四年級數(shù)學(xué)培優(yōu)班講義-余治軍

第一講 同級運算中的巧算一、知識要點：我們知道，運用運算定律、運算性質(zhì)可以到達計算正確而快捷的目的。對于同級運算，我們可以讓數(shù)帶著符號“搬家〞，或者通過添括號、去括號來進行巧算：同級運算中，數(shù)帶著它前面的運算符號“搬家〞，計算結(jié)果不變；加減混合運算，添〔去〕括號法那么：括號前是加號，添〔去〕括號不變號；括號前是減號，添〔去〕括號要變號。乘除混合運算，添〔去〕括號法那么：括號前是乘號，添〔去〕括號不變號；括號前是除號，添〔去〕括號要變號。二、精選例題：例1：計算：〔1〕823＋92－23 〔2〕4952－267－652 〔3〕96×144÷48 〔4〕570×16÷30解題指引：根據(jù)數(shù)的特點，讓數(shù)帶著符號“搬家〞，以改變原有的計算順序，實現(xiàn)簡算。例2：計算：〔1〕2023－77－23 〔2〕4000÷125÷8 〔3〕660÷121×11 〔4〕56×144÷7÷12解題指引：括號有改變運算順序的作用。要改變原有運算順序，可以添加括號，但要遵循添括號法那么。例3：計算：〔1〕1308－〔308－247〕 〔2〕537－〔543－163〕－57 〔3〕〔91×48×75〕÷〔25×13×16〕解題指引：是按既有順序計算還是適當改變運算順序，使計算簡捷，取決于對各數(shù)特點的把握。去括號同樣要遵守其規(guī)那么。例4：計算：〔1〕2003－2002＋2001－2000＋1999－1998＋1997〔廣東省“育苗杯〞數(shù)學(xué)通訊賽試題〕〔2〕1÷〔2÷3〕÷〔3÷4〕÷〔4÷5〕÷〔5÷6〕〔第二屆華羅庚金杯數(shù)學(xué)邀請賽試題〕解題指引：依據(jù)數(shù)的特點綜合運用“數(shù)搬家〞、去括號、添括號，可使計算簡便。例5：計算：〔1〕29＋299＋2999＋29999＋299999 〔2〕6347－2997－998〔3〕64×25×87×125×5解題指引：對于〔1〕〔2〕兩小題，可以按湊整法，給每個加數(shù)、減數(shù)補上一個數(shù)，使其成為整十、整百、整千……的數(shù)，依據(jù)和不變或差不變的規(guī)律，要注意“多加要減〞、“多減要加〞。對于第〔3〕題，可先把64改寫成2×4×8，再分別與5、25、125結(jié)合。為了使計算快捷，我們有必要記住和靈活使用算式：2×5=10、4×25=100、8×125=1000三、精選練習(xí)：計算：〔1〕908－〔308－159〕〔2〕200÷〔25÷4〕 〔3〕5600÷〔25×7〕〔4〕372÷90×30 〔5〕745＋〔672－545〕－572 〔6〕4567－3456＋1056－167〔7〕60000÷2÷125÷5÷8 〔8〕28÷3×26×15÷26÷14 〔9〕25×96×125四、精選作業(yè)：計算：〔1〕6300÷25 〔2〕3333×2222÷6666〔3〕5÷〔7÷11〕÷〔11÷16〕÷〔16÷35〕第二講 等差數(shù)列一、知識要點：我們把1，3，5，7，9，……這樣按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的數(shù)稱為項，第一個數(shù)叫第一項，又叫首項；第二個數(shù)叫第二項……最后一個數(shù)稱為末項。如果一個數(shù)列從第二項開始，每一項與它前面一項的差都相等，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個相等的差叫做這個等差數(shù)列的公差。在等差數(shù)列中有如下規(guī)律：項數(shù)=〔末項－首項〕÷公差＋1末項=首項＋〔項數(shù)－1〕×公差等差數(shù)列的和=〔首項＋末項〕×項數(shù)÷2二、精選例題：例1：寫出數(shù)列1，3，5，7，9，……中的第40個數(shù)。解題指引：首先要弄清這列數(shù)的排列規(guī)律，判斷其是否屬于等差數(shù)列，在此根底上選擇恰當?shù)挠嬎愎竭M行計算。例2：一列數(shù)：2，5，8，11，14，…，80，…問：80是這列數(shù)中的第幾個數(shù)？解題指引：這是一個公差為3的等差數(shù)列，“80是這列數(shù)中的第幾個數(shù)〞可看作“從首項2開始到80止一共有多少個數(shù)〞。我們要選擇哪一計算公式呢？例3：計算〔1〕1＋2＋3＋4＋……＋78＋79＋80〔2〕2＋5＋8＋……＋23＋26＋29〔3〕1－2＋3－4＋5－6＋……＋2023－2023＋2023解題指引：這里是求等差數(shù)列各項和的問題，在利用公式“等差數(shù)列的和=〔首項＋末項〕×項數(shù)÷2〞時，要先計算出項數(shù)。而對于第〔3〕小題，顯然需要將所有加數(shù)結(jié)合成一組，所有減數(shù)結(jié)合成一組，分別計算。當然，此小題還可依據(jù)算式特點將相鄰的兩個數(shù)結(jié)合成一組進行簡算。例4：某體育館西側(cè)看臺有30排座位，后面一排都比前面一排多2個座位，最后一排有132個座位。體育館西側(cè)看臺共有多少個座位？解題指引：從題意可知，每排的座位數(shù)構(gòu)成了一個等差數(shù)，求一共有多少個座位，其實質(zhì)就是等差數(shù)列求和。根據(jù)求和公式，想想我們需要先解決什么問題？例5：學(xué)校進行乒乓球選拔賽，每個參賽選手都要和其他所有選手賽1場。假設(shè)有20人參賽，那么一共要進行多少場選拔賽？假設(shè)一共進行了78場比賽，有多少人參加了選拔賽？解題指引：如果將20位參賽選手排成一隊，第一位選手需與其他19位選手共賽19場，第二位選手因與第一位選手已賽過，只需與另外18位選手賽18場，同樣，第三位選手只需與剩下的17位選手賽17場，……依此類推，比賽場數(shù)分別是19，18，17，……，3，2，1，這樣求解也就不難了。當然，此題也可這樣思考：每一位選手都賽了19場，如此一來，20人要賽380場，但每一場比賽都被計算了兩次，因此，我們就找到了一種快捷的計算方法。依據(jù)這一思路，我們很容易找到第〔2〕小題的答案。三、精選練習(xí)：1、等差數(shù)列5，10，15，20，……，205，這個等差數(shù)列共有多少項？2、等差數(shù)列2，5，8，11，14，……，問47是其中第幾項？下面一列數(shù)是按一定的規(guī)律排列的：3，12，21，30，39，48，57，66，……，求：〔1〕第12個數(shù)是多少？ 〔2〕912是第幾個數(shù)？5、計算：〔1〕6＋11＋16＋……＋76 〔2〕880－3－6－9－……－57〔3〕1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋9－10－11＋12＋……＋1997－1998－1999＋20006、下面的算式是按一定的規(guī)律的，那么第100個算式的得數(shù)是〔〕。 2＋3，3＋6，4＋9，5＋12，……7、有12個同學(xué)聚會，如果見面時每個人都和其余的人握手1次，那么一共握手多少次？8、時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，依此類推，12點鐘敲12下，半點時敲1下。〔1〕從1點至5點共敲多少下？ 〔2〕一晝夜共敲多少下？四、精選作業(yè)：1、1至100各數(shù)，所有不是9的倍數(shù)的自然數(shù)的和是〔〕。2、把一堆蘋果分給8個小朋友，要使每個人都能拿到蘋果，而且每個人拿到蘋果個數(shù)都不同的話，這堆蘋果至少有〔〕個。3、一串數(shù)按下面的規(guī)律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……問：從左面第一個數(shù)起，前105個數(shù)的和是多少？第三講 數(shù)圖形一、知識要點：我們已經(jīng)認識了線段、角、三角形、長方形等根本圖形，當這些圖形有多個重疊在一起時，要想準確地數(shù)出其中某一根本圖形的個數(shù)，就要仔細觀察，找到圖形的排列規(guī)律，然后按照一定的順序去計數(shù)。數(shù)的過程中為了防止多數(shù)或少數(shù)的情況，往往要用到分類計數(shù)的方法。圖1二、精選例題：圖1例1：數(shù)一數(shù)：圖1中有_______條線段；解題指引：按照一定的順序〔如從左往右〕先逐一數(shù)出以每一個點為端點的線段條數(shù)，然后再求和。這里，以左邊第一個點為端點的線段有5條，以第二個點為端點的線段有4條，……依此類推，最后可求出共有15條線段。圖2例2：數(shù)一數(shù)：圖2中有_______個角。圖2解題指引：除了按上面的方法數(shù)以外，可以這樣思考：每一條射線與其它5條射線都可以組成5個角，考慮重復(fù)計算的因素，最后通過6×5÷2計算出角的總數(shù)。圖3圖3例3：數(shù)一數(shù)：圖3中有_______個三角形。解題指引：我們可按照分類的思想計算三角形的個數(shù)。圖中的三角形可分為五類：由1個小三角形組成的三角形；由2個相鄰的小三角形組成的三角形；由3個相鄰的小三角形組成的三角形……把每類的個數(shù)相加就是所有三角形的個數(shù)。例4：數(shù)一數(shù)：圖中共有_______個長方形。解題指引：我們可以按照例3所介紹的分類的思想來計數(shù)，也可以這樣來思考：長方形是由長和寬決定的。大長方形的“長〞上有多少條線段，一行就有多少個長方形〔為什么？〕；大長方形的“寬〞上有多少條線段，就有這樣的幾行，通過計算就可得到長方形的總個數(shù)。例5：數(shù)一數(shù)：圖4中有_______個三角形；圖5中有_______個三角形；圖6中有_______個長方形。假設(shè)每一小格均為正方形，圖6共有________個正方形。解題指引：圖4，我們可以把它分成三類分別來計數(shù)；圖5，仍然以分類計數(shù)的方法，對于過于復(fù)雜的圖形，我們可給每一個小三角形做上標記，這樣可防止重復(fù)或遺漏；圖6中數(shù)正方形，我們可這樣想：最小的正方形有幾個？2×2的正方形有幾個？……這些問題解決了，正方形的總數(shù)也隨之可求。圖4圖5圖4圖5圖6三、精選練習(xí)：1、6個不共線的點，兩兩連線可以得出________條線段。2、如果線段AB上共有8個點〔包括端點在內(nèi)〕，那么共有_______條線段。OA1OA1A2A3A8A9A104、如右圖，從頂點O引出10條射線，該圖中共有_________個銳角。5、圖8中有______個三角形。圖8圖圖8圖76、圖9是一個窗戶的圖形，這個圖形中共有__________個長方形。圖11圖圖11圖10圖97、圖10中有________個正方形。8、如圖11，是由許多小正方體拼成的大正方體，如果在正方體的6個面上涂上顏色，那么沒有涂色的小正方體有______個；只有一個面被涂上顏色的小正方體有_______個；恰好有兩個面被涂上顏色的小正方體有_______個；有三個面被涂上顏色的小正方體有________個。四、精選作業(yè)：1、圖12中有_______條線段，有________個三角形。2、數(shù)一數(shù)，圖13中有______個長方形〔包括正方形〕圖13圖圖13圖12第四講 和差倍問題一、知識要點：兩個數(shù)的和與差、和與倍數(shù)、差與倍數(shù)，要求這兩個數(shù)是多少，這樣的問題分別稱為和差問題、和倍問題、差倍問題，統(tǒng)稱為和差倍問題。其根本數(shù)量關(guān)系有以下3組：1、和倍問題：大小兩個數(shù)的和及它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)。和÷〔倍數(shù)+1〕=小數(shù)；小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)。2、差倍問題：大小兩個數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)。差÷〔倍數(shù)-1〕=小數(shù)；小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)。3、和差問題：大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求這兩個數(shù)?！埠?差〕÷2=大數(shù)；〔和-差〕÷2=小數(shù)。解答這類問題有著根本的思路和方法，而更多時候是需要我們靈活運用轉(zhuǎn)化的思想把復(fù)雜的和差倍問題化為簡單的和差倍問題來進行解答。二、精選例題：例1：某汽車公司共有小汽車和卡車720輛，其中小汽車的數(shù)量是卡車的3倍。求小汽車和卡車各有多少輛？解題指引：這是一道典型的和倍問題，把卡車的輛數(shù)看作1倍量，那么小汽車的輛數(shù)為3倍量，合起來就是4倍，這樣問題就很容易得到解決。例2：四、五年級共有學(xué)生165人，四年級學(xué)生比五年級學(xué)生人數(shù)的2倍還少6人，四、五年級學(xué)生各有多少人？〔杭州市上城區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題〕解題指引：題目中的“和〞與兩個量的“倍數(shù)和〞不對應(yīng)，需要先進行轉(zhuǎn)化再解答。我們可以這樣想：四年級人數(shù)怎樣變化后就恰好是五年級的2倍？而兩個年級人數(shù)的總和跟著怎樣變呢？例3：小強和小紅為希望工程捐款，小強比小紅少捐30元，小紅捐的款是小強的3倍，小強和小紅各捐款多少元？解題指引：這是一道典型的差倍問題，依據(jù)和倍問題的解題思路，先求出1倍量。例4：山坡上有一群羊，其中有綿羊和山羊。綿羊比山羊的3倍多55只，綿羊比山羊多345只，兩種羊各有多少只？〔邢臺市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題〕解題指引：如果綿羊只數(shù)減少55只，綿羊的只數(shù)正好是山羊的3倍，這樣綿羊與山羊還相差多少只呢？據(jù)此，問題得解。例5：小強每天早上圍差一塊長方形的草坪跑步鍛煉身體，長方形的長比寬多50米，每天跑4圈，共跑了1200米。問這塊草坪的長和寬各是多少米？解題指引：這是一道和差問題。關(guān)鍵是求出長與寬兩數(shù)之和。三、精選練習(xí)：1、一個車間，女工比男工少35人，男女工各調(diào)出17人后，男工人數(shù)是女工的2倍。原有男工、女工各多少人？〔鶴壁市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題〕2、兩個數(shù)的和是682，其中一個加數(shù)的個位是0，假設(shè)把這個0去掉，那么與另一個數(shù)相同。這兩個數(shù)各是多少？〔天津市“我愛數(shù)學(xué)〞邀請賽試題〕3、學(xué)校圖書室有故事書和文藝書843本，其中故事書的本數(shù)比文藝書的4倍還多28本。問故事書和文藝書各有多少本？4、甲、乙兩人共儲蓄2000元，甲取出150元，乙又存入230元，這時甲儲蓄的錢數(shù)比乙儲蓄的2倍少20元。原來甲、乙兩人各儲蓄多少元？甲倉庫存糧104噸，乙倉庫存糧140噸，要使甲倉庫的存糧是乙倉庫的3倍，那么必須從乙倉庫運出多少噸放入甲倉庫？〔長春市南關(guān)區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題〕6、甲、乙兩個倉庫共存大米60噸，如果從甲倉庫運6噸大米到乙倉庫，兩個倉庫的大米噸數(shù)正好相等，求原來兩個倉庫各有大米多少噸？〔烏魯木齊市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題〕7、甲數(shù)是乙數(shù)的3倍，丙數(shù)是乙數(shù)的4倍，丁數(shù)是丙數(shù)的一半，四個數(shù)的和是1040，丁數(shù)是多少？〔福州市鼓樓區(qū)小學(xué)四年級數(shù)學(xué)競賽試題〕8、一班與二班共有78人，如果一班人數(shù)的3倍與二班人數(shù)的5倍之和是318人，那么一班原有多少人？〔天津市數(shù)學(xué)學(xué)科競賽試題〕四、精選作業(yè)：1、甲、乙兩車間共有393名工人，把甲車間的16名工人調(diào)到乙車間后，甲車間比乙車間還多5名。甲、乙車間原各有工人多少名？〔北京市海淀區(qū)奧校試題〕2、兩個數(shù)相除商是4，余數(shù)是10，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是144，求被除數(shù)和除數(shù)。3、少先隊員提一籃蘋果和梨子到敬老院去慰問。每次從籃里取出2個梨、5個蘋果送給老人，最后剩下11個蘋果，梨子正好分完，這時他們才想起原來蘋果數(shù)是梨子的3倍，敬老院共有多少老人？第五講 年齡問題一、知識要點：所謂年齡問題，就是與年齡有關(guān)的問題。年齡問題有以下特點：1、隨著年齡的增長，兩人的年齡差是不變的；2、隨著年齡的增長，兩人的年齡會同時增加同樣的歲數(shù)；3、兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長隨時發(fā)生變化。抓住“年齡差不變〞進行思考分析是解答年齡問題的根本思路?？山柚€段圖理解題意，分析題中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合和差倍問題的解題方法，靈活解題。二、精選例題：例1：小紅、小明兩人的年齡和是27歲。5年后，小紅比小明大5歲，小紅、小明今年分別多少歲？解題指引：兩人的年齡差始終是5歲，這樣原問題就變?yōu)榱艘粋€和差問題。例2：爸爸15前的年齡相當于兒子12年后的年齡。當爸爸的年齡是兒子的4倍時，爸爸多少歲？〔青島市數(shù)學(xué)競賽試題〕解題指引：題目雖沒有直接給出父子兩人的年齡差，但我們從“爸爸15前的年齡相當于兒子12年后的年齡〞這一條件可先求出年齡差，再依據(jù)差倍問題的解題思路解答。例3：一家四口，爸爸、媽媽、兒子、女兒，他們的年齡和是73歲。爸爸比媽媽大3歲，女兒比兒子大2歲，4年前全家的年齡之和是58，現(xiàn)在他們分別有多少歲？解題指引：一家四口現(xiàn)在的年齡和是73歲，4年前年齡和按理應(yīng)是73-4×4=57歲，為什么題目中給出的是“4年前全家的年齡之和是58〞？以此為突破口，可將問題簡化。例4：父親的年齡是兒子的3倍，12年后兒子的年齡是父親的一半，問現(xiàn)在父子倆各是多少歲？解題指引：“12年后兒子的年齡是父親的一半〞，可知，12年后父親的年齡是他們年齡差的2倍，而年齡差又是兒子現(xiàn)在年齡的2倍，從而得到12年后父親的年齡是兒子現(xiàn)在年齡的4倍。過了12年，父親的年齡由“是兒子的3倍〞變成為是兒子年齡的4倍，故可求出兒子現(xiàn)在的年齡。畫線段圖可幫助理解。例5：亮亮問老師有多少歲，老師說：“當我像你這么大時，你才3歲，當你長到我這么大時，我已經(jīng)39歲了。〞請問老師有多少歲？解題指引：首先