2023-2024學(xué)年上海市楊浦區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市楊浦區(qū)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、填空題（1-6題每小題4分，7-12每小題5分，滿分54分）1．關(guān)于x的不等式的解集是.2．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是.3．二項式的展開式中，常數(shù)項為．4．雙曲線兩條漸近線的夾角大小是5．已知角的頂點是坐標(biāo)原點，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過點，則.6．在棱長為1的正方體中，平行平面與間的距離為.7．設(shè)，是兩個單位向量，向量，且，則.8．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩支籃球隊各6名隊員某場比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：分）．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則．

9．若，則稱與互為“鄰位復(fù)數(shù)”．已知復(fù)數(shù)與互為“鄰位復(fù)數(shù)”，則的最大值．10．若函數(shù)無極值點，則實數(shù)的取值范圍是．11．在中，，為鈍角，是邊上的兩個動點，且，若的最小值為，則．12．已知函數(shù)若對任意的，都存在唯一的，滿足，則實數(shù)的取值范圍是．二、選擇題（13-14每小題4分，15-16每小題5分，共18分）13．已知，下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．14．下列問題中是古典概型的是A．種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率B．?dāng)S一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點的概率C．在區(qū)間[1，4]上任取一數(shù)，求這個數(shù)大于1.5的概率D．同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點數(shù)之和是5的概率15．從圓上的一點向圓引兩條切線，連接兩切點間的線段稱為切點弦，則圓內(nèi)不與任何切點弦相交的區(qū)域面積為（

）A． B． C． D．16．?dāng)?shù)列中，，，使對任意的（k為正整數(shù)）恒成立的最大k值為（

）A．1209 B．1211 C．1213 D．1215三、解答題（滿分78分）17．如圖，直三棱柱內(nèi)接于高為的圓柱中，已知，，，為的中點.(1)求圓柱的表面積；(2)求二面角的大小.18．已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足，.(1)證明是等差數(shù)列；(2)是否存在常數(shù)、，使得對一切正整數(shù)都有成立.若存在，求出、的值；若不存在，說明理由.19．今年7月28日第5號臺風(fēng)“杜蘇芮”在福建登陸，最大風(fēng)力達(dá)到12級.路邊一棵參天大樹在樹干某點B處被臺風(fēng)折斷且形成角，樹尖C著地處與樹根A相距10米，樹根與樹尖著地處恰好在路的兩側(cè)，設(shè)（A，B，C三點所在平面與地面垂直，樹干粗度忽略不計）(1)若，求：折斷前樹的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）(2)問一輛橫截面近似為寬2米，高2.5米的救援車能否從此處通過？并說明理由.（參考：見圖，為救援車的寬，）20．已知橢圓經(jīng)過，兩點.為坐標(biāo)原點，且的面積為，過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點，.且直線，分別與軸交于點，.(1)求橢圓的方程；(2)若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，求直線的方程；(3)設(shè)，，求的取值范圍.21．已知函數(shù)，，.(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)令當(dāng)，若函數(shù)有兩個零點，，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，證明.1．或【分析】利用分式不等式的解法求解即可.【詳解】因為，所以，解得或，所以的解集為或.故或.2．【分析】利用正切函數(shù)最小正周期公式即可得解.【詳解】因為，所以的最小正周期為.故答案為.3．【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式，即可得到答案；【詳解】，當(dāng)時，，常數(shù)項為，故答案為.本題考查二項式定理通項公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4．60°##【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大小.【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，由直線的斜率為，可得傾斜角為，的斜率為，可得傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角的大小為，故答案為.5．【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義求得的值，進(jìn)而根據(jù)二倍角的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．【詳解】因為角的頂點是坐標(biāo)原點，始邊與軸的正半軸重合，它的終邊過點，所以，所以．故．6．##【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，再由即可得解.【詳解】依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，故設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，由題意知平面平行于平面，所以平面與平面間的距離.故答案為.7．【分析】利用向量數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】因為，，是兩個單位向量，所以，解得.故答案為.8．【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，分別利用數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)的公式，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】由平均數(shù)的公式得，甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，因為甲乙的平均數(shù)相等，可得，即，又由甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，因為甲乙的中位數(shù)相等，可得，解得，因為，所以，所以.故答案為.9．9【分析】由已知條件與復(fù)數(shù)模長的計算公式可知，所求表達(dá)式表示點到原點的距離的平方，利用兩點間距離公式和圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)與互為“鄰位復(fù)數(shù)”，所以，故，即，其表示的是點的軌跡是以為圓心，半徑的圓，而表示點到原點的距離，故的最大值為原點到圓心的距離加半徑，即，所以的最大值為，故9.

10．本題首先可根據(jù)函數(shù)解析式得出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)無極值點得出，最后通過計算即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為函數(shù)無極值點，所以，解得，實數(shù)的取值范圍是，故答案為.11．【分析】取的中點得，，再將用向量表示并結(jié)合的最小值為得，即到直線的距離為，再根據(jù)幾何關(guān)系即可求得【詳解】取的中點，取，，，因為的最小值，所以．作，垂足為，如圖，則，又，所以，因為，所以由正弦定理得：，，所以．故答案為.本題考查向量的數(shù)量積運算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中檔題.12．【分析】求得x≥2時的值域，方法一，只需使x＜2時對應(yīng)的函數(shù)圖像在該值域區(qū)間上只有一個交點即可，利用數(shù)形結(jié)合的辦法，對參數(shù)分類討論，寫出滿足的不等式組，求得a的取值范圍；方法二：對a分類討論，求得函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性滿足只有一個交點，且值域要比上面求的值域要大，來求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：【法1】當(dāng)時，．因為，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的取值范圍是．由題意及函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得

或，如上圖所示．解得或，所以所求實數(shù)的取值范圍是．【法2】當(dāng)時，，即，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的取值范圍是；當(dāng)時，（1）若，則（），它是增函數(shù)，此時的取值范圍是．由題意可得，解得，又，所以；（2）若，則．函數(shù)在上是增函數(shù)，此時的取值范圍是；而函數(shù)在上是減函數(shù)，此時的取值范圍是．由題意可得，解得，又，所以．綜上，所求實數(shù)的取值范圍是．故[-1,5).關(guān)鍵點點睛：數(shù)形結(jié)合將函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為交點問題，值域范圍問題，對參數(shù)分類討論，借助單調(diào)性求解問題.13．B【分析】對于選項ACD，通過取特殊值即可排除，對選項B，利用不等式的性質(zhì)可判斷出選項是正確的，從而得出結(jié)果.【詳解】對于選項A，因為，滿足，但不滿足，所以選項A錯誤；對于選項B，因為，由不等性質(zhì)，同向可加性知成立，所以選項B正確；對于選項C，因為，滿足，但不滿足，所以選項C錯誤；對于選項D，因為，滿足，但不滿足，所以選項D錯誤，故選：B.14．D【詳解】A、B兩項中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項中基本事件的個數(shù)是無限多個；D項中基本事件的發(fā)生是等可能的，且是有限個．故選D．【考點】古典概型的判斷．15．B【分析】由題畫出大致圖象，由切點弦找出臨界點D，結(jié)合圓的面積公式即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)為上一點，為圓與的兩條切線，為切點弦，因切點弦有無數(shù)條，當(dāng)無數(shù)條切點弦交匯時，圓內(nèi)不與任何切點弦相交的區(qū)域恰好構(gòu)成虛線部分圓的面積，，則，由等面積法得，解得，又對由勾股定理可得，則以為半徑的圓的面積為，故圓內(nèi)不與任何切點弦相交的區(qū)域面積為.故選：B16．B【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，列出各項，找數(shù)列的規(guī)律，判斷到哪一項是等于，即可得答案.【詳解】由已知可得，數(shù)列：，可得規(guī)律為；；；此時將原數(shù)列分為三個等差數(shù)列：，；，；;因為，所以滿足對任意的恒成立的最大值為．故選：B.17．(1)(2)【分析】（1）由勾股定理可求得底面圓的半徑，分別求得圓柱的側(cè)面積和底面積，進(jìn)而可求得表面積；（2）方法一：連接，可證得，則可得所求二面角的平面角為，根據(jù)長度關(guān)系可得結(jié)果；方法二：以為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1），，，底面圓的半徑，圓柱的側(cè)面積為，又圓柱的底面積為，圓柱的表面積.（2）方法一：連接，平面，平面，；，即，，平面，平面，又平面，；即為二面角的平面角，，，，，即二面角的大小為.方法二：以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，是平面的一個法向量，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的大小為，即.18．(1)證明見解析(2)存在，，【分析】（1）根據(jù)求出的通項公式，再根據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可；（2）根據(jù)題意可求得，，代入中得，只需滿足以即可，從而求解的值即可.【詳解】（1）因為數(shù)列的前項和為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，滿足，所以數(shù)列的通項公式為，，所以，，所以是等差數(shù)列；（2）因為，，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；所以，要使對一切正整數(shù)都有成立．即，即，所以，解得.故存在常數(shù)，當(dāng)時，對一切正整數(shù)都有成立.19．(1)11.2米.(2)救援車不能從此處通過，理由見解析【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；（2）設(shè)，利用三角函數(shù)的恒等變換得到關(guān)于的關(guān)系式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）解：在中，，，所以，由正弦定理，得.又，所以米.所以折斷前樹的高度11.2米；（2）設(shè)的內(nèi)接矩形的邊在上且，設(shè)，因為，，所以，所以，所以，則，因為，所以所以，所以因為，所以救援車不能從此處通過.20．(1)(2)(3)【分析】（1）把點坐標(biāo)代入橢圓的方程得，由的面積可得，解得，進(jìn)而得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立直線與橢圓的方程的關(guān)于的一元二次方程，由，進(jìn)而解得的取值范圍，再列出韋達(dá)定理，由，則，即可求出，從而得解；（3）因為，，，，寫出直線的方程，令，解得．點的坐標(biāo)為．同理可：點的坐標(biāo)為．用坐標(biāo)表示，，，代入，得，同理．由，，代入，化簡再求取值范圍．【詳解】（1）因為橢圓經(jīng)過點，所以解得（負(fù)值舍去）．由的面積為可知，解得，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立，消整理可得．因為直線與橢圓有兩個不同的交點，所以，解得，因為，所以的取值范圍是，所以，，則，因為以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，所以，則，即，解得（負(fù)值舍去），所以直線的方程為.（3）因為，，，，所以直線的方程是：，令，解得，所以點的坐標(biāo)為．同理可得點的坐標(biāo)為．所以，，．由，，可得，，所以，同理，由（2）得，所以，因為，所以，所以，則，所以，所以的范圍是．方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．(1)(2)(3)證明見詳解【分析】（1）先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，由點斜式方程可得；（2）利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性及極值，最值，找到不等式，解不等式，求出實數(shù)a的取值范圍；（3）構(gòu)造差函數(shù)，證明極值點偏移問題.【詳解】（1）定義域為，，所以切線斜率為，又，所以切線方程為，即.（2），定義域為，，①當(dāng)時，有恒成立，在上單調(diào)遞增，函數(shù)不可能有兩個零點；②當(dāng)時，由，解得，由，解得，故函數(shù)在上遞增，在上遞減．因為，故，設(shè)，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函