2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（黑卷）試題（含答案解析）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(黑卷)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|2x<5},則4口8=()

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4)

2.設(shè)(2+i)z=l+3i,貝ijz=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.我國(guó)第七次人口普查的數(shù)據(jù)于2021年公布，將我國(guó)歷次人口普查的調(diào)查數(shù)據(jù)整理

后得到如圖所示的折線圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

歷次人口普查全國(guó)人口的年均增長(zhǎng)率

A.從人口普查結(jié)果來(lái)看，我國(guó)人口總量處于遞增狀態(tài)

B.2000-2020年年均增長(zhǎng)率都低于1.5%

C.歷次人口普查的年均增長(zhǎng)率逐年遞減

D.第三次人口普查時(shí)，人口年均增長(zhǎng)率達(dá)到歷史最高點(diǎn)

4.《幾何原本》卷匚的幾何代數(shù)法成了后世數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這

一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明，這種

證明方式優(yōu)雅而直觀.觀察圖形可知，陰影直角三角形的短直角邊為cos(a+〃)或

cosacos^-sinesin尸，所以該圖直觀地反映了公式

cos(a+/?)=cosccosP-sinasin尸.通過(guò)觀察圖中陰影直角三角形長(zhǎng)直角邊和長(zhǎng)方形的

寬，可得公式()

cosacosp

A.cos（a-/）=cosacos尸+sinasinA

B.sin（a—尸）=sinacos/3-cosasinp

C.cos（a+尸）=cosacos/7一sinasin0

D.sin（a+4）=sinacos〃+cosasin/?

5.從3名男生和2名女生中隨機(jī)選取3人參加書(shū)法展覽會(huì)，則選取的3人中至少有2

名男生的概率為（）

3「7〃4n9

A.-B.—C.—D.—

510510

6.函數(shù)/"）=蛇二巧的圖象大致為（）

v'3'_3'v

7.設(shè)a,夕為兩個(gè)平面，/為一條直線，/uc且/a夕，則/〃尸的充分條件是

()

A.夕內(nèi)有一條直線與a平行B.4內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a平行

C./,夕平行于同一平面D.a,4垂直于同一平面

r22

8.設(shè)1，8分別是雙曲線C:=11/>0力>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)「作C的一條

漸近線/的垂線交雙曲線的右支于點(diǎn)尸，若麗.理=0,則C的離心率為()

A.y/5B.2C.此D.-

23

9.記S“為等比數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和，若%+%=8(4+%)，”2+4+即>=1。，則幾=

()

A.45B.75C.80D.90

10.已知函數(shù)/(x)=2sin(<yx+4?>0)的部分圖象如圖所示，且

11.已知定義在R上的奇函數(shù)/(月的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且y=/(x)在［0』上

單調(diào)遞增，若。=/(一3),b=-￡|,c=〃2),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<h<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

12.過(guò)拋物線C：V=4x焦點(diǎn)產(chǎn)的直線與拋物線交于A,8兩點(diǎn)，若|AF|=g,則

|破=()

10r、-14.16

A.—B.2C.—D.—

333

二、填空題

13.已知向量2=(-3,2),U(x,l),若皿2￡+可,則》=.

14.曲線y=V-mx在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程為.

15.已知直四棱柱ABCO-AACR的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=AD=6.

BD=BC=3,直四棱柱A2CO-A8C。的體積為66，則球。的半徑為

三、雙空題

16.記S“為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，若59=3(%+4+4)，貝心=

.(寫(xiě)出符合要求的一組答案即可)

四、解答題

17.為響應(yīng)國(guó)家在《"十四五”工業(yè)綠色發(fā)展規(guī)劃》中提出的“推動(dòng)綠色發(fā)展，促進(jìn)人與

自然和諧共生”理念，某企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)一批太陽(yáng)能電池板，現(xiàn)有甲、乙兩種生產(chǎn)工藝可

供選擇.為了解兩種生產(chǎn)工藝所生產(chǎn)的電池板的質(zhì)量情況，從中各隨機(jī)抽取100件進(jìn)行

O707580859095100綜合得分。707580859095100綜合得分

甲生產(chǎn)工藝乙生產(chǎn)工藝

并規(guī)定:

綜合得分[70,85)[85,100]

質(zhì)量等級(jí)二等品一等品

(1)從這100個(gè)甲工藝所生產(chǎn)的電池板中按質(zhì)量等級(jí)分層抽樣抽取4個(gè)，再?gòu)倪@4個(gè)中隨

機(jī)抽取2個(gè)做進(jìn)一步研究，求恰有1個(gè)質(zhì)量等級(jí)為一等品電池板的概率；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為電池板

的質(zhì)量等級(jí)與生產(chǎn)工藝有關(guān)？

一等品二等品

甲生產(chǎn)工藝

乙生產(chǎn)工藝

-be)"

(a+6)(c+”)(a+c)(6+d)

P(K2>k)0.0500.0100.010

k3.8416.63510.828

18.AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知/+/=/+4加抽<:，

a&=15cosC.

⑴求△ABC的面積；

(2)若c=272,且avb,求A.

19.如圖，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，4AD=3AB,PD=BD=5,

PB=46，ZPAB=y.

(1)證明：BC_L平面上4B；

(2)求三棱錐P-BCD的體積.

20.已知函數(shù)f(x)=(ar2—x+a)e*.

⑴討論〃x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)0＜"＜；時(shí)，證明f(x)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

22

x"y

21.已知離心率為g的橢圓C:1(。＞人＞0)的頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積為

部+5

4石，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率不為零的直線交C于M,N兩點(diǎn)，A為橢圓左頂點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)設(shè)AM,AN的斜率分別為勺，k2,證明：勺?與為定值.

X-n-

22.在直角坐標(biāo)系》。)，中，直線/的參數(shù)方程為夜a為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)

y-1+

12

。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

p=-4sin^+—j.

(1)求。和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。的直角坐標(biāo)為(1,百)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，求尸。中點(diǎn)R的軌跡的極坐標(biāo)方程.

23.已知函數(shù)/(X)=|X+1］一|2X—44

⑴當(dāng)“=1時(shí)，求不等式的解集；

⑵若〃x)+k+l|41,求。的取值范圍.

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

求出集合B,根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得答案.

【詳解】

因?yàn)?={x|2x<5}=’|x<|）,所以An8={l,2},

故選：B

2.A

【解析】

【分析】

直接對(duì)已知式子化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出復(fù)數(shù)z

【詳解】

因?yàn)椋?+i）z=l+3i,

l+3i

所以z=

2+i

故選：A

3.C

【解析】

【分析】

根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖分析即可；

【詳解】

解：由折線統(tǒng)計(jì)圖可得，所有的增長(zhǎng)率均為正數(shù)，

所以從人口普查結(jié)果來(lái)看，我國(guó)人口總量處于遞增狀態(tài)，故A正確；

2000-2020年年均增長(zhǎng)率都低于1.5%,其中2000最高，增長(zhǎng)率為1.07%,故B正確;

年均增長(zhǎng)率在1964-1982是逐年遞增，1982-2020是逐年遞減，故C錯(cuò)誤；

第三次（1982年）人口普查時(shí)，人口年均增長(zhǎng)率達(dá)到歷史最高點(diǎn)，故D正確；

故選：C

4.D

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

【解析】

【分析】

觀察可知圖中陰影直角三角形長(zhǎng)直角邊為sin（e+0,長(zhǎng)方形的寬為

sinacosy0+cosasin/?,由二者相等可得結(jié)果.

【詳解】

圖中陰影直角三角形長(zhǎng)直角邊為sin（a+/?）,長(zhǎng)方形的寬為sinacos尸+cosasin〃，

顯然二者相等，所以有sin（a+/）=sinccos尸+cosasin/.

故選：D.

5.B

【解析】

【分析】

列出所有可能的基本事件，即可求出滿足題意的概率.

【詳解】

記3名男生分別為q,%,%,2名女生分別為自，b2,

從5人中隨機(jī)選取3人，所有的可能結(jié)果為

（4，。2，。3），（4，4，女），（%,42也），（4,心，4），也），（42，%，4），（。2,4也），

（q,偽也），（“2,4也），3,4也），共10種，

“其中至少有2名男生”對(duì)應(yīng)的結(jié)果有7種，故所求概率為由.

故選：B.

6.A

【解析】

【分析】

利用函數(shù)的奇偶性可排除B;比較A,C,D的圖象可知，三者的差異在于函數(shù)的正負(fù)，結(jié)

合分母3,-3T>0在（0,1）上恒成立，故考慮結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)通過(guò)判斷In（l-V）在（0,1）

上的正負(fù)進(jìn)行判斷，由此可判斷A,C,D.

【詳解】

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

函數(shù)=的定義域?yàn)?T,O)U(O,l),

因?yàn)?(_》)=_12gl=一/(可，即函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

3'—3'

排除B；

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，ln(l-x2)<lnl=0,3A-3-x>0,故/(x)<0,排除C,D,

而對(duì)于A,=)為奇函數(shù)，函數(shù)值符合圖象的變化規(guī)律，結(jié)合以上分析，A正

v'3X-3'A

確，

故選：A.

7.C

【解析】

【分析】

對(duì)于A,4內(nèi)有一條直線與a平行，但不一定與直線/平行，由此判斷A;對(duì)于B,無(wú)法確

定?！?以及/〃〃，判斷B;對(duì)于C,根據(jù)線面平行的性質(zhì)，可判斷；對(duì)于D,/與￡可

能平行、垂直或相交，判斷D.

【詳解】

對(duì)于A,夕內(nèi)有一條直線與a平行，但不一定與直線/平行，結(jié)合線面平行的判定定理可

知/不一定平行萬(wàn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,夕內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a平行，由于不能確定有兩條相交直線與a平行或一條直線

與/平行，故/不一定平行夕，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)/,夕平行于同一個(gè)平面時(shí)，設(shè)該平面為7,因?yàn)?a夕，故一定有/〃"否則/

若和夕相交，那么/和/必相交，與/〃7矛盾，故C正確，

對(duì)于D,當(dāng)a,夕垂直于同一平面時(shí)，/與夕可能平行、垂直或相交，故D錯(cuò)誤；

故選：C

8.A

【解析】

【分析】

］根據(jù)在RSOMf；中，|M用=力，|0娟=c,結(jié)合雙曲線中“，b,。間的關(guān)系求得10M.

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】

如圖，

W

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，過(guò)點(diǎn)片(-C，。)作漸近線y=的垂線，垂足為M,

a

則網(wǎng)=6,\OM\=a,

因?yàn)槲?%=0,即「6，丹"結(jié)合

且。為居K的中點(diǎn)可知忸耳|=2網(wǎng)=2b，閥|=2\OM\=2a,

結(jié)合雙曲線的定義可知2/>-2a=2a,即6=2?,

所以c=/a2+護(hù)=^a，則C的離心率為:=囪?

故選：A.

9.B

【解析】

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為q,根據(jù)已知條件求出夕的值，利用等比數(shù)列的求和公式以及基

本性質(zhì)可求得力的值.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,由%+4=8(4+。5)可知4/+火/=8(4+%)，所以

q=2,

S12=(4+%+%)+(%+%+%>)+(%+%+巧1)+(4+%+q2)

=%(。2+&+40)+(“2+。6+%<))+4(。2+ab+a\0)+Cl2(。2+4+”10)

2

=(a2+a6+al0)f—+l+<7+<7j=10xf^-+1+2+4j=75.

故選：B.

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

10.D

【解析】

【分析】

由函數(shù)圖象的單調(diào)性和對(duì)稱性可求出對(duì)稱中心H，o),結(jié)合最大值點(diǎn)可求出函數(shù)的最小正

JT

周期，從而求出0；圖象經(jīng)過(guò)(二,2),可求出夕值，確定解析式即可求出函數(shù)值.

O

【詳解】

由函數(shù)圖象可知"X)在上單調(diào)，且/與|+/倍)=0,得“X)的一個(gè)對(duì)稱中心

(乃+ITI、

為yz,。，即修，0〕，結(jié)合x(chóng)=m為〃X)的最大值點(diǎn)可知所以

2\12)6412o4

\7

_2萬(wàn)

T=冗,由/=解得69=2,

所以/(x)=2sin(2x+*),

因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)G71，2)

6

所以2sin(2x]+夕)=2,即sin[?+夕)=1,

TTTT7T7T

所以+°=+2%乃，UGZ),解得夕二:+24乃，當(dāng)女=0時(shí)，(p=-

3266

所以〃x)=2sin(2x+J所以/(總=2$皿2*方1)=百

故選：D

11.C

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件可得y=〃x)在上單調(diào)遞增，?=/(-3)=-/(3)=-/(-1)=/(1),

c=/(2)=/(O)=O,從而可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

【詳解】

由函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱可得/(3)=/(-1),結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可知

a=)(—3)=—〃3)=-f(T)=/⑴,c=〃2)=/(0)=0.

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合y=在［0,1］上單調(diào)遞增可得產(chǎn)/(x)在卜1,1］上單調(diào)遞增,

所以/?1

所以匕<c<a.

故選：C

12.D

【解析】

【分析】

作輔助線，根據(jù)拋物線的定義判斷相關(guān)線段長(zhǎng)度間的關(guān)系，結(jié)合角度關(guān)系及拋物線的定義

求解忸口，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】

如圖，過(guò)A,B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為。，E,再過(guò)A,B分別作x軸的垂

線，垂足為G,H.根據(jù)拋物線的定義可知|AO|=|AF|=g,\BE\=\BF\.

結(jié)合焦點(diǎn)尸(1,0)到拋物線的準(zhǔn)線x=-l的距離為2,

、4

在“G"中'cosZAFG=K=^￡l=_3=l

3

在ABHF中，COSZBFH=cosZAFG=,

艮惴雷塔解得叩.

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

所以網(wǎng)+網(wǎng)=$4號(hào).故|AB|號(hào).

故選：D.

13.竺

3

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出2a+b,結(jié)合垂直向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.

【詳解】

因?yàn)?=(-3,2),6=(x,l),

所以￡+%=(-6+X,5),又￡_L(2￡+B),

貝「.兇+a=-3x(-6+x)+2x5=0,解得x=g.

故答案為：y.

14.y=x-2

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】

由曲線y-的過(guò)點(diǎn)(>1)得_]=1_〃?，即帆=2,從而可知y=M-2x,求導(dǎo)可得

爐=3x2-2,所以曲線在點(diǎn)(1,-1)處的切線斜率為左=1,故切線方程為y-(-i)=x-1,即

y=x-2.

故答案為：y=x-2

15.亞

【解析】

【分析】

首先利用余弦定理求出ZSAD,從而得到N8CD,即可求出底面四邊形ABCO的面積，再

根據(jù)柱體的體積公式求出直四棱柱的高，再求出底面四邊形外接圓的半徑『，最后根據(jù)外

計(jì)算可得;

2

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

【詳解】

解：如圖，因?yàn)锳B=AO=石，BD=3,由余弦定理可得

AB2+AD2-BD2]_

cosZBAD=

2ABAD2

因?yàn)槟耍?由于A,B,C,。四點(diǎn)共圓，所以

71

4BCD="/BAD=—

3

又3。=3C=3可知4BCD為等邊三角形，

+127r171r~

則S四邊形ABCO=S?BDS^cl)=-ABADsm—+-BCCD-sin3=3叢.

故直四棱柱的高/?=上=吧=2&.

而直四棱柱4B8-A4GR的體積為6n,

S3下）

又四邊形AB8外接圓半徑，=磊36

故球。的半徑為/?="+%=J（可+（&丫=5

故答案為：加

16.111

【解析】

【分析】

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和求解即可.

【詳解】

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,S9=3(%+q+q)可得

QQ

9qH—x廠d=3[q+2d+4+(%-1"+q+(/-1”],解得A+/=12,故可填入％=1,/=11

或％=2,/=10(滿足Z+/=12,%,/eN*即可).

故答案為：k=\,/=11或k=2,/=10(滿足氏+/=12,幺/eN*即可).

17.(1)!

(2)有99%的把握認(rèn)為電池板的質(zhì)量等級(jí)與生產(chǎn)工藝有關(guān)，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)分析可知這4個(gè)中質(zhì)量等級(jí)為一等品的個(gè)數(shù)為3,分別記為A、B、C,質(zhì)量等級(jí)為

二等品的個(gè)數(shù)為1,記為“，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，

利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；

(2)完善2x2列聯(lián)表，計(jì)算出K?的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.

(1)

解：從這100個(gè)甲工藝所生產(chǎn)的電池板中，二等品的個(gè)數(shù)為100x0.05x1。=25個(gè)，

一等品的個(gè)數(shù)為100x0.15x5=75個(gè)，

從這100個(gè)甲工藝所生產(chǎn)的電池板中按質(zhì)量等級(jí)分層抽樣抽取4個(gè)

這4個(gè)中質(zhì)量等級(jí)為一等品的個(gè)數(shù)為4x^=3,分別記為A、B、C,

質(zhì)量等級(jí)為二等品的個(gè)數(shù)為1,記為“，

從這這4個(gè)中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有的基本事件為：A8、AC,Aa,BC、Ba、Ca,共6

種，

其中，事件”所抽取的2個(gè)中恰有1個(gè)質(zhì)量等級(jí)為一等品電池板”所包含的基本事件為：

Aa■.Ba、Ca,共3種，

31

故所求概率為尸=三=不

62

(2)

解：2x2列聯(lián)表如下表所示:

一等品二等品

甲生產(chǎn)工藝7525

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

乙生產(chǎn)工藝4555

所以'”4■荔我f,

所以，有99%的把握認(rèn)為電池板的質(zhì)量等級(jí)與生產(chǎn)工藝有關(guān).

18.(1)3

嗚

【解析】

【分析】

(1)首先由余弦定理得到sinC=2ssC,再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinC、

cosC,即可求出必，從而求出三角形的面積；

(2)由(1)及余弦定理求出。，再由正弦定理求出sinA,即可得解；

(1)

解:因?yàn)?+加=/+aAsinC,即c?=標(biāo)+，—成sinC,Xc2=a2+b2-2abcosC>

245.「2V5

rsinc=---sinC=-----

所以sinC=2cosC,又sir?C+cos2c=1,解得，［，或<5

「石

cosC=——cosC=----

55

sinC=----

因?yàn)镃e(O,))，所以，；,

cosC=

由ab=15cosC,所以〃/?=15x——=3小,

所以SAftc=—absinC=—X3A/5X^^-=3

M225

⑵

解：由(1)知cosC=—ab=3加,所以〃

5b

因?yàn)閍vb,所以/<36，

由余弦定理=a2+〃-a〃sinC,所以8=a?+與-2x3逐x好，

a5

即4—14/+45=0,)W得“2=5或〃=9(舍去)

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

R2j5_

所以a=石，由正弦定理二=三，所以4人asinC0,

sinAsinCsinA=-----=----度—=--

c2V22

因?yàn)椤?lt;人所以A為銳角，所以4=f：

4

19.(1)證明見(jiàn)解析

⑵46

【解析】

【分析】

(1)由已知，可得AO=3,AB=4,又由余弦定理可得以=4,進(jìn)而可得上又

ADYAB,可得A￡>J_平面由A￡>〃BC,從而即可證明；

=

(2)由Vp-BCD^P-ABD~%-PA3=§5dABXAD即uj求解?

(1)

證明：因?yàn)樗睦忮FP—A5c。的底面是矩形，4AD=3AB,BD=5,

所以比>2=+4)2,解得A〃=3,A8=4,

因?yàn)镻B=46，NPAB爸,

所以由余弦定理可得BD2=PA2+AB--2PAxABxcosNPAB,即

(4>/3)2=PA2+42-2PAx4xf-11解得%=4,

又P￡>=5,所以PT)?=452+刈2,

所以姑_LAO,又AD_L49,PA[}AB=A,

所以ADL平面R4S,

因?yàn)?0〃BC,

所以BC_L平面E4B；

(2)

解：三棱錐P-8co的體積

Vp-B8=^P-ABD=^D-PAB=§$/八/A。=4x/x4x4xsin—x3=46.

20.(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

(1)求得/'(x)=(or+a—l)(x+l)e‘，分"=0、”<0、〃>0三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的

符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)/(x)的增區(qū)間和減區(qū)間；

⑵由/(x)=0可得出加-x+〃=0,由0<”；結(jié)合判別式可判斷出方程依2-x+a=O

的根的個(gè)數(shù)，由此可證得結(jié)論成立.

(1)

解：函數(shù)的定義域?yàn)镽,f\x)=^ax2+(2?-l)x+?-l]e'=(ar+a-l)(x+I)ev.

當(dāng)。=0時(shí),則/'(x)=—(x+l)e',由r(x)<0可得x>-l,由f'(x)>0可得x<-l,

此時(shí)函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e,-1),單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)4H0時(shí)，由1(x)=o可得x=1_l或X=T.

口當(dāng)a<0時(shí)，——1<—1,由/'(x)<0可得x<1或x>—1,由/'(x)>0可得

1,,

——1<x<-l,

a

此時(shí)函數(shù)〃X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,(-1,行)，單調(diào)遞增區(qū)間為(：T,T

□當(dāng)a>0時(shí)，—1>—1,由尸(x)<0可得—1<x<1,由/'(x)>0可得x<—1或

X>1-1,

此時(shí)函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(9,-1)、(!一1，"°)，單調(diào)遞減區(qū)間為11，：T]

綜上所述，當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為1]、(-1,田)，單調(diào)遞增區(qū)間

為m

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(7,-1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,田)；

當(dāng)"0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(口,一1)、-L+S單調(diào)遞減區(qū)間為

⑵

解：由〃x)=0可得加_x+a=0,因?yàn)?<a<g,則A=1-4/=(l_2a)(l+2a)>0,

即關(guān)于x的方程以2-x+a=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

所以，當(dāng)0＜。＜3時(shí)，/（X）在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：討論含參函數(shù)的單調(diào)性，通常注意以下幾個(gè)方面：

（1）求導(dǎo)后看最高次項(xiàng)系數(shù)是否為0,須需分類(lèi)討論；

（2）若最高次項(xiàng)系數(shù)不為0,通常是二次函數(shù)，若二次函數(shù)開(kāi)口方向確定時(shí)，再根據(jù)判別

式討論無(wú)根或兩根相等的情況；

（3）再根據(jù)判別式討論兩根不等時(shí)，注意兩根大小比較，或與定義域比較.

22

21.（1）—X+^y-=1

43

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

（1）由題意列出關(guān)于“力解的方程，解得答案；

（2）討論直線斜率是否存在，然后設(shè)直線方程，并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系

式，進(jìn)而表示出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論.

(1)

由題意得：-=-,2ab=4yf3,a2=b2+c2,

a2

BP=—,?/?=2>/3,

a-4

故解得/=4,從=3,

22

則橢圓方程為三+匕=1;

43

(2)

證明:由⑴可知,4(—2,0),右焦點(diǎn)為(1,0),

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，方程為x=l,

3333

此時(shí)不妨取則=2XI1=_1

12~i3-4

當(dāng)當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=&（x-l）,

y=&(x-l)

聯(lián)立Vy2,可得(3+4爐》2-8公工+4&2-12=0,A=16x9(it2+l)>0,

——+2=1

43

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

設(shè)加（為，乂）,"（占，丫2）,則X+左=8.,,占.X,=4：

-3+4r-3+4產(chǎn)

?-9k2

故％?〉2=/（X-DUT）=T—77T

3+4k

而K'

芭+2x2+2

故人化=1—=_一=蟲(chóng)-1）心-1）

~%14-2x2+2（Xj+2）（X2+2）+2xix2x+4

-942一％2

=_______3+4—=3+4"=_