【例11】（1）（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┖瘮档臏p區(qū)間是；（2）（2022秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）已知函數，則該函數的單調遞減區(qū)間為．（3）（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）函數的單調遞增區(qū)間為.鞏固訓練1．（2022秋·甘肅甘南·高一甘南藏族自治州合作第一中學?？计谀┖瘮祔=的單調遞增區(qū)間是.2．（2022秋·上海浦東新·高一上海師大附中?？计谀┖瘮档膯握{減區(qū)間是.3．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博第六中學?？计谀┖瘮档膯握{遞增區(qū)間是．題型十二由指數(型)的單調性求參數【例12】（1）（2023秋·廣東清遠·高一統(tǒng)考期末）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2）（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知函數，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（3）（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）（多選）若,且（，且）在上單調遞增，則a的值可能是（

）A． B． C．3 D．鞏固訓練1．（2023秋·江西新余·高一統(tǒng)考期末）若（且）是R上的單調函數，則a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．2．（2023秋·河北石家莊·高一統(tǒng)考期末）已知函數在上單調遞增，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·內蒙古通遼·高一開魯縣第一中學?？计谀ǘ噙x）已知函數是上的增函數，則實數的值可以是（

）A．4 B．3 C． D．題型十三由指數函數的單調性解不等式【例13】（1）（2023秋·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集是．（2）（2023秋·內蒙古烏蘭察布·高一校考期末）若，則實數a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．（3）（2023秋·山西朔州·高一懷仁市第一中學校?？计谀┮阎瘮担瑒t的解集為（

）A． B．C． D．（4）（2022秋·河北邢臺·高一邢臺市第二中學?？计谀┤?，則（

）A． B．C． D．鞏固訓練1．（2023秋·安徽滁州·高一?？计谀┎坏仁降慕饧癁椋?．（2023秋·河北承德·高一統(tǒng)考期末）已知函數，則不等式的解集為.3．（2023春·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．（2023秋·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學校考期末）若實數x，y滿足，則（

）A． B． C． D．題型十四求指數型復合函數的值域【例14】（1）（2023秋·廣東深圳·高一紅嶺中學?？计谀┖瘮担闹涤蚴牵?/p>

）A． B． C． D．（2）（2023秋·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數，，則函數的值域為（

）．A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023秋·上海浦東新·高一?？计谀┖瘮档闹涤蚴?2．（2023秋·四川內江·高一統(tǒng)考期末）若函數的定義域為，則該函數的值域是.題型十五指數函數的應用【例15】（1）（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）寫出一個同時具有性質①②③的函數．①；②當時，；③是增函數．（2）（2023秋·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以的增長率呈指數增長，已知經過天以后，該湖泊的藍藻數大約為原來的倍，那么經過天后該湖泊的藍藻數大約為原來的（

）A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍（3）（2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館?綠色場館．并且為了倡導綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進的污水?雨水過濾系統(tǒng)．若過濾過程中廢水的污染物數量與時間（小時）的關系為（為最初污染物數量），且前4小時消除了的污染物，則污染物消除至最初的還需要過濾小時．鞏固訓練1．（2023秋·廣東湛江·高一統(tǒng)考期末）寫出一個同時滿足下列兩個條件的非常數函數①當時，；②為偶函數2．（2023秋·山西大同·高一統(tǒng)考期末）一個口罩廠今年12月份的產量是去年12月份產量的倍，則該口罩廠這一年中產量的月平均增長率是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·上海浦東新·高一?？计谀＜覍δ车貐^(qū)新冠肺炎爆發(fā)趨勢進行研究發(fā)現，從確診第一名患者開始累計時間（單位：天）與病情爆發(fā)系數之間，滿足函數模型：，當時，標志著疫情將要大面積爆發(fā)，則此時約為（

）(參考數據：)A． B． C． D．題型十六指數式與對數式的互化【例16】（1）（2023秋·上海松江·高一?？计谀┤?，則（用字母表示）.（2）（2023秋·甘肅天水·高一校聯考期末）已知，，則（

）A． B． C．4 D．5（3）（2022秋·江蘇南京·高一?？计谀┤?，且，則實數的值為．（4）（2023秋·遼寧葫蘆島·高一?？计谀┮阎瑒t（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2022秋·上海寶山·高一?？计谀┮阎?，試用表示為.2．（2022秋·天津河西·高一校考期末）若，則（

）A． B． C．1 D．3．（2022秋·新疆哈密·高一?？计谀┰O，，則.4．（2022秋·上海浦東新·高一統(tǒng)考期末）已知正數a和b滿足，用a及b表示.題型十七對數的運算【例17】（1）（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）計算(1)(2)（2）（2023秋·山西太原·高一太原市進山中學校校考期末）計算下列式子(1)(2)（3）（2023秋·福建莆田·高一莆田第五中學?？计谀┗喦笾担?1)；(2)．（4）（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知.(1)求a，b的值；(2)若，用b，c表示的值.（5）（2023春·四川宜賓·高一四川省宜賓市第四中學校?？奸_學考試）（1）已知實數滿足，求的值．（2）若，求證：．鞏固訓練1．（2023·全國·高一專題練習）已知實數，滿足，．(1)用表示；(2)計算的值．2．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）求值：(1)；(2)．3．（2023秋·新疆喀什·高一校聯考期末）化簡求值：(1)；(2)(3)化簡4．（2023秋·天津紅橋·高一天津市瑞景中學?？计谀?）計算：；（2）已知，求的值.5．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀?）計算：；（2）已知，求的值．題型十八求對數型復合函數的定義域【例18】（1）（2023秋·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學?？计谀┖瘮档亩x域是（

）A． B．C． D．（2）（2023秋·甘肅天水·高一秦安縣第一中學校考期末）函數y=定義域為（

）A． B． C． D．（3）（2023秋·河北石家莊·高一統(tǒng)考期末）函數的定義域為（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023秋·山東菏澤·高一山東省鄆城第一中學?？计谀┖瘮档亩x域為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·湖北鄂州·高一?？计谀┖瘮档亩x域是．3．（2023春·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）函數的定義域為（

）．A． B．C． D．題型十九對數型函數圖象過定點問題【例19】（1）（2023秋·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學校考期末）函數（，且）的圖象恒過點．（2）（2023秋·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）一次函數的圖象經過函數的定點，則的最小值為.鞏固訓練1．（2023秋·上海金山·高一統(tǒng)考期末）已知常數且，無論a取何值，函數的圖像恒過一個定點，則此定點為．2．（2023秋·湖北荊門·高一荊門市龍泉中學?？计谀┮阎瘮档膱D象過定點，且點在指數函數圖象上，則.題型二十根據對數型函數圖象判斷參數的范圍【例20】（1）（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校聯考期末）如圖是三個對數函數的圖象，則a、b、c的大小關系是（

）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b（2）（2022秋·上海長寧·高一統(tǒng)考期末）在同一平面直角坐標系中，一次函數與對數函數（且）的圖象關系可能是（

）A． B．C． D．（3）（2023秋·河南周口·高一周口恒大中學?？计谀┮阎瘮担ㄇ?，，為常數）的圖象如圖，則下列結論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，鞏固訓練1．（2023秋·山東德州·高一統(tǒng)考期末）華羅庚是享譽世界的數學大師，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．告知我們把“數”與“形”，“式”與“圖”結合起來是解決數學問題的有效途徑．若函數（且）的大致圖象如圖，則函數的大致圖象是（

）B．C． D．2．（2023秋·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）函數，且)與函數在同一直角坐標系中的圖象大致是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·上海松江·高一?？计谀┤艉瘮档拇笾聢D象如圖，其中為常數，則函數的大致圖象是（

）A． B．C． D．題型二十一判斷對數型函數的圖象形狀【例21】（1）（2023秋·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）函數的部分圖像大致為（

）A． B．C． D．（2）（2023秋·湖南益陽·高一校聯考期末）函數（且）的圖像大致為（

）A． B．C． D．（3）（2023秋·江西新余·高一統(tǒng)考期末）已知函數圖象如圖所示，那么該函數可能為（

）A． B．C． D．鞏固訓練1．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中?？计谀┖瘮档膱D象大致是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·山西運城·高一康杰中學?？计谀┖瘮档膱D象大致為（

）A． B．C． D．3．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）函數的圖象大致是（

）A． B．C． D．題型二十二求對數型復合函數的單調性【例22】（1）（2023秋·天津靜海·高一靜海一中?？计谀┖瘮档膯握{遞增區(qū)間為．（2）（2023秋·河北石家莊·高一石家莊二中校考期末）已知函數，則的單調增區(qū)間為.（3）（2023秋·內蒙古烏蘭察布·高一校考期末）函數的單調遞增區(qū)間是．鞏固訓練1．（2023秋·四川巴中·高一?？计谀┖瘮档膯握{遞減區(qū)間是．2．（2023秋·廣東廣州·高一校考期末）已知，則的單調遞增區(qū)間為．3．（2023秋·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┖瘮档膯握{遞減區(qū)間為．題型二十三由對數(型)函數的單調性求參數【例23】（1）（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知在區(qū)間上是減函數，則實數的取值范圍是．（2）（2023秋·遼寧·高一大連二十四中校聯考期末）已知函數，若在區(qū)間內單調遞減，則的取值范圍是.（3）（2023秋·內蒙古呼和浩特·高一鐵路一中?？计谀┮阎巧系臏p函數，那么的取值范圍是.鞏固訓練1．（2023秋·四川資陽·高一四川省安岳實驗中學?？计谀┤艉瘮翟谏鲜窃龊瘮担瑒t實數a的取值范圍是．2．（2023秋·上海浦東新·高一?？计谀┮阎瘮翟谏鲜菄栏駵p函數，則實數a的取值范圍為；3．（2023秋·內蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）若（，且）在區(qū)間上單調遞增，則實數a的取值范圍為．題型二十四由對數函數的單調性解不等式【例24】（1）（2023春·湖北咸寧·高一統(tǒng)考期末）若存在實數，使得，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．（2）（2023春·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．（3）（2023秋·廣西防城港·高一統(tǒng)考期末）已知函數（且）的圖象過點.(1)求實數的值；(2)解關于的不等式.鞏固訓練1．（2023春·安徽阜陽·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數，若函數是偶函數，且對任意，都有，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）已知（，且）.(1)求函數的定義域；(2)當（其中，且t為常數）時，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，請說明理由；(3)當時，求滿足不等式的實數x的取值范圍.題型二十五指對式的大小比較【例25】（1）（2023秋·吉林長春·高一長春外國語學校?？计谀┰O，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．（2）（2023春·四川德陽·高一統(tǒng)考期末）已知，若，，，則（

）A． B． C． D．（3）（2023春·浙江金華·高一統(tǒng)考期末）設，則（

）A． B．C． D．（4）（2023春·湖南衡陽·高一衡陽市一中校考期末）已知函數，設，，，則（

）A． B．C． D．（5）（2023春·廣東廣州·高一校聯考期末）已知則（

）A． B． C． D．（6）（2023秋·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023秋·山東菏澤·高一山東省鄆城第一中學?？计谀┤?，，，則有（

）A． B． C． D．2．（2023春·海南·高一?？计谀┤簦?，，則下列關系正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高一校聯考期末）設，，，則（

）A． B．C． D．4．（2023秋·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知，則的大小關系是（

）A． B．C． D．5．（2023春·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在R上的偶函數，對任意實數x滿足，且在上單調遞增，設，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．6．（2023秋·黑龍江大慶·高一鐵人中學?？计谀┮阎?，則的大小關系為（

）A． B． C． D．題型二十六對數型函數值域問題【例26】（1）（2023秋·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考期末）函數的值域為.（2）（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學校?？计谀┖瘮档闹涤驗?，則實數的取值范圍為.（3）（2023秋·山東聊城·高一校聯考期末）已知函數的值域是R，則實數的最大值是．（4）（2023秋·遼寧·高一校聯考期末）（多選）設函數，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數B．當時，的單調遞減區(qū)間為C．若的定義域為，則a的取值范圍為D．若的值域為，則a的取值范圍為（5）（2023秋·山東棗莊·高一山東省滕州市第五中學校考期末）求函數的值域.鞏固訓練1．（2023春·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數的定義域為，值域為，則滿足要求的一個的值為.2．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮阎瘮档闹涤驗?，則的取值范圍是.3．（2023秋·江蘇淮安·高一淮陰中學?？计谀┖瘮档闹涤蚴?4．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）（多選）設函數，則（

）A．的定義域為 B．的值域為C．在單調遞增 D．在單調遞減5．（2023秋·湖南湘潭·高一統(tǒng)考期末）已知函數．(1)求的定義域;(2)求的值域．題型二十七對數(型)函數最值問題【例27】（1）（2023秋·內蒙古烏蘭察布·高一校考期末）函數（）在上的最大值是（

）．A．0 B．1 C．3 D．a（2）（2023秋·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，其中，若的最大值為M，最小值為N，則當a的值變化時（

）A．為定值 B．為定值 C． D．（3）（2023秋·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）函數的最大值為.（4）（2023秋·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）已知函數．(1)已知，函數是定義在R上的奇函數，當時，，求的解析式；(2)若函數有且只有一個零點，求a的值；(3)設，若對任意，函數在上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．鞏固訓練1．（2023春·江西宜春·高一江西省宜豐中學?？计谀┤艉瘮翟趨^(qū)間上的最大值與最小值的差不小于3，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數（a＞0，且）的定義域為，值域為．若的最小值為，則實數a的值可以是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·山東臨沂·高一校考期末）若函數（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數在上是增函數，則的值是．4．（2023春·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數（且）在上的最大值為.(1)求的值；(2)當時，，求實數的取值范圍.題型二十八對數函數的應用【例28】（1）（2023秋·黑龍江大慶·高一大慶中學?？计谀?018年5月至2019年春，在阿拉伯半島和伊朗西南部，沙漠蝗蟲迅速繁衍量指數增長，引發(fā)了蝗災，到2020年春季蝗災已波及印度和巴基斯坦，假設蝗蟲的日增長率為6%，最初有只，則大約經過（）天能達到最初的1600倍(參考數據：，，，ln6000≈8.6995.A．126 B．150 C．197 D．199（2）（2023秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）涼山州地處川西南橫斷山系東北緣，地質構造復雜，時常發(fā)生有一定危害程度的地震，盡管目前我們還無法準確預報地震，但科學家通過多年研究，已經對地震有了越來越清晰的認識與了解．例如：地震時釋放出的能量（單位：）與地震里氏震級之間的關系為，年月日，我州會理市發(fā)生里氏級地震，它所釋放出來的能量是年年初云南省麗江市寧蒗縣發(fā)生的里氏級地震所釋放能量的約多少倍（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍鞏固訓練1．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┍M管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解．例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為：．年月日，我國汶川發(fā)生了里氏級大地震，它所釋放出來的能量約是年月日我國瀘定發(fā)生的里氏級地震釋放能量的（

）倍．（參考數據：，，）A． B． C． D．2．（2022秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？计谀┪覀冎?，聲音通過空氣傳播時會引起區(qū)域性的壓強值改變.物理學中稱為“聲壓”.用P表示（單位：Pa（帕））：“聲壓級”S（單位：dB（分貝））表示聲壓的相對大小.已知它與“某聲音的聲壓P與基準聲壓的比值的常用對數（以10為底的對數）值成正比”，即（k是比例系數）.當聲壓級S提高60dB時，聲壓P會變?yōu)樵瓉淼?000倍.(1)求聲壓級S關于聲壓P的函數解析式；(2)已知兩個不同的聲源產生的聲壓P1，P2疊加后得到的總聲壓，而一般當聲壓級S<45dB時人類是可以正常的學習和休息的.現窗外同時有兩個聲壓級為40dB的聲源，在不考慮其他因素的情況下，請問這兩個聲源疊加后是否會干擾我們正常的學習？并說明理由.（參考數據：）題型二十九指對函數大題綜合【例29】（1）（2022秋·山東淄博·高一校考期末）已知函數常數.(1)若，且，求的值；(2)當為奇函數時，存在使得不等式成立，求實數的取值范圍.（2）（2022秋·安徽六安·高一六安二中?？计谀┮阎瘮?，從下面兩個條件中選擇一個進行答題.①的反函數經過點；②當，的解集是，(1)求實數的值；(2)，.求的最小值、最大值及對應的的值（3）（2022秋·福建三明·高一統(tǒng)考期末）國際上常用恩格爾系數r來衡量一個國家或地區(qū)的人民生活水平．根據恩格爾系數的大小，可將各個國家或地區(qū)的生活水平依次劃分為：貧困，溫飽，小康，富裕，最富裕等五個級別，其劃分標準如下表：級別貧困溫飽小康富裕最富裕標準r＞60%50%＜r≤60%40%＜r＝50%30%＜r≤40%r≤30%某地區(qū)每年底計算一次恩格爾系數，已知該地區(qū)2000年底的恩格爾系數為60%．統(tǒng)計資料表明：該地區(qū)食物支出金額年平均增長4%，總支出金額年平均增長．根據上述材料，回答以下問題.(1)該地區(qū)在2010年底是否已經達到小康水平，說明理由；(2)最快到哪一年底，該地區(qū)達到富裕水平？參考數據：，，，．（4）（2022秋·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學校考期末）已知函數（其中），函數（其中）.(1)若且函數存在零點，求的取值范圍；(2)若是偶函數且函數的圖象與函數的圖象只有一個公共點，求實數的取值范圍.（5）（2022秋·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谀┮阎瘮凳呛瘮担ㄇ遥┑姆春瘮?(1)若a=3，解方程；(2)若在區(qū)間上的值域為，求實數p的取值范圍.（6）（2023春·湖北咸寧·高一統(tǒng)考期末）已知，其中.(1)若，求的取值范圍.(2)設，若，恒有，求的取值范圍.鞏固訓練1．（2022秋·上海徐匯·高一上海市第二中學?？计谀┰O為奇函數，a為常數．(1)求a的值；(2)若函數，求與兩個函數圖像的交點坐標．2．（2023秋·河北石家莊·高一統(tǒng)考期末）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據國家有關規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設人在喝一定量的酒后，如果停止喝酒，血液中的酒精含量會以每小時p的比率減少．現有駕駛員甲乙兩人喝了一定量的酒后，測試他們血液中的酒精含量均上升到了．（運算過程保留4位小數，參考數據：，．．，）(1)若駕駛員甲停止喝酒后，血液中酒精含量每小時下降比率為，則駕駛員甲至少要經過多少個小時才能合法駕駛？（最后結果取整數）(2)駕駛員乙在停止喝酒5小時后駕車，卻被認定為酒后駕車，請你結合（1）的計算，從數學角度給駕駛員乙簡單分析其中的原因，并為乙能夠合法駕駛提出合理建議；(3)駕駛員乙聽了你的分析后，在不改變飲酒量的條件下，在停止飲酒后6小時和7小時各測試一次并記錄結果，經過一段時間觀察，乙發(fā)現自己至少要經過7個小時才能合法駕駛．請你幫乙估算一下：他停止飲酒后，血液中酒精含量每小時減少比率的取值范圍．（最后結果保留兩位小數）3．（2023春·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知函數，（且）的圖象經過點，函數為奇函數.(1)求函數的解析式；(2)求函數的零點；(3)若關于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實數的取值范圍.4．（2022秋·天津濱海新·高一?？计谀┮阎瘮?，（且），且.(1)求b的值，判斷函數的奇偶性并說明理由；(2)當時，求不等式的解集；(3)若關于x的方程有兩個不同的解，求實數m的取值范圍.5．（2022秋·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數．(1)若，判斷函數的奇偶性，并說明理由；(2)若且，討論函數在上的零點個數．6．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）已知函數是奇函數．(1)求實數的值；(2)已知不等式對任意都成立，求實數的取值范圍．題型三十函數零點的定義【例30】（1）（2022秋·江蘇南京·高一?？计谀┖瘮档牧泓c為（

）A． B．2 C． D．（2）（2023秋·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）函數的零點個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5（3）（2022秋·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數，則函數的零點個數為（

）A．3 B．4 C．2 D．1（4）（2022秋·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）已知函數，則函數的所有零點之和為．鞏固訓練1．（2023秋·上海浦東新·高一上海市實驗學校?？计谀┖瘮档牧泓c為．2．（2023秋·內蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┖瘮档牧泓c個數是（

）．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個3．（2023秋·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）已知函數,若實數,則函數的零點個數為(

)A．0 B．1 C．2 D．34．（2023秋·北京·高一北京市十一學校校考期末）已知，，滿足，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．題型三十一函數零點存在性定理【例31】（1）（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學校考期末）函數的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．（2）（2023秋·吉林長春·高一長春市解放大路學校?？计谀┖瘮盗泓c所在的區(qū)間是（）A． B．C． D．（3）（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考期末）函數在區(qū)間上存在零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．鞏固訓練1．（2023秋·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知是函數的一個零點，則（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龍江佳木斯·高一?？计谀┖瘮档牧泓c所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．3．（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學?？计谀┖瘮档囊粋€零點在區(qū)間內，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型三十二函數零點的分布【例32】（1）（2023秋·安徽淮北·高一淮北市實驗高級中學?？计谀┮阎瘮?，若的零點個數為2，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．（2）（2023秋·廣東·高一校聯考期末）已知函數，若方程有四個不同的根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．（3）（2023春·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）已知函數恰有3個不相等的零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．（4）（2023春·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知，若方程有四個不同的實數根，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．（5）（2023秋·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知有兩個零點，且，則下列說法正確的有（

）A．，B．C．若，則的最小值為D．且，都有（6）（2023秋·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，實數是函數的兩個零點，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．鞏固訓練1．（2023秋·天津·高一統(tǒng)考期末）已知函數若函數有四個不同的零點，，，，且，則下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·河南焦作·高一博愛縣第一中學?？计谀┮阎瘮?，若函數恰有3個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023春·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）設函數，若（其中），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）若函數有兩個零點，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．5．（2023春·西藏拉薩·高一統(tǒng)考期末）（多選）設函數，若函數有四個零點分別為，且，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．6．（2023秋·吉林·高一長春市第二實驗中學校聯考期末）已知，若恰有3個零點，則的可能值為（

）A．0 B．1 C． D．2題型三十三用二分法求方程的近似解【例33】（1）（2023·全國·高一專題練習）已知函數的部分函數值如下表所示：那么函數的一個零點的近似值（精確度為）為（

）x1A． B． C． D．（2）（2023·全國·高一專題練習）已知函數在區(qū)間內存在一個零點，用二分法計算這個零點的近似值，其參考數據（函數值均保留四位小數）如下：則這個零點的近似值為．（保留兩位小數）（3）（2023秋·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）（多選）下列函數圖象與軸均有交點，其中不能用二分法求其零點的是（

）A．

B．

C．

D．

鞏固訓練1．（2023·全國·高一專題練習）已知函數在內有一個零點，且求得的部分函數值數據如下表所示：0111要使零點的近似值精確到，則對區(qū)間的最少等分次數和近似解分別為（

）A．6次 B．6次C．5次 D．5次2．（2023秋·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）要求方程的一個近似解，設初始區(qū)間為．根據下表，若精確度為，則應用二分法逐步最少取次；若所求近似解所在的區(qū)間長度為，則所求近似解的區(qū)間為．左端點左端點函數值右端點右端點函數值012123．（2023·全國·高一專題練習）（多選）某同學求函數的零點時，用計算器算得部分函數值如表所示：則方程的近似解（精確度）可取為（

）A． B． C． D．題型三十四函數模型的應用【例34】（1）（2023秋·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）Logistic模型是常用數學模型之一，可用于流行病學領域．有學者根據所公布的數據建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例（的單位：天）的Logistic模型：，其中為最大確診病例數．當時，標志著已初步遏制疫情，則約為（

）A．35 B．36 C．40 D．60（2）（2023秋·安徽合肥·高一校聯考期末）新的高考改革正在進行，按新高考“3＋1＋2”方案要求，方案的“2”是指考生從政治、化學、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，其余四科同原始分計入高考成績.等級賦分規(guī)則如下：將政治、化學、生物和地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為A，B，C，D，E五個等級，確定各等級人數所占比例分別為15%，35%，35%，13%，2%，等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法分別轉換到、、、、五個分數區(qū)間，得到考生的等級分.具體轉換分數區(qū)間如下表：等級ABCDE比例15%35%35%13%2%分區(qū)間而等比例轉換法是通過公式計算：，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示轉換分，當原始分為，時，等級分分別為，.假設小明的生物考試成績信息如下表：考生科目原始分成績等級原始分區(qū)間等級分區(qū)間生物75分B等級設小明轉換等級成績?yōu)門，根據公式得：，所以（四舍五入取整），則小明最科生物為77分.某次生物考試后經過統(tǒng)計測算確定A等級原始分區(qū)間為，設生物成績獲得等級的學生原始成績?yōu)閤，等級成績?yōu)閥，則y與x的函數解析式為.（3）（2023春·甘肅白銀·高一統(tǒng)考開學考試）（多選）壓縮袋（真空壓縮袋）也叫PE拉鏈復合袋．在我們的日常生活中，各類大小的壓縮袋不但能把衣柜解放出來，而且可以達到防潮、防蟲咬、清潔保存的效果．其中抽氣式壓縮袋是通過外接抽氣用具如抽氣泵或吸塵器，來進行排氣的．現選用某種抽氣泵對裝有棉被的壓縮袋進行排氣，已知該型號的抽氣泵每次可以抽出壓縮袋內氣體的，則（

）（參考數據：?。〢．要使壓縮袋內剩余的氣體少于原來的，至少要抽5次B．要使壓縮袋內剩余的氣體少于原來的，至少要抽9次C．抽氣泵第4次抽出了最