202022學(xué)度高三文科期中考試答案

2022-2022學(xué)年高三文科期中考試試題答案一、單選題1．設(shè)，則“a=1”是“直線ax+y-1=0與直線x+ay+1=0平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,【答案】C【解析】若直線ax+y-1=0與直線x+ay+1=0平行，則,且解得故選點(diǎn)睛：這是一道關(guān)于充分條件和必要條件判斷的題目?？疾榈闹饕浅浞謼l件，必要條件，熟練掌握掌握充分條件和必要條件的判定方法。本題中，利用直線平行的條件是解決問題的關(guān)鍵。2．若拋物線的準(zhǔn)線為圓的一條切線，則拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出拋物線的準(zhǔn)線方程為，再根據(jù)直線和圓相切求出p的值得解.【詳解】∵拋物線的準(zhǔn)線方程為，垂直于x軸．而圓垂直于x軸的一條切線為，則，即．故拋物線的方程為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3．圓與圓的公共弦所在直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】將兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程．【詳解】將兩圓方程相減可得即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)與，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系．兩圓方程分別為，，則兩方程相減得，為：兩圓相交時(shí)是相交弦所在直線方程，兩圓相切時(shí)，是過切點(diǎn)的公共切線的方程．4．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，再求出過且與已知圓相切的直線的斜率即為反射光線所在直線的斜率.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的圓心為，半徑為.設(shè)過且與已知圓相切的直線的斜率為，則切線方程為即，所以圓心到切線的距離為，解得或，故選C.【點(diǎn)睛】解析幾何中光線的入射與反射，常轉(zhuǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)來考慮，此類問題屬于基礎(chǔ)題.5．已知圓截直線所得線段的長度是，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【解析】化簡圓到直線的距離，又兩圓相交.選B6．已知兩點(diǎn)，直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出直線所過定點(diǎn)，畫出圖形，再求出，的斜率，數(shù)形結(jié)合得答案．【詳解】解：直線過定點(diǎn)，，，直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線斜率的求法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．7．已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)為，若直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的傾斜角為，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用點(diǎn)差法求解可得直線和斜率間的關(guān)系，進(jìn)而得到，再根據(jù)橢圓離心率的定義可得所求．【詳解】設(shè)，∵點(diǎn)在橢圓上，∴，兩式相減整理得，∴，即，∴，∴，∴橢圓的離心率為．故選D．【點(diǎn)睛】求橢圓離心率或其范圍的方法：①根據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．②由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解．8．已知圓的半徑為1，為該圓的兩條切線，為兩切點(diǎn)，那么的最小值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：如圖所示：設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故最小值為考點(diǎn)：向量的數(shù)量積的應(yīng)用9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F傾斜角為的直線l'與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B（其中點(diǎn)A在第一象限），過點(diǎn)A作，垂足為M且，則拋物線的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，連接，先證得為等邊三角形，然后在中，求出即得到的值，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，連接，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，又，所以為等邊三角形，即，則，在中，，所以，即，所以拋物線的方程為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．10．若直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】表示的曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑是1的圓在軸以及軸上方的部分，把斜率是1的直線平行移動，即可求得結(jié)論．【詳解】∵有表示的曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑是1的圓在軸以及軸上方的部分．作出曲線有的圖象，在同一坐標(biāo)系中，再作出直線，平移過程中，直線先與圓相切，再與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線相切時(shí)，可得，∴，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，直線，而該直線也經(jīng)過，即直線與半圓有2個(gè)交點(diǎn)．．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直線與曲線的交點(diǎn)問題，在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象，借助于數(shù)形結(jié)合是求解的關(guān)鍵．11．已知F1,F2分別是雙曲線C：x2a2A.3 B.3 C.2 D.2【答案】C【解析】【分析】求出F2到漸近線的距離，利用F2關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)恰落在以F1為圓心，O【詳解】由題意，F(xiàn)1?c,0,則F2到漸近線的距離為bc設(shè)F2關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)為M,F2∴MF2又O是F1F2∴ΔMF∴由勾股定理得4c∴3c∴c=2a,∴e=2，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線與離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出a,c，從而求出e;②構(gòu)造a,c的齊次式，求出e;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．12．設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)（）A.必在圓內(nèi) B.必在圓上C.必在圓外 D.以上三種情形都有可能【答案】A【解析】【分析】判斷點(diǎn)和圓的關(guān)系，則判斷與2的關(guān)系即可。其中的關(guān)系來自的兩根，故兩根關(guān)系用韋達(dá)定理得出?！驹斀狻恳?yàn)榈膬蓚€(gè)實(shí)根分別為和，故，，故又橢圓離心率，故，即，故點(diǎn)必在圓內(nèi)。選A.【點(diǎn)睛】本題使用韋達(dá)定理以及離心率的化簡，遇到時(shí)，因?yàn)橐阎x心率的范圍，故轉(zhuǎn)換成都是的關(guān)系，湊出離心率從而帶入求范圍。二、填空題13．已知是直線的傾斜角，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】先求出，再將所求式子分子、分母同時(shí)除以，然后將代入即可。【詳解】由是直線的傾斜角，可得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率公式及齊次式弦化切問題，屬基礎(chǔ)題。14．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為，若的外接圓半徑為，則的面積是_______．【答案】或【解析】【分析】由的外接圓半徑為，又已知，故可用正弦定理算出或，再分兩種情況用焦點(diǎn)三角形面積公式即可。【詳解】由題得，，由正弦定理得，又，代入得，故或，又當(dāng)在上頂點(diǎn)時(shí)，，故或均能夠滿足。故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故填或?！军c(diǎn)睛】由外接圓半徑聯(lián)想到用正弦定理，又要求焦點(diǎn)三角形面積，故用。15．是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為_______________．【答案】6【解析】【分析】注意兩個(gè)圓的圓心分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，利用雙曲線定義做，連接與左焦點(diǎn)延長與下半圓交于點(diǎn)，交上半圓于點(diǎn)，顯然是最大值.【詳解】圓的圓心是，半徑是，圓的圓心是，半徑是，連接與左焦點(diǎn)延長與下半圓交于點(diǎn)，交上半圓于點(diǎn)，顯然是最大值，故答案是：6.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)元上的點(diǎn)的距離的差的最大值問題，在求解的過程中，涉及到的知識點(diǎn)有點(diǎn)與圓上的動點(diǎn)的距離的最大值與最小值等于其到圓心的距離與半徑的和與差，雙曲線的定義，屬于簡單題目.16．過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則的長________．【答案】【解析】【分析】畫出圖像，根據(jù)拋物線的定義求得，利用相似三角形，對應(yīng)邊成比例，列方程求得的長.【詳解】設(shè),如圖：；，由相似于三角形FHB得：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查相似三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題17．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，的前n項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為q（），前n項(xiàng)和為.若存在正整數(shù)m，使得，求q的值.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先由求出，再由時(shí)，，求出通項(xiàng)，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由（1）得到，根據(jù)，得到，結(jié)合題意求出或，分情況討論，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，即，所以.因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以數(shù)列是公差為4的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）知，.由，得，所以.因?yàn)?，所以，即，由于，所以?當(dāng)時(shí)，，解得（舍負(fù)），當(dāng)時(shí)，，解得（舍負(fù)），所以q的值為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.18．如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，，相交于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求證：平面【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可直接證明結(jié)論成立.【詳解】（1）連結(jié).因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，，相交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.由（1）知，，所以.因?yàn)?，，平面，，所以平?【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行，線面垂直的判定，熟記判定定理即可，屬于?？碱}型.19．某地合作農(nóng)場的果園進(jìn)入盛果期，果農(nóng)利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道銷售蘋果，蘋果單果直徑不同則單價(jià)不同，為了更好的銷售，現(xiàn)從該合作農(nóng)場果園的蘋果樹上隨機(jī)摘下了50個(gè)蘋果測量其直徑，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，其單果直徑分布在區(qū)間內(nèi)（單位：)，統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖所示：（Ⅰ)按分層抽樣的方法從單果直徑落在，的蘋果中隨機(jī)抽取6個(gè)，則從，的蘋果中各抽取幾個(gè)？（Ⅱ)從（Ⅰ)中選出的6個(gè)蘋果中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這兩個(gè)蘋果單果直徑均在內(nèi)的概率；（Ⅲ)以此莖葉圖中單果直徑出現(xiàn)的頻率代表概率，若該合作農(nóng)場的果園有20萬個(gè)蘋果約5萬千克待出售，某電商提出兩種收購方案：方案：所有蘋果均以5.5元/千克收購；方案：按蘋果單果直徑大小分3類裝箱收購，每箱裝25個(gè)蘋果，定價(jià)收購方式為：單果直徑在內(nèi)按35元/箱收購，在內(nèi)按45元/箱收購，在內(nèi)按55元/箱收購.包裝箱與分揀裝箱費(fèi)用為5元/箱（該費(fèi)用由合作農(nóng)場承擔(dān)).請你通過計(jì)算為該合作農(nóng)場推薦收益最好的方案.【答案】（Ⅰ)4個(gè)；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是【解析】【分析】（Ⅰ）單果直徑落在，，，的蘋果個(gè)數(shù)分別為6，12，分層抽樣的方法從單果直徑落在，，，的蘋果中隨機(jī)抽取6個(gè)，單果直徑落在，，，的蘋果分別抽取2個(gè)和4個(gè)；（Ⅱ）從這6個(gè)蘋果中隨機(jī)抽取2個(gè)，基本事件總數(shù)，這兩個(gè)蘋果單果直徑均在，內(nèi)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這兩個(gè)蘋果單果直徑均在，內(nèi)的概率；（Ⅲ）分別求出按方案與方案該合作農(nóng)場收益，比較大小得結(jié)論．【詳解】（Ⅰ)由莖葉圖可知，單果直徑落在，的蘋果分別為6個(gè)，12個(gè)，依題意知抽樣比為，所以單果直徑落在的蘋果抽取個(gè)數(shù)為個(gè)，單果直徑落在的蘋果抽取個(gè)數(shù)為個(gè)（Ⅱ）記單果直徑落在的蘋果為，，記單果直徑落在的蘋果為，若從這6個(gè)蘋果中隨機(jī)抽取2個(gè)，則所有可能結(jié)果為：，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件的總數(shù)為15個(gè).這兩個(gè)蘋果單果直徑均落在內(nèi)包含的基本事件個(gè)數(shù)為6個(gè)，所以這兩個(gè)蘋果單果直徑均落在內(nèi)的概率為.（Ⅲ）按方案：該合作農(nóng)場收益為：（萬元）；按方案：依題意可知合作農(nóng)場的果園共有萬箱，即8000箱蘋果，則該合作農(nóng)場收益為：元，即為31.36萬元因?yàn)?，所以為該合作農(nóng)場推薦收益最好的方案是.【點(diǎn)睛】本題考查概率、最佳方案的確定，考查莖葉圖等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)為A，B，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)A且斜率為k（）的直線交橢圓C于另一點(diǎn)P.（1）求橢圓C的離心率；（2）若，求的值；（3）設(shè)直線l:，延長AP交直線l于點(diǎn)Q，線段BO的中點(diǎn)為E，求證：點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)在直線PF上?！敬鸢浮浚?）（2）（3）詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的方程，結(jié)合橢圓離心率的求法，即可求出結(jié)果；（2）先由題意，得到直線AP的方程為代入橢圓方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出與，進(jìn)而可得出結(jié)果；（3）由直線AP的方程與直線l的方程聯(lián)立，求出，表示出直線EF的斜率，再由結(jié)合韋達(dá)定理，以及題中條件，表示出直線PF的斜率，再由題意，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C：，所以，，.又，所以，，所以橢圓C的離心率.（2）因?yàn)橹本€AP的斜率為，且過橢圓C的左頂點(diǎn)，所以直線AP的方程為.代入橢圓C的方程，得，即，解得或（舍去），將代入，得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.又橢圓C的右頂點(diǎn)B（2t,0），所以，，所以.（3）直線AP的方程為，將代入，得，所以.因?yàn)镋為線段BQ的中點(diǎn)，所以，因?yàn)榻裹c(diǎn)F的坐標(biāo)為（t,0），所以直線EF的斜率.聯(lián)立消y得，.由于，，所以，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以直線PF的斜率.而直線EF的斜率為2k，若設(shè)，則有，即，所以點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)在直線PF上.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率，以及橢圓的應(yīng)用，熟記橢圓的方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)即可，通常處理此類題型時(shí)，需聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理等求解，屬于?？碱}型.21．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若，且在上恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若，且在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定單調(diào)區(qū)間；（2）分別在和兩種情況下，判斷恒成立的條件；當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合可構(gòu)造不等式求得的范圍；當(dāng)時(shí)，利用分離變量法得到恒成立，進(jìn)而通過求解右側(cè)函數(shù)最小值得到的范圍；兩個(gè)范圍取交集即為最終結(jié)果；（3）將函數(shù)在上存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在上有解的問題；通過討論的正負(fù)可分離變量變?yōu)?，利用?dǎo)數(shù)求解不等式右側(cè)函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令得：函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（2）由得：.當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)，即時(shí)，恒成立；當(dāng)，即時(shí)，解得：綜上所述：當(dāng)時(shí)，由恒成立得：恒成立設(shè)，則.令得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述：的取值范圍為：（3）在上存在零點(diǎn)在上有解即在上有解又，即在上有解設(shè)，則令得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即.設(shè)，則同理可證：則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、恒成立問題的求解、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)問題的求解等知識；解決函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為方程或不等式有