大題考法精研(二)-證明問(wèn)題

大題考法精研(二)——證明問(wèn)題圓錐曲線中的證明問(wèn)題在高考時(shí)有出現(xiàn)，主要有兩大類：一是證明點(diǎn)線位置關(guān)系，如直線或曲線過(guò)某個(gè)點(diǎn)、直線平行與垂直、直線對(duì)稱等問(wèn)題，二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系，如相等與不相等．[標(biāo)桿題]A，C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是E的左、右頂點(diǎn)，|AC|＝4.(1)求E的方程；(2)設(shè)P為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線PD與直線BC交于點(diǎn)M，直線PA與直線y＝－2交于點(diǎn)N.求證：MN∥CD.

[內(nèi)化基本解題思維]圓錐曲線中證明問(wèn)題的求解策略處理圓錐曲線中的證明問(wèn)題常采用直接法證明，證明時(shí)常借助于等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，化幾何關(guān)系為數(shù)量關(guān)系(如證明直線垂直可轉(zhuǎn)化為證明兩直線的斜率之積為－1或方向向量的數(shù)量積為0，證明三點(diǎn)共線可轉(zhuǎn)化為斜率相等或?qū)?yīng)的向量共線)，然后借助函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決.逐級(jí)演進(jìn)·練清悟通(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為P，Q，直線PA與直線x＝4交于點(diǎn)F，試證明B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線．②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，顯然斜率k≠0，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)可得左、右頂點(diǎn)分別為P(－2,0)，Q(2,0)，思維變通升華當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程y＝k(x－1)，聯(lián)立方程得到(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1，x2間的關(guān)系，再求出F點(diǎn)，最后利用向量共線得到點(diǎn)共線即可．所以kNC>0，kMC<0.設(shè)直線NC：y＝k1x－1(k1>0)，直線MC：y＝k2x＋1(k2<0)．

因?yàn)橹本€NC與直線MC相交于點(diǎn)C，因?yàn)橹本€MC：y＝k2x＋1交AP于點(diǎn)D，令x＝2得y＝2k2＋1，故D(2,2k2＋1)．又A(2,1)，所以|AD|＝1－(2k2＋1)＝－2k2，|DP|＝2k2＋1.思維變通升華證明與線段長(zhǎng)度有關(guān)的等式問(wèn)題，一般是利用距離公式或弦長(zhǎng)公式寫(xiě)出長(zhǎng)度表達(dá)式，再借助根與系數(shù)之間的關(guān)系或斜率、截距等證明等式兩邊相等．(2)證明：當(dāng)直線l1與x軸重合時(shí)，直線l1與拋物線E只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以直線l1不與x軸重合．同理可知直線l2也不與x軸重合．同理可知，直線BC的方程為2x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0.因?yàn)辄c(diǎn)(－1,0)在拋物線的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，交點(diǎn)G必在垂直于x軸的直線上，所以只需證明點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為定值即可．所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1.因此，直線AD與BC的交點(diǎn)G必在定直線x＝1上．思維變通升華涉及拋物線的定義問(wèn)題：拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問(wèn)題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用拋物線定義就能解決問(wèn)題．因此，涉