江蘇省連云港市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題（含答案）

連云港市2022~2023學(xué)年第一學(xué)期期中調(diào)研考試高三數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.考試時(shí)間120分鐘，試卷滿分150分。2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。3.請(qǐng)用2B鉛筆和0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上指定區(qū)域內(nèi)作答。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)m為實(shí)數(shù)，，.若，則（）A.1 B.-1 C.0 D.0或-12.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)，（），若，則（）A. B. C. D.4.連云港海濱浴場(chǎng)是我省最優(yōu)質(zhì)的天然海濱浴場(chǎng)，浪緩灘平，水清沙細(xì)，當(dāng)陽(yáng)光射入海水后，海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用表示其總衰減規(guī)律，其中K是平均消光系數(shù)，D（單位：米）是海水深度，（單位：坎德拉）和（單位：坎德拉）分別表示在深度D處和海面的光強(qiáng).已知某海區(qū)5米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的40%，則該海區(qū)消光系數(shù)K的值約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.0.2 B.0.18 C.0.16 D.0.145.已知，則（）A.5 B. C.-5 D.6.若，，，則（）A. B. C. D.7.設(shè)，，都是單位向量，且與的夾角為60°，則的最大值為（）A. B. C. D.8.若函數(shù)在上存在唯一的極值點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9.在等比數(shù)列中，，，則（）A.的公比為4 B.的前20項(xiàng)和為170C.的前10項(xiàng)積為 D.的前n項(xiàng)和為10.已知直線l：（），則（）A.直線l過(guò)定點(diǎn) B.直線l與圓相切時(shí)，m的值是-1C.原點(diǎn)到直線l的最大距離為2 D.直線l與圓相交11.定義在的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.是奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞減C. D.12.在正四棱柱中，，.H，，E分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)M在直線上，，.下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，與所成角的余弦值為B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M到平面的距離為C.當(dāng)時(shí)，平面D.若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知，若，則____________.14.若直角三角形兩條直角邊的和為10，則其斜邊的最小值是___________.15.點(diǎn)F為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為_(kāi)__________.16.如圖，對(duì)于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角a，使得對(duì)于曲線G上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B恒有成立，則稱角為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”.已知曲線C：（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”為，則____________.四、解答題：本題共6題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（10分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.18.（12分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知，.（1）證明：；（2）若的面積為，求b.19.（12分）如圖，在幾何體中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面與平面的交線為.（1）證明：；（2）若平面平面，H為的中點(diǎn)，，，，求該幾何體的體積.20.（12分）某高中有50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，得分（滿分：150分）如下：女生145532男生0241293（1）若得分不低于120分的學(xué)生稱為“數(shù)學(xué)優(yōu)秀者”.問(wèn)：是否有95%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)優(yōu)秀者”與性別有關(guān)；（2）若在競(jìng)賽得分不低于130分的男生中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至少有1人得分在內(nèi)的概率.附：，其中.0.050.0250.0100.0013.8415.0246.63510.82821.（12分）己知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線1交該橢圓于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的上方），橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，直線與直線交于點(diǎn)Q.證明：點(diǎn)Q在定直線上.22.（12分）已知函數(shù).（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.連云港市2022~2023學(xué)年第一學(xué)期期中調(diào)研考試高三數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.【答案】B【解析】，則或，∴或0時(shí)，，，，滿足.時(shí)，，，，不滿足，選B.2.【答案】A【解析】“”，則，則一定有，充分.時(shí)，不一定有，不必要，選A.3.【答案】A【解析】，∴，∴，選A.4.【答案】B【解析】，∴，∴，∴，選B.5.【答案】D【解析】，則，，，∴，選D6.【答案】C【解折】，，，∴a最小.，，，，∴，選C.7.【答案】D【解析】設(shè)，，，.，選D8.【答案】B【解析】，，則在上存在唯一的極值點(diǎn)，則，∴.或，∴，選B.時(shí)，，無(wú)解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9.【答案】ABC【解析】，∴，∴，，A對(duì).，，B對(duì).，C對(duì).的前n項(xiàng)和，D錯(cuò)，選ABC.10.【答案】AB【解析】過(guò)定點(diǎn)，A對(duì).直線l與圓相切時(shí)，，∴，B對(duì).，∴原點(diǎn)到l的最大距離為，C錯(cuò).圓，化簡(jiǎn)，圓心，，在圓上，直線l與圓可能相切，D錯(cuò)，選AB.11.【答案】AC【解析】時(shí)，，∴，，，，∴為奇函數(shù)，A對(duì).，時(shí)，，∴，C對(duì).時(shí)，，而，∴不可能單調(diào)減，B錯(cuò).令，則，，，∴，則，即，則在，，D錯(cuò)，選AC.12.【答案】BC【解析】如圖建系，，，.對(duì)于A.，，，，A錯(cuò).對(duì)于B，，E到面的距離為B到面的距離，，，∴.設(shè)M到平面的距離h，則，∴，B對(duì).對(duì)于C，，，，，，，，∴面，C對(duì).對(duì)于D，，，，面的法向量，，∴，不妨設(shè)，則，，，而的法向量，，∴，不妨設(shè)，則，，，，或2，D錯(cuò)，選BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.【答案】0【解析】令，為奇函數(shù)，，，∴，則，.14.【答案】【解析】設(shè)兩直角邊為a，b，則，斜邊15.【答案】【解析】，則，，，∴，∴，∴.16.【答案】1【解析】過(guò)原點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)，，，過(guò)，∴，∴，，.切點(diǎn)，，，，，∴，.，∴兩切線垂直，∴，.四、解答題：本題共6題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.【解析】（1）∵①時(shí)，②①②（），而也滿足上式，∴.（2）∴.18.【解析】（1）證明：∴，.∴.（2）.∴.19.【解析】（1）證明：∵，而平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，∴.（2）∵，，H為中點(diǎn)，∴.而，∴，∵平面平面.平面平面，∴平面.過(guò)E分別作交于點(diǎn)I，交于點(diǎn)J，連接.∴.20.【解析】（1）2×2列聯(lián)表如下：數(shù)學(xué)是否優(yōu)秀性別數(shù)學(xué)優(yōu)秀者不優(yōu)秀合計(jì)男24630女101020合計(jì)341650∴有95%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)優(yōu)秀者”與性別有關(guān).（2）得分不低于130分的男生有12人，其中得分在內(nèi)的有3人.∴3人中至少有1人得分在內(nèi)的概率.21.【解析】（1）∵橢圓過(guò)點(diǎn)M，∴，∵，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）方法一：設(shè)直線l的方程為，，，，，∴直線方程為：，直線方程：.聯(lián)立，方程，∴.∴點(diǎn)Q在定直線上運(yùn)動(dòng).方法二：和差轉(zhuǎn)化∴，∴.方法三：點(diǎn)代平