聚焦中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點第44課解直角三角形的應(yīng)用

第44課解直角三角形的應(yīng)用基礎(chǔ)知識題型分類要點梳理題型一利用解直角三角形測量物體

的高度(寬度)基礎(chǔ)自測題型二利用解直角三角形解決航海

問題題型三利用解直角三角形解決坡度

問題易錯警示34.應(yīng)用三角函數(shù)解決實際問題知識點索引要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引直角三角形的邊角關(guān)系在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，它經(jīng)常涉及測量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根據(jù)題意明白其中的含義才能正確解題．1.鉛垂線：重力線方向的直線．2.水平線：與鉛垂線垂直的直線，一般情況下，地平面上的兩點確定的直線我們認(rèn)為是水平線．6.坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度(或坡比)，一般情況下，我們用h表示坡的鉛直高度，用l表示坡的水平寬度，用i表示坡度，即，顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡．要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引3.仰角：向上看時，視線與水平線的夾角．4.俯角：向下看時，視線與水平線的夾角．5.坡角：坡面與水平面的夾角．要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引7.方向角：指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于

90°的銳角叫做方向角．要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引8.應(yīng)用解直角三角形來解決實際問題時，要注意：

(1)解直角三角形時，當(dāng)已知條件中有斜邊時，就用正弦或余弦；無斜邊時，則用正切；

(2)計算結(jié)果的精確度，一般來說中間量要比最后結(jié)果多精確一位；

(3)在題目中求未知量時，應(yīng)盡量直接由已知條件求未知量；

(4)遇到非直角三角形時，通常作輔助線，引三角形一邊上的高，建構(gòu)直角三角形，應(yīng)用解直角三角形的知識來解答．基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引B基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引B基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引B基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引A基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引5.(中考真題-蘇州)如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA＝

4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離(即AB的長)為

(

)基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引5.(中考真題-蘇州)如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA＝

4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離(即AB的長)為

(

)C題型一利用解直角三角形測量物體的高度(寬度)題型分類·深度剖析知識點索引【例1】

(中考真題-南京)如圖，梯子斜靠在與地面垂直(垂足為O)的墻上，當(dāng)梯子位于AB位置時，它與地面所成的角∠ABO＝60°；當(dāng)梯子底端向右滑動1m(即BD＝1m)到達(dá)

CD位置時，它與地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的長．(參考數(shù)據(jù)：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，

tan51°18′≈1.248)題型一利用解直角三角形測量物體的高度(寬度)題型分類·深度剖析知識點索引題型一利用解直角三角形測量物體的高度(寬度)題型分類·深度剖析知識點索引探究提高解直角三角形時，若所求的元素不能在一個直角三角形中解決，則可在兩個或多個直角事件中，通過尋找等量關(guān)系，列方程或方程組解決問題．此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計算．題型分類·深度剖析助學(xué)微博知識點索引

利用解直角三角形解決實際問題的方法技巧

將實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成直角三角形．尋求基礎(chǔ)直角三角形，并解這個三角形或設(shè)未知數(shù)進(jìn)行求解．從要求的量所在的直角三角形分析，解之，若條件不足，轉(zhuǎn)而先去解所缺條件所在的直角三角形，然后返回；若條件仍不足，再去解第二次所缺條件所在的直角三角形，直至與全部已知條件掛上鉤，然后層層返回．題型一利用解直角三角形測量物體的高度(寬度)題型分類·深度剖析知識點索引變式訓(xùn)練1

(中考真題-寧波)如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C

地，圖中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．

(1)求改直的公路AB的長；

(2)問公路改直后比原來縮短了多少千米？

(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，

tan37°≈0.75)題型一利用解直角三角形測量物體的高度(寬度)題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈10×0.42＝4.2(千米)，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈10×0.91＝9.1(千米)，在Rt△BCH中，BH＝CH÷tan∠CBA＝4.2÷tan37°≈4.2÷0.75＝5.6(千米)，∴AB＝AH＋BH＝9.1＋5.6＝14.7(千米)．即改直的公路AB的長14.7(千米)．題型一利用解直角三角形測量物體的高度(寬度)題型分類·深度剖析知識點索引(2)在Rt△BCH中，BC＝CH÷sin∠CBA＝4.2÷sin37°≈4.2÷0.6＝7(千米)，則AC＋BC－AB＝10＋7－14.7＝2.3(千米)．答：公路改直后比原來縮短了2.3(千米)．題型二利用解直角三角形解決航海問題題型分類·深度剖析知識點索引【例

2】

(中考真題-南充)馬航MH370失聯(lián)后，我國政府積極參與搜救．某日，我國兩艘專業(yè)救助船A、B同時收到有關(guān)可疑漂浮物的訊息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏東53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正東方向140海里處．(參考數(shù)據(jù)：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，

tan36.5°≈0.75)．題型二利用解直角三角形解決航海問題題型分類·深度剖析知識點索引(1)求可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離；

(2)若救助船A、救助船B分別以40海里/時，30海里/時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達(dá)P處．題型二利用解直角三角形解決航海問題題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)過點P作PE⊥AB于點E，由題意得，∠PAE＝90°－53.5°＝36.5°，∠PBA＝45，設(shè)PE為x海里，則BE＝PE＝x(海里)，∵AB＝140，∴AE＝140－x，解得：x＝60(海里)，即可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離為60海里．題型二利用解直角三角形解決航海問題題型分類·深度剖析知識點索引(2)在Rt△PBE中，PE＝60，∠PBE＝45°，∴AP＝PE÷sin∠PAE≈60÷0.6＝100(海里)，∴A船需要的時間為：100÷40＝2.5(小時)，∵2.83＞2.5，∴A船先到達(dá)．題型二利用解直角三角形解決航海問題題型分類·深度剖析知識點索引探究提高求與三角形有關(guān)的實際問題，一般是轉(zhuǎn)化為直角三角形或相似三角形、全等三角形來解．航海問題應(yīng)從各個方位角中計算出角的大小，再直接利用直角三角形求實際問題．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解仰角的定義，并利用三角函數(shù)值計算有關(guān)線段．題型二利用解直角三角形解決航海問題題型分類·深度剖析知識點索引題型二利用解直角三角形解決航海問題題型分類·深度剖析知識點索引題型二利用解直角三角形解決航海問題題型分類·深度剖析知識點索引解(1)如圖，作CE⊥AB，由題意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，設(shè)AE＝x海里，在Rt△AEC中，解得：x＝100，∴AC＝2x＝200.在△ACD中，∵∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，∴∠ACD＝45°.題型二利用解直角三角形解決航海問題題型分類·深度剖析知識點索引題型二利用解直角三角形解決航海問題題型分類·深度剖析知識點索引∵127＞100，∴巡邏船A沿直線AC航線，在去營救的途中沒有觸暗礁危險．題型三利用解直角三角形解決坡度問題題型分類·深度剖析知識點索引【例3】

(中考真題-萊蕪)如圖，一堤壩的坡角∠ABC＝62°，坡面長度AB＝25米(圖為橫截面)，為了使堤壩更加牢固，一施工隊欲改變堤壩的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，則此時應(yīng)將壩底向外拓寬多少米？(結(jié)果保留到0.01米)(參考數(shù)據(jù)：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20)題型三利用解直角三角形解決坡度問題題型分類·深度剖析知識點索引解過A點作AE⊥CD于E.在Rt△ABE中，∵∠ABE＝62°，∴AE＝AB·sin62°≈25×0.88＝22，BE＝AB·cos62°≈25×0.47＝11.75，在Rt△ADE中，∵∠ADB＝50°，故此時應(yīng)將壩底向外拓寬大約6.58米．題型三利用解直角三角形解決坡度問題題型分類·深度剖析知識點索引探究提高解決有關(guān)坡度、坡角問題，把關(guān)于梯形的計算通過作高線轉(zhuǎn)化成關(guān)于直角三角形的計算是解決問題的基本思路．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——坡度坡角問題，兩個直角三角形有公共的直角邊，先求出公共邊是解決此類題目的基本出發(fā)點．題型三利用解直角三角形解決坡度問題題型分類·深度剖析知識點索引變式訓(xùn)練3

(中考真題-山西)如圖，點A、B、C表示某旅游景區(qū)三個纜車站的位置，線段AB、BC表示連接纜車站的鋼纜，已知A、B、C三點在同一鉛直平面內(nèi)，它們的海拔高度AA′、

BB′、CC′分別為110米、310米、710米，鋼纜AB的坡度

i1＝1∶2，鋼纜BC的坡度i2＝1∶1，景區(qū)因改造纜車線路，需要從A到C直線架設(shè)一條鋼纜，那么鋼纜AC的長度是多少米？(注：坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．)題型三利用解直角三角形解決坡度問題題型分類·深度剖析知識點索引解過點A作AE⊥CC′于點E，交BB′于點F，過點B作BD⊥CC′于點D，則△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四邊形AA′B′F，BB′C′D和BFED都是矩形，∴BF＝BB′－B′F＝BB′－AA′＝310－110＝200，CD＝CC′－C′D＝CC′－BB′＝710－310＝400，∵i1＝1∶2，i2＝1∶1，∴AF＝2BF＝400，BD＝CD＝400，題型三利用解直角三角形解決坡度問題題型分類·深度剖析知識點索引又∵EF＝BD＝400，DE＝BF＝200，∴AE＝AF＋EF＝800，CE＝CD＋DE＝600，答：鋼纜AC的長度是1000米．題型分類·深度剖析易錯警示系列易錯警示系列34應(yīng)用三角函數(shù)解決實際問題

知識點索引試題如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高

2米的影子CE；而當(dāng)光線與地面夾角是45°時，教學(xué)樓頂

A在地面上的影子F與墻角C有13米的距離(B、F、C在一條直線上)．題型分類·深度剖析易錯警示系列易錯警示系列34應(yīng)用三角函數(shù)解決實際問題

知識點索引(1