正方形的判定與性質(zhì)應(yīng)用（第5課時(shí)）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步（滬教版）

2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步精品課堂（滬教版）第22章四邊形22.3正方形的判定與性質(zhì)應(yīng)用（第5課時(shí)）例題7、已知：如圖，三角形ABC中，<ACB=90度，CD平分角ACB,DE垂直AC，DF垂直BC，垂足分別為E、F.

求證：四邊形CEDF是正方形。CBADEF分析要證明四邊形CEDF是正方形，可以先證四邊形CEDF是矩形,再證它有一組鄰邊相等.例題7、已知：如圖，三角形ABC中，<ACB=90度，CD平分角ACB,DE垂直AC，DF垂直BC，垂足分別為E、F.

求證：四邊形CEDF是正方形。CBADEF證明∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠CFD=∠ECF=90°可知四邊形CEDF是矩形(有三個(gè)內(nèi)角是直角的四邊形是矩形)∵CD平分∠ACB，∴DE=DF(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等).∴矩形CEDF是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形).例題7、已知：如圖，三角形ABC中，<ACB=90度，CD平分角ACB,DE垂直AC，DF垂直BC，垂足分別為E、F.

求證：四邊形CEDF是正方形。CBADEF本題也可按照另一思路證明如下∵DE⊥AC,BC⊥AC，∴DE//FC同理,可得CE//FD，∴

四邊形CEDF是平行四邊形(平行四邊形的定義).∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等).∴四邊形CEDF是菱形(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形).∵∠ACB=90°，∴菱形CEDF是正方形(有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形)例題8、已知：如圖，矩形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線組成四邊形EFGH。求證：四邊形EFGH是正方形。GEABDCFH證明∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=90°(矩形的四個(gè)角都是直角)又∵AF、BH、CH、DF是四個(gè)內(nèi)角的平分線，得∠AEB=∠HEF-90°同理,可得∠H=∠F=90°∴四邊形EFGH是矩形(有三個(gè)內(nèi)角是直角的四邊形是矩形)∵∠2=∠4,AD=BC，∴Rt△ADF≌Rt△BCH，得AF=BH又由∠1=∠3,得AE=BE.∴AF-AE=BH-BE,即EH-EF.∴矩形EFGH是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形)補(bǔ)充例題

例1求證:正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO

≌△CDO≌△DAO.例2如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°

.證明：∵

ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.例3.四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大?。猓寒?dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時(shí)，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.易錯(cuò)提醒：因?yàn)榈冗叀鰽DE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部．例4.

如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P滿足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD．（1）求證：△APB≌△DPC；解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等邊三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．∴∠BAP=2∠PAC．（2）求證：∠BAP=2∠PAC．

例5.如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于E，

PF⊥DC于F.試說明：AP=EF.ABCDPEF解:連接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°,AC垂直平分BD,∴四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.

在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對(duì)角線構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，等腰三角形等來說明.歸納課本練習(xí)1、如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與△CBP`重合，若PB=3，求PP`P`ABCDP2、有下列圖形①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形中心對(duì)稱圖形有________________；軸對(duì)稱圖形有__________________；對(duì)角線互相垂直平分的有________；對(duì)角線互相平分且相等的有______；對(duì)角線互相垂直平分且相等的有____.①

②

③

④②

③

④③

④②④④3、如圖，在正方形ABCD中，E為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，

F是