廣東省紫金縣2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

廣東省紫金縣2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．如圖所示，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，則PB與AC所成的角（）A.90° B.60°C.45° D.30°2．已知實(shí)數(shù)滿足,那么的最小值為(

)A. B.C. D.3．已知函數(shù)且，則函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)（）A. B.C. D.4．函數(shù)f（x）=-x＋tanx（＜x＜）的圖象大致為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)則函數(shù)的最大值是A.4 B.3C.5 D.6．已知圓C：x2+y2+2x=0與過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線l有公共點(diǎn)，則直線l斜率k的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，則的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.8．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則A. B.C. D.9．已知為等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且，，則公差A(yù). B.C. D.10．在中，是的（）.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11．“ω＝2”是“π為函數(shù)的最小正周期”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．設(shè)函數(shù)，則________.14．函數(shù)y=的定義域是______.15．___________16．已知α∈.若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則＝______.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．某農(nóng)戶利用墻角線互相垂直的兩面墻，將一塊可折疊的長(zhǎng)為am的籬笆墻圍成一個(gè)雞圈，籬笆的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在這兩墻角線上，現(xiàn)有三種方案：方案甲：如圖1，圍成區(qū)域?yàn)槿切?；方案乙：如圖2，圍成區(qū)域?yàn)榫匦?；方案丙：如圖3，圍成區(qū)域?yàn)樘菪?，?（1）在方案乙、丙中，設(shè)，分別用x表示圍成區(qū)域的面積，;（2）為使圍成雞圈面積最大，該農(nóng)戶應(yīng)該選擇哪一種方案，并說(shuō)明理由.18．已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值；（3）若，求證：在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)19．已知點(diǎn)，，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.20．（1）計(jì)算：；（2）已知，，求，的值.21．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)（1）用定義法證明為增函數(shù)；（2）對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍22．已知函數(shù)，.（1）求方程的解集；（2）定義：.已知定義在上的函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】將原圖還原到正方體中，連接SC，AS，可確定（或其補(bǔ)角）是PB與AC所成的角.【詳解】因?yàn)锳BCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，可將原圖還原到正方體中，連接SC，AS，則PB平行于SC，如圖所示.∴（或其補(bǔ)角）是PB與AC所成的角，∵為正三角形，∴，∴PB與AC所成角為.故選：B.2、A【解析】表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得最小值.【詳解】依題意可知表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故原點(diǎn)到直線的距離為最小值，即最小值為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)求解.【詳解】令，解得，，所以函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，故選：D4、D【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再利用特殊值判斷.【詳解】因?yàn)?，所以是奇函?shù)，排除BC，又因?yàn)?，排除A，故選：D5、B【解析】，從而當(dāng)時(shí)，∴的最大值是考點(diǎn)：與三角函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題6、B【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和直線和圓的位置關(guān)系直接求解【詳解】根據(jù)題意得，圓心（﹣1，0），r＝1，設(shè)直線方程為y﹣0＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0∴圓心到直線的距離d1，解得k故選B【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)列式，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，依題意得，即，故，解得，所以.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】角的終邊過(guò)點(diǎn)，所以.由角，得.故選D.9、A【解析】分析：先根據(jù)已知化簡(jiǎn)即得公差d.詳解：由題得4+4+d+4+2d=6,所以d=.故答案為A.點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差數(shù)列的通項(xiàng)，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平.10、B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判定，即可求解，得到答案.【詳解】在中，若，可得，滿足，即必要性成立；反之不一定成立，所以在中，是的必要不充分條件.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件和必要條件的判定，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，充分條件和必要條件的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論【詳解】解：當(dāng)“ω＝2”時(shí)，“函數(shù)f（x）＝sin（2x﹣）的最小正周期為π”當(dāng)函數(shù)f（x）＝sin（ωx﹣）的最小正周期為π”，故ω＝±2，故“ω＝2”是“π為函數(shù)的最小正周期”的充分不必要條件；故選：A12、B【解析】由三角函數(shù)的定義可列方程解出，需注意的范圍【詳解】由三角函數(shù)定義,解得,由,知,則.故選：B.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、6【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分別求出和，計(jì)算即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，，，.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求函數(shù)值的問(wèn)題，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算.屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足，函數(shù)定義域?yàn)榭键c(diǎn)：函數(shù)定義域15、【解析】利用、兩角和的正弦展開(kāi)式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】故答案為：.16、-1【解析】根據(jù)冪函數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，時(shí)，函數(shù)在(0，＋∞)上遞減，即可得出答案.【詳解】解：∵冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，∴可?。?，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上遞減，∴α＜0，故＝－1.故答案為：-1.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1），；，.（2）農(nóng)戶應(yīng)該選擇方案三，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)矩形面積與梯形的面積公式表示即可得答案；（2）先根據(jù)基本不等式研究方案甲得面積的最大值為，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合（1）研究，的最大值即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：對(duì)于方案乙，當(dāng)時(shí)，，所以矩形的面積，；對(duì)于方案丙，當(dāng)時(shí)，，由于所以，所以梯形面積為，.【小問(wèn)2詳解】解：對(duì)于方案甲，設(shè)，則，所以三角形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故方案甲的雞圈面積最大值為.對(duì)于方案乙，由（1）得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故方案乙的雞圈面積最大值為；對(duì)于方案丙，，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故方案丙的雞圈面積最大值為；由于所以農(nóng)戶應(yīng)該選擇方案丙，此時(shí)雞圈面積最大.18、（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）將點(diǎn)代入解析式求解；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解最大值；（3）零點(diǎn)存在性定理證明在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以在區(qū)間上的最大值是.所以.所以在區(qū)間上的最大值是.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，又在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，由零點(diǎn)存在性定理可得：在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)19、（1）（2）【解析】（1）利用列方程，化簡(jiǎn)求得.（2）利用列方程，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式、兩角差的余弦公式求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】，，，，由于，所以.【小問(wèn)2詳解】若，則，，當(dāng)時(shí)，上式不符合，所以，，所以，由兩邊平方并化簡(jiǎn)得，，所以，所以，.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則計(jì)算即可；（2）先根據(jù)指對(duì)數(shù)運(yùn)算得，進(jìn)而，再將其轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】解：（1）原式＝＝（2）∴，，化為：，，解得∴21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與值域即可證明；（2）由已知條件，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得對(duì)恒成立，然后分離參數(shù)，利用基本不等式求出最值即可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，則，由，可得，即，又，，所以，即，則在上為增函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)槿我?，都有恒成立，且函?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以對(duì)恒成立，又由（1）知函數(shù)在上為增函數(shù)，所以對(duì)恒成立，由，有，所以對(duì)恒成立，設(shè)，由遞減，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，即的取值范圍是.22、