中國海洋大學(xué)《線性代數(shù)》試卷-2021-2022學(xué)年第二學(xué)期期末試卷A卷_第1頁
中國海洋大學(xué)《線性代數(shù)》試卷-2021-2022學(xué)年第二學(xué)期期末試卷A卷_第2頁
中國海洋大學(xué)《線性代數(shù)》試卷-2021-2022學(xué)年第二學(xué)期期末試卷A卷_第3頁
中國海洋大學(xué)《線性代數(shù)》試卷-2021-2022學(xué)年第二學(xué)期期末試卷A卷_第4頁
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學(xué)院專業(yè)班級(jí)學(xué)號(hào)學(xué)生姓名學(xué)院專業(yè)班級(jí)學(xué)號(hào)學(xué)生姓名第4頁共4頁中國海洋大學(xué)2021年春季學(xué)期《線性代數(shù)》課程試卷試卷A考試方式閉卷考試時(shí)間（120分鐘）一.填空題1.若二次型為正定二次型,則的取值范圍為解:二次型對(duì)應(yīng)矩陣為應(yīng)用二次型為正定二次型的充分必要條件為的順序主子式全大于零:顯然由得二.計(jì)算題1.設(shè)二次型.寫出二次型的矩陣表示;用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型,并寫出相應(yīng)的正交矩陣.解:(1)(2)求解特征多項(xiàng)式:得特征根為求解對(duì)應(yīng)矩陣方程得特征向量分別為各自單位化得記作正交變換則標(biāo)準(zhǔn)化為2.設(shè)二次型經(jīng)正交變換化為,其中是三維列向量,是3階正交矩陣,試求常數(shù)解:記原二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型所對(duì)應(yīng)的矩陣分別為和,即由得,即解得兩多項(xiàng)式相等則對(duì)應(yīng)系數(shù)項(xiàng)相等,所以有解得.3.設(shè)矩陣已知的一個(gè)特征值為3,求;(2)求矩陣,使為對(duì)角矩陣.解:(1)將3代入特征方程得解得由知只需求矩陣,使為對(duì)角矩陣.計(jì)算得為對(duì)稱矩陣,其特征值為對(duì)應(yīng)于的特征向量為對(duì)應(yīng)于的特征向量為驗(yàn)證以上四個(gè)向量已經(jīng)兩兩正交,分別單位化得令則.或者,應(yīng)用配方法:令即則二次型標(biāo)準(zhǔn)化為所求矩陣為,.4.考慮二次型.問為何值時(shí),為正定二次型?解:應(yīng)用二次型為正定二次型的充分必要條件為的順序主子式全大于零:二次型對(duì)應(yīng)矩陣為則應(yīng)有解不等式組得所以當(dāng)時(shí),f為正定二次型.5.設(shè)分別為階正定矩陣,試判定分塊矩陣是否為正定矩陣.解:根據(jù)正定矩陣定義:正定的充分必要條件為>0,(對(duì)任意X≠0).設(shè),則X,Y不全為0,不妨設(shè)X≠0,由題意得所以從而為正定矩陣.四.證明題1.設(shè)是m階正定矩陣,是實(shí)矩陣,證明:證明:充分性:顯然是對(duì)稱矩陣.設(shè)為任意非零向量,則因?yàn)樗苑匠探M有唯一零解,從而若,則必有.又因?yàn)槭莔階正定矩陣,所以必要性.對(duì)任意非零向量有.其中必有.亦即方程組有唯一零解.由此可得2.設(shè)為正定矩陣,證明.證明:設(shè)的特征值為,因?yàn)闉檎ň仃?所以的特征值全大于0.而的特征值為,所以.3.設(shè)為m×n階矩陣,E為n階單位矩陣,

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