2022屆山西省陽泉市高考數(shù)學(xué)必刷試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在菱形ABC。中，AC=4,BD=2,E,F分別為AB,8c的中點(diǎn)，則反.而=()

13515

A.------B.—C.5D.—

444

2.在AABC中，a/,c分別為所對的邊，/(x)=+hx2+(a2+c2-ac)x

+1有極值點(diǎn)，則E>B的范圍是()

71

C.

3.在AABC中，AB=3AC=2,/R4C=6O°,點(diǎn)。，E分別在線段AB,CO上，且3￡)=2AZ),CE=2ED,

貝!左().

B.-6C.4D.9

4.已知拋物線C：V=4x和點(diǎn)0(2,0),直線x=0-2與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A,B,直線BD與拋物線C交于

另一點(diǎn)￡.給出以下判斷：

①以座為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離；

②直線OB與直線OE的斜率乘積為-2；

③設(shè)過點(diǎn)A,B,E的圓的圓心坐標(biāo)為(。,。)，半徑為廣，則a?—，：*

其中，所有正確判斷的序號是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

5.已知函數(shù)/(x)=cosx與g(x)=sin(2x+0)(0,,夕<%)的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為(的交點(diǎn)，若函數(shù)g(x)的圖象的縱

坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓け逗螅玫降暮瘮?shù)在［0,2句有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

(0

2935^F2935

24,24)B，24,24

29352935

c.D.

2452424524

6.甲在微信群中發(fā)了一個(gè)6元“拼手氣”紅包，被乙、丙、丁三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得

“最佳手氣''（即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人）的概率是（

1323

A.-B.——C.-D.-

31054

[x-y<0,

x+3

7.若X,y滿足約束條件?x+y<2,則z=一-的取值范圍為（）

y+2

[x+l>0,

24242

A.B.[-，3]C.[-,2]D.[-,2]

53535

1+Z

8.已知復(fù)數(shù)z=l-i,廠的共物復(fù)數(shù)，則一=（）

Z

3+z1+/1-3/1+3/

A.---B.C.D.

2222

9.將函數(shù)y=sin（3x+°）的圖象沿x軸向左平移工個(gè)單位長度后，得到函數(shù)/（x）的圖象，貝!|“0=?是"/（x）是

96

偶函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）

11.若/（X）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/（x+2）=-/（x）,則

A.“X）的值域?yàn)镽B./（X）為周期函數(shù)，且6為其一個(gè)周期

C.“X）的圖像關(guān)于x=2對稱D.函數(shù)“X）的零點(diǎn)有無窮多個(gè)

22

xJ

12.已知圓f+y2-4x+2y+l=0關(guān)于雙曲線1(a>0/>0)的一條漸近線對稱，則雙曲線。的離心率

礦下

為()

A.V5B.5C.也5

D.

24

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3九,COS（6Z4-/?）=—4,COs（

13.已知a,，e一言，貝！］sina+

5

14.若函數(shù)/（x）=C%2"T-c52"+C；x2"M-…+。：（一1）'0""+…&（一1）"戶,其中〃3且〃22,則

/(1)=.

2

15.已知點(diǎn)戶為雙曲線E：/一==13>0)的右焦點(diǎn)，M,N兩點(diǎn)在雙曲線上，且M,N關(guān)于原點(diǎn)對稱，若

TTJT

MF1NF,設(shè)AMNF=8,且,則該雙曲線E的焦距的取值范圍是_______.

126

16.設(shè)a為銳角，#cos(a+-)=—,貝!Isin2a的值為.

64

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

r221

17.(12分)設(shè)橢圓C：v方=1(。>。>0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，已知橢圓離心率為過點(diǎn)F且與*軸

垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)過點(diǎn)A的直線/與橢圓C交于點(diǎn)3(B不在x軸上)，垂直于/的直線與/交于點(diǎn)"，與〉’軸交于點(diǎn)H,若

BFLHF,且NMQ4WNM4O,求直線/斜率的取值范圍.

18.(12分)如圖所示，四棱柱ABC。-44GA中，底面ABCO為梯形，AD//BC,ZADC=90°,

AB=BC=BB1=2,AD=}>CD=6NA網(wǎng)=60°.

（1）求證：Afilfi.C；

(2)若平面ABC￡>_L平面ABB/,求二面角。一片。-8的余弦值.

X=1+C0S6Z

19.（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線。的參數(shù)方程為｛.（。為參數(shù).04二＜2?）.以坐標(biāo)原點(diǎn)

y=sm。

TT

。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為。=］（夕GR）,曲線C與直線/其中的一個(gè)交點(diǎn)

7T

為A,且點(diǎn)A極徑。0力0.極角0《％＜彳

（1）求曲線。的極坐標(biāo)方程與點(diǎn)A的極坐標(biāo)；

（2）已知直線〃?的直角坐標(biāo)方程為x-Gy=0,直線m與曲線C相交于點(diǎn)8（異于原點(diǎn)。），求AAO8的面積.

20.（12分）為了解網(wǎng)絡(luò)外賣的發(fā)展情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國各城市中抽取了100個(gè)相同等級地城市，分別調(diào)查了甲

乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣平臺（以下簡稱外賣甲、外賣乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，

（1）現(xiàn)規(guī)定，月訂單不低于13萬件的城市為“業(yè)績突出城市”，填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的

把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).

業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計(jì)

外賣甲

外賣乙

總計(jì)

(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數(shù)Z(單位：萬件)近似地服從正態(tài)分布

N"),其中〃近似為樣本平均數(shù)嚏(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，。的值已求出，約為3.64,現(xiàn)把頻

率視為概率，解決下列問題：

①從全國各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市，記X為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間(4.88,15.8)的城市個(gè)數(shù)，求X的數(shù)

學(xué)期望；

②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營銷活動來提升業(yè)績，據(jù)統(tǒng)計(jì)，開展此活

動后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬件的水平，現(xiàn)從全國各月訂單數(shù)不超過7萬件的城市中采用分層抽樣

的方法選出100個(gè)城市不開展?fàn)I銷活動，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元，但每件外賣平均需送出紅包2元,

則外賣甲在這100個(gè)城市中開展?fàn)I銷活動將比不開展?fàn)I銷活動每月多盈利多少萬元？

n(ad-bc)2

附：①參考公式：K-,其中〃=a+/?+c+d.

(Q+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

0.150.100.050.0250.0100.001

%)2.7022.7063.8415.0246.63510.828

②若Z-,則P卬一o<Z</z+cr)=0.6826,尸(〃一2cr<Z<〃+2cr)=0.9544.

21.(12分)max{m,〃}表示,及中的最大值，如max，,=,己知函數(shù),f(x)=max{f一i,21nx},

g(x)=max<x+lnx,—x2+ia2—g卜+2〃+4Q

(1)設(shè)〃(x)=/(x)-31一;求函數(shù)/z(x)在(0,1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

3

(2)試探討是否存在實(shí)數(shù)。€(-2,口)，使得g(x)<]X+4〃對xe(a+2,+s)恒成立？若存在，求”的取值范圍；

若不存在，說明理由.

x=t

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系宜為中，直線/的參數(shù)方程為c。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的

y=3-2t

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為。=4sin9.

(1)求直線/的普通方程和曲線。的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/與曲線。交于A、B兩點(diǎn),求AQAB的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

據(jù)題意以菱形對角線交點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出萬友麗，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量

積運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)AC與BD交于點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，麗的方向?yàn)閤軸，場的方向?yàn)椤份S，建立直角坐標(biāo)系，

則4一；,1）,產(chǎn)BQ），詼=［一川，麗=6一），

-------------95

所以。上。/=2一1=—.

44

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問題，難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問題，如果直

接計(jì)算較麻煩可考慮用建系的方法求解.

2.D

【解析】

試題分析：由已知可得/'(X)=V+2bx+(a2+c2-ac)=。有兩個(gè)不等實(shí)根

\,,,a~+c~—b~I?7t

=^>^=4b--4(a-+c~-ac]>Q^>a'+c'-b~<ac=^>cosB=--------------|二，兀.

V>lac213J

考點(diǎn)：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.

【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯

思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為

/'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac)=0有兩個(gè)不等實(shí)根，從而可得

\.、、Q2+02—b~1?TC

A=4/r-4(<r+c‘-ac]>0ncr+(r—Zr<ac=>cosB=-------------<—=>Be.

''lac213J

3.B

【解析】

根據(jù)題意，分析可得AO=1,由余弦定理求得。C的值，由

初?麗=(而+方后)?布=麗?南+詼?布=而?而可得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，AB=3,BD=2AD,則4)=1

在AAOC中，又AC=2,NS4C=60。

則DC2=AD2+AC2-2AD-DCcosABAC=3

則￡>C=百

則CQJ_A8

則詼?麗=(而+詼)?麗=麗?南+詼?詬=麗?南=3x2xcosl800=—6

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡單題目.

4.D

【解析】

對于①，利用拋物線的定義，利用△=《#="等S>可判斷；

對于②，設(shè)直線DE的方程為犬=〃少+2,與拋物線聯(lián)立，用坐標(biāo)表示直線0B與直線0E的斜率乘積，即可判斷；

對于③，將x=0-2代入拋物線。的方程可得，力必=8,從而，以=-%，利用韋達(dá)定理可得

|3臼2=16/*+48/+32,再由/=|削『,可用m表示/，線段8￡的中垂線與x軸的交點(diǎn)（即圓心

N）橫坐標(biāo)為2m2+4,可得a,即可判斷.

【詳解】

如圖，設(shè)/為拋物線C的焦點(diǎn)，以線段仍為直徑的圓為則圓心M為線段的的中點(diǎn).

設(shè)3,E到準(zhǔn)線的距離分別為4，4，。”的半徑為R，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為4,

顯然3,E,E三點(diǎn)不共線，

則d=么辿JBE|+|Eb|＞空J(rèn)=R.所以①正確.

222

由題意可設(shè)直線OE的方程為x=my+2,

代入拋物線C的方程，有丁-4,孫-8=0.

設(shè)點(diǎn)8,E的坐標(biāo)分別為（X，x）,（w，%），

則X+%=4根，=-8.

所以工用=（，孫+2）（沖2+2）=.乂%+2加（X+%）+4=4.

則直線OB與直線OE的斜率乘積為"&=-2.所以②正確.

中2

將x="-2代入拋物線c的方程可得，以“=8,從而，力=一必.根據(jù)拋物線的對稱性可知,

A,￡兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，所以過點(diǎn)A,B,E的圓的圓心N在x軸上.

由上，有％+%=4加，尤|+%2=4m2+4,

42

則|BE『=（玉+x2）'—4%1%2+（必+y2y—=16/w+48m+32.

所以，線段BE的中垂線與x軸的交點(diǎn)（即圓心N）橫坐標(biāo)為2〃/+4,所以。=2〃/+4.

2/,2、2

\BE\

于是，r=|MN|2+I=2M+4-五旦I+y+力+4m4+12m2+8,

222)

代入加得2加*

X1+%2=42+4,X+%=4"Z,r=4+16M+12,

所以/r=(2w2+4)2-(4w4+16m2+12)=4.

所以③正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

5.A

【解析】

根據(jù)題意，cos?=sin[W2萬+夕],求出e=三71，所以g(x)=sin[2x+J兀],根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出0

366

的取值范圍.

【詳解】

TT

已知/(x)=cosx與gO)=sin(2x+e)(0,,(p<7f)的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為彳的交點(diǎn),

.7T.24)

貝(jcosy=sin

24245萬

T'5

275771

-----/.(D———

696

g(x)=sin[2x+(),

若函數(shù)g(x)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,倍，則…足日⑺+力

co

71冗

所以當(dāng)xi[0,2劃時(shí)，2刃》+—6一,4A7UCD+一,

666

???/(X)在[0,2組有且僅有5個(gè)零點(diǎn),

..5TT,,^TUCD+v6兀9

6

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.

6.B

【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.

【詳解】

設(shè)乙，丙，丁分別領(lǐng)到x元j元,z元，記為(x,y,z)，則基本事件有

(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10個(gè)，其中符合乙獲得“最佳手

_3

氣”的有3個(gè)，故所求概率為歷，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法，屬于基礎(chǔ)題型.

7.D

【解析】

x+3

由題意作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=K為連接點(diǎn)。(-3,-2)和可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)的直線斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合

即可得解.

【詳解】

由題意作出可行域，如圖,

x+3

目標(biāo)函數(shù)z=Q可表示連接點(diǎn)n(-3,-2)和可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)的直線斜率的倒數(shù),

由圖可知，直線D4的斜率最小，直線OB的斜率最大，

x-y=0/、fx+y=2/、

由；c可得A(T,-1),由；八可得

x+l=0[x+l=0J

由7—1+21i3+252

所以勺==所以￡WZ<2.

—1+JZ—1+3Z3

故選：D.

本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

求出三，直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù).

【詳解】

1+z2-il-3z

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，共扼復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

求出函數(shù)y=/(x)的解析式，由函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)得出。的表達(dá)式，然后利用充分條件和必要條件的定義判斷

即可.

【詳解】

將函數(shù),y=sin(3x+°)的圖象沿x軸向左平移￡個(gè)單位長度，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為

9

/、/、

冗.c兀

/(x)=sin3尤+一+夕=sin3xd---\-(p,

\9,、3，

若函數(shù)y=/.(x)為偶函數(shù)，則f+e=0+W(ZeZ),解得0伙eZ),

326

jr

當(dāng)％=0時(shí)，(p=z

6

因此，“夕=g”是“y=/(x)是偶函數(shù)”的充分不必要條件.

6

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分不必要條件的判斷，同時(shí)也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，

考查運(yùn)算求解能力與推理能力，屬于中等題.

10.D

【解析】

模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，得出S的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結(jié)論.

【詳解】

233

5=4/=1;5=-1"=2;5=—,『=3;5=—』=4;5=4/=5；如此循環(huán)下去，當(dāng)/=2020時(shí)，5=—;5=4"=2021,

322

此時(shí)不滿足i<2021,循環(huán)結(jié)束，輸出S的值是4.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu).解題時(shí)模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結(jié)論.

11.D

【解析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.

【詳解】

“X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則/(-x)=-/(x),/(0)=0,

又/(x+2)=-f(x),/(x+4)=-f\x+2)=f(x),

即是以4為周期的函數(shù)，f(4k)=f(0)=0(左eZ),

所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)；

因?yàn)?(x+2)=—/(x),/[(%+1)+1]=/(-%),令。=1+尤，則/?+l)=/(lT),

即f(x+l)=/(l—x),所以的圖象關(guān)于x=l對稱，

由題意無法求出了(%)的值域，

所以本題答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.

12.C

【解析】

將圓*2+y2-4x+2y+1=（）,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為（2,-1）.根據(jù)圓V+y2—4x+2y+1=0關(guān)于雙曲線

。：彳-￡=1（。＞0/＞0）的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，?=；.再根據(jù)e=￡=Jl+（2j求解.

【詳解】

已知圓f+＞2-4x+2y+1=0,

所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2y+（y+l）2=4,

所以圓心為（2,-1）.

V2V2

因?yàn)殡p曲線C：二一4=1（。＞0力＞0）,

礦b-

b

所以其漸近線方程為y=±-x,

a

22

又因?yàn)閳AW+丁—4x+2y+1=0關(guān)于雙曲線C：與-方=1（?！?力＞0）的一條漸近線對稱，

則圓心在漸近線上，

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的方程及對稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

33

13.——

65

【解析】

由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得sin（a+￡）,sin（￡-的值，由兩角差的正弦公式即可計(jì)算得

sin[a+?）的值.

【詳解】

45

cos(a+^)=—,cos

13

...a+￡e仔,2乃71

PA----G

4

/.sin(a+〃)=-Jl-cos2(a+0)3

5

12

sm*-----9

13

??.sin(a+工]=sin

I4)

./小/〃萬1(31(5)41233

=sinor+p)cosp-----cos(tz+Z?Isinp------=——x--------x—=-------.

[)[4)')I4)I5八13J51365

33

故答案為：一二

65

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.0

【解析】

先化簡函數(shù)“X)的解析式，在求出了'(X),從而求得了'(1)的值.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(X)=C%2"T-C>2"+c52.+l_..+c；(_l)，x2”T+r+-C；(_l)"x3"T

可化簡為/(X)=f"T[d-C,X+C>2一…+G(—l)，r+...+CX]=X2n-'(l-X)rt,

所以/(x)=(2n-l)x2,,-2(l-x)n-x2"-1n(l-x)"T=x2n-2(l-x)"-'[2〃-1一(3〃一l)x],

所以八1)=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)值的求解，其中解答中正確化簡函數(shù)的解析式，準(zhǔn)確求解

導(dǎo)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

15.[272,273+2]

【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為尸，連接Mk,NF.,由于所以四邊形/NFM為矩形，故IMN|=|"[=2c,由雙

曲線定義INF|-1N/|=|NE|-1FM|=2?？傻?=0cos(6+[，再求)'=④cos,+的值域即可.

【詳解】

如圖，

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為尸，連接ME',NF,由于MF_LNE.所以四邊形F'NFM為矩形，

^\MN\=\FF'\=2c.

在RtANFM中IFN|=2ccosFM|=2csin0,

由雙曲線的定義可得

2=2a=|NE|-1NF'|=|NF\-\FM\=2ccos。-2csin。=2&ccos(。

?c一1

V2cosf(9+j

-：—<0<—,:.—<0+—<—

1263412

,\/3-1rr(兀、/3

-------4cos0a—W—

2I4)2

72<c<V3+l>2^2<2c<2>/3+2.

故答案為：[2加,+2]

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線定義及其性質(zhì)，涉及到求余弦型函數(shù)的值域，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.

世幣+3上

16.--------

【解析】

為銳角，cos(a+—)=>**.sin(a+—)=,

6464

sin(2a+—)=2sin(a+—)cos(a+—)=?cos(2?+—)=2cos2(a+-^)-1=-—,

3664364

故sin2c=sin[(2a+—)--]=sin(2a+—)cos--cos(2a+—)sin—=^-x—+—x—=

33333342428

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

【解析】

(I)由題意可得2b竺°=3,e=c-,a2=h2+c2,解得即可求出橢圓的C的方程;

aa

(H)由已知設(shè)直線/的方程為尸《(x-2),(A和)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根

與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，再寫出M//所在直線方程，求出”的坐標(biāo)，由8凡LHF,解得由方程組消去y,解

得與，由NMQ4WNM4O,得到％”N1,轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的不等式，求得A的范圍.

【詳解】

(I)因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3,

所以Z2b2=3,

a

因?yàn)闄E圓離心率e為!，所以￡=,，

2a2

又/=加+。2,

解得a-2,c=l,b=#),

22

所以橢圓C的方程為土+匕=1；

43

(II)設(shè)直線/的斜率為左(A。。)，則尸Mx-2),設(shè)B(/,%)，

y=

由＜尤22得(4左2+3)%2_]6&2工+16后2—12=0,

-------1-r—=1

143

8左2一68/一6

解得x=2,或1=,由題意得與

4二+34公+3

從而

由（I）知，F(xiàn)（1,O）,設(shè)

’9-4左212k、

所以兩=（一1,%）,BF、442+3'4公+3)

因?yàn)锽F工HF,所以麗.泳=0,

4%29l2kyAjjze9—4-k~

所以H=09解得=------

4公+34公+3H12k

19一4戶

所以直線方的方程為k一二十丁'

y=”（x—2）20k?+9

設(shè)“（修,加），由1X+9-消去y,解得知=12（/+1、

y~~~kX+\2k'

在AM4O中，ZMOA<ZMAO|M4|<\MO\,

即（尤附-2）+加~4%~+加2,

20k2+9,

所以31，即所而4

解得心一如，或k』.

44

所以直線/的斜率的取值范圍為1-8,一k］。［亍,+8.

【點(diǎn)睛】

本題考查在直線與橢圓的位置關(guān)系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

屬于難題.

18.（1）證明見解析（2）-理;

35

【解析】

（D取4?中點(diǎn)為。，連接。C,。用，AC,AB-根據(jù)線段關(guān)系可證明AA5c為等邊三角形，即可得A3_LOC；

由AABg為等邊三角形，可得A8LO4,從而由線面垂直判斷定理可證明A3,平面OBC，即可證明A3,8c.

（2）以。為原點(diǎn)，。與，OB,OC為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面88C和

平面BCD的法向量，即可由法向量法求得二面角D-B,C-B的余弦值.

【詳解】

(1)證明：取A8中點(diǎn)為。，連接。C,。片，AC,如下圖所示：

所以AC=2,故AABC為等邊三角形，則A5J_0C.

連接AB1，因?yàn)锳8=3與=2,ZABB,=60°,

所以為等邊三角形，則AB1OB,.

又OCn。耳=。，所以ABJL平面。8c.

因?yàn)锽|Cu平面。片C,

所以ABLgC.

(2)由(1)知ABLOC,

因?yàn)槠矫鍭BCOn平面AB44=A8,OCu平面ABC。，

所以O(shè)CL平面A684，

以。為原點(diǎn)，。4，OB,OC為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

易求。。=。4=百,則3(o,i,o),4(6,o,o),c(o,o詢,

22

則成配=(—G,o,G),CD=

設(shè)平面BBC的法向量％=(%,y”zj,

—y+V§Z]=0,r—

則〈那即「「令M=1,則乂=V3,Z]=1,

-島+島=0,

故)=(1,卜

設(shè)平面8c。的法向量后=(和內(nèi)，Z2)，

_2y.2z=0

%?CD—0,C>2C勺u(yù),

則〈上一則22

n2?B[C=0,—

A/3X9+—0,

(1走)

令々=1,則＞2=-弓，Z2=1,故4

1,3，19

7

V105

所以cos伍,第

35?

由圖可知，二面角。一回。一8為鈍二面角角,

所以二面角。-gC-8的余弦值為一叵.

35

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定，由線面垂直判定線線垂直，由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小，屬于中檔題.

19.(1)極坐標(biāo)方程為〃=2cos8,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(1，(2)中

【解析】

(1)利用極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化公式即可；

(2)只需算出A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用5=3//花泊(4-%)|計(jì)算即可.

【詳解】

x=l+cosa

(1)曲線C：〈(a為參數(shù)，0＜。＜2萬)

y=sina

o(x-1)2+y2=1o冗2+丁2=2工=夕2=2pcos^<=>p-2cos6,

rr

將6=§代入，解得由。=1,

即曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=2cos6,

點(diǎn)A的極坐標(biāo)為

(2)由(1),得點(diǎn)A的極坐標(biāo)為

由直線，〃過原點(diǎn)且傾斜角為弓，知點(diǎn)8的極坐標(biāo)為(百,彳),

5xlx

M?O=|V3xsin^|-^=^.

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化以及利用極徑求三角形面積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)

題.

20.(1)見解析，有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).(2)①4.911②100萬元.

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表，易得兩個(gè)外賣平臺中月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量，即可完善列聯(lián)表.

通過計(jì)算K?的觀測值，即可結(jié)合臨界值作出判斷.

(2)①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值"根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間，并由［及b求得2b=4.88,

〃+b=15.8.結(jié)合正態(tài)分布曲線性質(zhì)可求得P(4.88<Z<15.8),再由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望求法求解.②訂單數(shù)低于7

萬件的城市有［3,5)和［5,7)兩組，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可確定各組抽取樣本數(shù).分別計(jì)算出開展?fàn)I銷活動與不開展?fàn)I銷

活動的利潤，比較即可得解.

【詳解】

(1)對于外賣甲：月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為100x(0.1+0.05+0.04+0.01)x2=40,

對于外賣乙：月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為20+20+10+2=52.

由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖，

業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計(jì)

外賣甲4060100

外賣乙5248100

總計(jì)92108200

且K，的觀測值為k=2XZ9線)=2599>2,706，

???有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).

(2)①樣本平均數(shù)

x=4x0.04+6x0.06+8x0.10+10x0.10+12x0.30+14x0.2()+16x0.10+18x().08+20x0.02=12.16

/./LI—2a=12.16—2x3.64=4.88,

〃+b=12.16+3.64=15.8

故尸(4.88vZv15.8)二尸(〃-2bvZv〃+b)

=gP(〃-2cr<Z<//+2cr)+gP(N-b<ZW/z+b)

=1(0.6826+0.9544)=0.8185,

.?.X~3(6,0.8185),

X的數(shù)學(xué)期望E(x)=6x0.8185=4.911,

2

②由分層抽樣知，貝|J100個(gè)城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間［3,5)內(nèi)的有100X§=40(個(gè))，

每月訂單數(shù)在區(qū)間［6,7］內(nèi)的有100xg=60(個(gè))，

若不開展?fàn)I銷活動，貝!I一個(gè)月的利潤為40x4x5+60x6x5=2600(萬元)，

若開展?fàn)I銷活動，貝！J一個(gè)月的利潤為100x9x(5-2)=2700(萬元)，

這100個(gè)城市中開展?fàn)I銷活動比不開展每月多盈利100萬元.

【點(diǎn)睛】

本題考查了頻率分布直方圖與頻率分布表的應(yīng)用，完善列聯(lián)表并計(jì)算《2的觀測值作出判斷，分層抽樣的簡單應(yīng)用，綜

合性強(qiáng)，屬于中檔題.

21.(1)2個(gè)；(D存在，(里」,2］.

4

【解析】

試題分析：(1)設(shè)F(x)=x2-l-2fax.對其求導(dǎo)，及最小值，從而得到/(x)的解析式，進(jìn)一步求值域即可；(1)

分別對a40和a>0兩種情況進(jìn)行討論，得到g8的解析式，進(jìn)一步構(gòu)造h(4,通過求導(dǎo)得到最值，得到滿足條件

的a的范圍.

試題解析：(1)設(shè)V—1—21nx/'(x)=2x—2=生二'乂f),............1分

令尸'(x)>0,得x>l,/(x)遞增；令E'(x)<0,得0cx<l,E(x)遞減,..................1分

F=F1=0

*'?Wmi?()---F(x)>0,即尤2—iN21nx，=...........3分

設(shè)G（x）=3（x-g*x-l）2,結(jié)合/（x）與G（x）在（0,1］上圖象可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在（0,1］上有兩個(gè)交點(diǎn)，即

〃（x）在（0,1］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.........................5分

（或由方程〃x）=G（x）在（0』上有兩根可得）

（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)ae（-2,+oo）,使得g（x）＜,x+4。對xe（a+2,+oo）恒成立,

,3,

x+lnx＜一尤+4。

2,、

則｛（］、3'對%￡（〃+2,+8）恒成立，

-x+|ci~—