計(jì)算非線性橢圓型方程邊值問(wèn)題多解的分歧方法的開(kāi)題報(bào)告

計(jì)算非線性橢圓型方程邊值問(wèn)題多解的分歧方法的開(kāi)題報(bào)告一、選題背景及意義非線性橢圓型方程廣泛地應(yīng)用于工程、物理學(xué)及數(shù)學(xué)等領(lǐng)域，其中具有二價(jià)性質(zhì)的方程在一定的條件下存在多個(gè)解。研究非線性橢圓型方程邊值問(wèn)題多解的分歧方法，除了具有重要的理論意義外，還有著實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值，如在出現(xiàn)多解現(xiàn)象時(shí)，可通過(guò)分歧方法找到其中穩(wěn)定的解，為實(shí)際問(wèn)題的研究提供了有力的工具。因此，本課題具有深遠(yuǎn)的理論和實(shí)際意義。二、研究現(xiàn)狀及進(jìn)展針對(duì)非線性橢圓型方程多解分歧問(wèn)題的研究已經(jīng)有了一定的成果，其中最為經(jīng)典的是Ren和Wei在1988年提出的分支追蹤法，相繼出現(xiàn)的有Ruelle-Takens分歧理論及其相應(yīng)的算法、中心流形理論、Hopf分支理論等，這些方法在實(shí)際問(wèn)題中已得到廣泛的應(yīng)用，取得了不少的成果。然而，由于方程的非線性本性和邊界的不規(guī)則性，使得定理的條件與假設(shè)往往非?？量蹋虼嗽谘芯繉?shí)際問(wèn)題時(shí)還需要針對(duì)具體情況加以改進(jìn)和拓展。近年來(lái)，研究者們陸續(xù)提出了基于變分框架、拓?fù)涠攘康确椒ㄟM(jìn)行多解分歧分析的新思路和新方法，并取得了一定的進(jìn)展。三、研究?jī)?nèi)容本論文將結(jié)合分歧理論、變分計(jì)算和數(shù)值計(jì)算，并基于內(nèi)蘊(yùn)變分的思想和拓?fù)涠攘康姆椒ǎ芯糠蔷€性橢圓型方程邊值問(wèn)題多解的分歧結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)研究其極限行為和奇異集的性質(zhì)，進(jìn)而確定其穩(wěn)定解。具體研究?jī)?nèi)容如下：1.推導(dǎo)非線性橢圓型方程的內(nèi)蘊(yùn)變分結(jié)構(gòu)，并通過(guò)高階Sobolev空間中的Schauder估計(jì)證明其變分問(wèn)題的弱解的存在性和唯一性。2.建立非線性橢圓型方程多解的分歧結(jié)構(gòu)，研究其極限行為和奇異集的性質(zhì)。3.基于拓?fù)涠攘康姆椒?，發(fā)展新的數(shù)值算法和計(jì)算技術(shù)，將其應(yīng)用于具體問(wèn)題的研究中。4.計(jì)算和比較已有理論和本文提出的方法對(duì)非線性橢圓型方程邊值問(wèn)題多解的分歧結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。四、研究方案1.熟悉分歧理論、變分計(jì)算等多解分析技術(shù)，深入研究非線性橢圓型方程邊值問(wèn)題。2.推導(dǎo)非線性橢圓型方程的內(nèi)蘊(yùn)變分結(jié)構(gòu)，討論其弱解的存在性和唯一性，進(jìn)而建立其多解分歧結(jié)構(gòu)。3.研究分支曲線的性質(zhì)，分析分支的穩(wěn)定性和分支點(diǎn)的分布。4.開(kāi)發(fā)基于拓?fù)涠攘康男滦蛿?shù)值算法和計(jì)算技術(shù)，將其應(yīng)用于具體問(wèn)題的研究中。5.對(duì)已有理論和本文提出的方法對(duì)非線性橢圓型方程邊值問(wèn)題多解的分歧結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，比較其效果。6.撰寫(xiě)畢業(yè)論文并準(zhǔn)備答辯。五、預(yù)期成果本論文預(yù)計(jì)能夠深入研究非線性橢圓型方程邊值問(wèn)題多解的分歧結(jié)構(gòu)，推廣和發(fā)展基于內(nèi)蘊(yùn)變分的思想、拓?fù)涠攘康榷嘟夥治黾夹g(shù)，為實(shí)際問(wèn)題的研究提供有力的工具，具體成果如下：1.推導(dǎo)非線性橢圓型方程的內(nèi)蘊(yùn)變分結(jié)構(gòu)及其弱解的存在性和唯一性。2.建立非線性橢圓型方程多解的分歧結(jié)構(gòu)，研究其極限行為和奇異集的性質(zhì)，確定其穩(wěn)定解。3.發(fā)展基于內(nèi)蘊(yùn)變分、拓?fù)涠攘康确椒ㄟM(jìn)行多解分析的新思路和新方法。4.開(kāi)發(fā)新型數(shù)值算法和計(jì)算技術(shù)，應(yīng)用于具體的問(wèn)題研