豐臺區(qū)高三下學期綜合練習（二）（二模）數(shù)學試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學二模試卷一、選擇題共10小題,每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。1。集合的子集個數(shù)為（）A。4 B.6 C。7 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】先求出集合A，再根據(jù)集合A的元素個數(shù)即可求出集合A的子集個數(shù)?！驹斀狻拷?∵，∴集合A的子集個數(shù)為個，故選：D.【點睛】本題考查集合子集的個數(shù)，屬于基礎題。2.函數(shù)的定義域為(）A. B。C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由分母中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于0，求解一元二次不等式得答案?！驹斀狻坑桑没??！嗪瘮?shù)的定義域為.故選:C?！军c睛】本題考查了求二次根式函數(shù)的定義域，分式函數(shù)的定義域，一元二次不等式的解法，屬于基礎題.3。下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A。 B。C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由題意利用三角函數(shù)的周期的計算公式，分別求選項中函數(shù)的最小正周期，即可求解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期為，故排除A；由函數(shù)的最小正周期為,故排除B;由函數(shù)的最小正周期為，故排除C;由正切函數(shù)的最小正周期的公式,可得函數(shù)的最小正周期為，故D滿足條件，故選:D?！军c睛】本題考查了三角函數(shù)的最小正周期的計算與求解,其中解答中熟記正弦型、余弦型和正切函數(shù)的最小正周期的計算公式是解答的關鍵，著重考查計算能力。4.已知數(shù)列的前n項和，則（)A.3 B.6 C.7 D。8【答案】B【解析】【分析】由，可得時，.即可得出結(jié)論.【詳解】由數(shù)列的前n項和，當時,，則.故選:B.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關系式的應用，其中解答中熟記數(shù)列和的關系,準確運算是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.5.設，為非零向量，則“”是“”的(）A。充分而不必要條件 B。必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】,為非零向量,“”平方后展開，進而判斷出結(jié)論.【詳解】,為非零向量，“”展開為:∴“”是“”的充要條件。故選：C。【點睛】本題考查充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題。6.已知拋物線M：的焦點與雙曲線N:的一個焦點重合，則（）A. B。2 C。 D.4【答案】D【解析】【分析】分別求出拋物線和雙曲線的焦點坐標，即可得到答案.【詳解】拋物線的焦點坐標為，雙曲線的方程為,，,則.因為拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，所以，即.故選：D?！军c睛】本題主要考查拋物線的標準方程和焦點坐標，同時考查了雙曲線的焦點坐標，屬于簡單題.7.已知函數(shù)，則（)A.是奇函數(shù),且在定義域上是增函數(shù)B。是奇函數(shù)，且在定義域上是減函數(shù)C.是偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)D。是偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意,先求出函數(shù)的定義域,進而分析可得，即可得函數(shù)為奇函數(shù)，求出函數(shù)的導數(shù)，分析可得為上的減函數(shù)；即可得答案?！驹斀狻扛鶕?jù)題意,函數(shù)，則有,解可得，即的定義域為；設任意，,則函數(shù)為奇函數(shù)；，其導數(shù)，在區(qū)間上，，則為上的減函數(shù)；故選：B。【點睛】本題考查的是對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查了學生對基本方法的掌握情況,屬于基礎題。8。如圖所示，一個三棱錐的主視圖和左視圖均為等邊三角形，俯視圖為等腰直角三角形，則該棱錐的體積為（）A。 B。 C。 D。【答案】A【解析】【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖，進一步求出幾何體的體積。【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐體.如圖所示:所以：,由于三棱錐體的左視圖和主視圖都為等邊三角形，所以，所以。故選：A.【點睛】本題考查求由三視圖還原幾何體的體積問題，關鍵在于由三視圖能準確地還原幾何體，并且注意線段間的位置關系和長度，屬于中檔題。9。在中，，，，則邊上的高等于（）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知及余弦定理可求的值，進而利用同角三角函數(shù)基本關系式可求的值,設邊上的高為h,利用三角形面積公式即可計算得解?！驹斀狻吭谥?，，，，由余弦定理可得：,可得,設邊上的高為h，則，即，解得：.故選：B?！军c睛】本題主要考查了余弦定理,三角函數(shù)的基本關系式,以及三角形的面積公式的應用，著重考查推理與運算能力.10。某中學舉行了科學防疫知識競賽。經(jīng)過選拔，甲、乙、丙三位選手進入了最后角逐。他們還將進行四場知識競賽.規(guī)定:每場知識競賽前三名的得分依次為a,b，c（，且a，b，）；選手總分為各場得分之和。四場比賽后，已知甲最后得分為16分，乙和丙最后得分都為8分，且乙只有一場比賽獲得了第一名，則下列說法正確的是（)A。每場比賽的第一名得分a為4B。甲至少有一場比賽獲得第二名C.乙在四場比賽中沒有獲得過第二名D.丙至少有一場比賽獲得第三名【答案】C【解析】【分析】根據(jù)四場比賽總得分，結(jié)合a，b，c滿足的條件，可求出a,b，c，再根據(jù)已知的得分情況，確定甲、乙、丙的得分情況，問題即可解決?！驹斀狻俊呒鬃詈蟮梅譃?6分，∴,接下來以乙為主要研究對象，①若乙得分名次為：1場第一名，3場第二名，則，則，而，則，又，，此時不合題意；②若乙得分名次為：1場第一名,2場第二名，1場第三名，則,則，由，且a，b,可知，此時沒有符合該不等式的解，不合題意；③若乙得分名次為：1場第一名，1場第二名，2場第三名，則，則，由，且a，b，可知，此時沒有符合該不等式的解,不合題意；④若乙得分名次為：1場第一名，3場第三名，則，此時顯然，,則甲的得分情況為3場第一名，1場第三名,共分，乙的得分情況為1場第一名，3場第三名，共分，丙的得分情況為4場第二名，則，即，此時符合題意.綜上分析可知,乙在四場比賽中沒有獲得過第二名.故選：C.【點睛】本題考查了學生的邏輯推理能力和閱讀理解能力，屬于中檔題。二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知復數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的模長的定義直接進行計算即可?！驹斀狻俊邚蛿?shù),∴。故答案為：。【點睛】本題考查復數(shù)的模的概念及求法，屬于基本題.首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數(shù)相關基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為12.已知直線的傾斜角為，則______.【答案】【解析】【分析】先求出直線的斜率,再求直線的傾斜角，即可求解的值.【詳解】直線的斜率，∴直線的傾斜角?！?故答案:.【點睛】本題考查了直線傾斜角的求法，重點考查了直線斜率與傾斜角的關系，屬基礎題。13.已知雙曲線的離心率為,則該雙曲線的漸近線方程為_______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷秒p曲線的離心率求出的關系，然后求解漸近線方程即可?！驹斀狻坑梢阎芍x心率由雙曲線的焦點在x軸上，漸近線方程為：故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線的方程、離心率、漸近線，考查了學生轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學運算能力，屬于基礎題.14。天干地支紀年法（簡稱干支紀年法)是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法。天干有十，即:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支紀年法中，天干地支對應的規(guī)律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支紀年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中國成立100周年。這一百年，中國逐步實現(xiàn)中華民族的偉大復興.使用干支紀年法，2049年是己巳年,則2059年是______年；使用干支紀年法可以得到______種不同的干支紀年?！敬鸢浮?1).己卯(2)。60.【解析】【分析】根據(jù)題意，分析干支紀年法的規(guī)律，可得天干地支的對應順序，據(jù)此可得2059年是己卯年，又由天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，據(jù)此可得天干地支共有60種組合，即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意,天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二,即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥;其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未,甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…,若2049年是己巳年，則2059年是己卯年；天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，則天干地支共有60種組合，即使用干支紀年法可以得到60種不同的干支紀年；故答案為:己卯，60.【點睛】本題考查合情推理的應用，關鍵是掌握“干支紀年法"的規(guī)律,屬于基礎題.15.已知集合.由集合P中所有的點組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如美麗的“水滴”.給出下列結(jié)論：①“水滴”圖形與y軸相交，最高點記為A,則點A的坐標為;②在集合P中任取一點M，則M到原點的距離的最大值為3;③陰影部分與y軸相交，最高點和最低點分別記為C,D，則；④白色“水滴"圖形的面積是.其中正確的有______?！敬鸢浮竣冖邰堋窘馕觥俊痉治觥竣俜匠讨?令求得y的取值范圍，得出最高點的坐標；②利用參數(shù)法求出點M到原點的距離d，求出最大值;③求出知最高點C與最低點D的距離;④計算“水滴"圖形的面積是由一個等腰三角形，兩個全等的弓形和一個半圓組成?！驹斀狻繉τ冖僦校匠讨?，令，得，所以，其中，所以，所以，解得;所以點,點，點,點，所以①錯誤;對于②中,由，設,則點M到原點的距離為，當時，，d取得最大值為3，所以②正確；對于③中，由①知最高點為，最低點為,所以,③正確；對于④中,“水滴”圖形是由一個等腰三角形，兩個全等的弓形，和一個半圓組成；計算它的面積是,所以④正確;綜上知，正確的命題序號是②③④。故答案為：②③④.【點睛】本題主要考查了以集合為背景的命題的真假判定，其中解答中涉及到三角函數(shù)的性質(zhì),圓的參數(shù)方程,以及圓的面積公式等知識點的綜合考查，著重考查推理與運算能力，屬于中檔試題。三、解答題共6小題,共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，四邊形為正方形，，,，,。（1)求證:平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值?！敬鸢浮浚á瘢┮娊馕觯á颍窘馕觥俊痉治觥?1）推導出,，由此能證明平面.（2）推導出，.。建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值?！驹斀狻孔C明：（Ⅰ）因為，，所以，因為，,所以平面。（Ⅱ)解：因為平面，平面，平面，所以，.因為四邊形為正方形，所以。如圖建立空間直角坐標系，則，，，，,，.設平面的法向量為，則，即令，則，。于是。平面的法向量為。設直線與平面所成的角為,所以。所以直線與平面所成角的正弦值為?！军c睛】本題主要考查證明線面垂直和線面角，考查學生的邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題。17.已知等差數(shù)列的前n項和為，，。（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若等比數(shù)列滿足,且公比為q，從①；②；③這三個條件中任選一個作為題目的已知條件，求數(shù)列的前n項和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ)時，；時，;時，.【解析】【分析】（Ⅰ)先設等差數(shù)列的公差為d，,由題設條件求出等差數(shù)列的基本量:首項與公差，再求其通項公式；(Ⅱ）先選擇公比q的值，再結(jié)合其它題設條件計算出結(jié)果.【詳解】解：(Ⅰ）設等差數(shù)列公差為d，又因為，且，所以,故，所以；（Ⅱ)由（Ⅰ）可知，，又，所以.若選擇條件①，可得,；若選擇條件②，可得，；若選擇條件③,可得,?！军c睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式,求等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和，考查分組求和法，屬于中檔題.18.為了增強學生的冬奧會知識,弘揚奧林匹克精神，北京市多所中小學校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動.為了了解學生在越野滑輪和旱地冰壺兩項中的參與情況，在北京市中小學學校中隨機抽取了10所學校，10所學校的參與人數(shù)如下：（Ⅰ)現(xiàn)從這10所學校中隨機選取2所學校進行調(diào)查。求選出的2所學校參與越野滑輪人數(shù)都超過40人的概率；（Ⅱ）現(xiàn)有一名旱地冰壺教練在這10所學校中隨機選取2所學校進行指導,記X為教練選中參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學校個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望;(Ⅲ）某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個動作進行技術指導。規(guī)定：這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)"。在指導前，該校甲同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)"的概率為0。1.在指導后的考核中，甲同學總考核成績?yōu)椤皟?yōu)”.能否認為甲同學在指導后總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化？請說明理由。【答案】(Ⅰ）（Ⅱ）見解析，（Ⅲ)見解析【解析】【分析】（Ⅰ）記“選出的兩所學校參與越野滑輪人數(shù)都超過40人”為事件S,從這10所學校中隨機選取2所學校進行調(diào)查，可得基本事件總數(shù)為。參與越野滑輪人數(shù)超過40人的學校共4所，隨機選擇2所學校共種，利用古典概率計算公式即可得出概率.（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學校共4所.利用超幾何分布列計算公式即可得出。（Ⅲ）答案不唯一。示例：雖然概率非常小，但是也可能發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認為指導后總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化.【詳解】(Ⅰ）記“選出的兩所學校參與越野滑輪人數(shù)都超過40人"為事件S，現(xiàn)從這10所學校中隨機選取2所學校進行調(diào)查，可得基本事件總數(shù)為。參與越野滑輪人數(shù)超過40人的學校共4所,隨機選擇2所學校共種，所以(Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學校共4所.，，。X的分布列為:X012P.（Ⅲ）答案不唯一.答案示例1：可以認為甲同學在指導后總考核為“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化。理由如下:指導前，甲同學總考核為“優(yōu)"的概率為：。指導前，甲同學總考核為“優(yōu)"的概率非常小，一旦發(fā)生，就有理由認為指導后總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化。答案示例2：無法確定。理由如下：指導前，甲同學總考核為“優(yōu)”的概率為：.雖然概率非常小，但是也可能發(fā)生,所以，無法確定總考核達到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化。【點睛】本題考查古典概型，離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望,以及根據(jù)概率統(tǒng)計做分析和決策等相關問題,屬于中檔題.19.已知函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）求證：當時，；（Ⅲ）當時，若曲線在曲線的上方,求實數(shù)a的取值范圍?！敬鸢浮?Ⅰ）極大值1,無極小值；（Ⅱ）見解析;(Ⅲ)【解析】【分析】（Ⅰ）求導，列出隨x的變化,和的情況表，進而求得極值；(Ⅱ）令（)，求導，由得,則，進而得出函數(shù)的單調(diào)性，由此得證；（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知符合題意，再令，分及均可判斷不合題意，進而得出實數(shù)a的取值范圍。【詳解】（Ⅰ)因為，定義域,所以.令，解得.隨x的變化，和的情況如下：x00增極大值減由表可知函數(shù)在時取得極大值，無極小值；（Ⅱ）證明:令(），由得，于是，故函數(shù)是上的增函數(shù).所以當時,，即；（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知，滿足題意。令，.當時，若，，則在上是減函數(shù).所以時，,不合題意.當時，，則在上是減函數(shù),所以，不合題意.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍?！军c睛】本題考查運用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、證明不等式，求參數(shù)的范圍，關鍵在于構(gòu)造合適的函數(shù),求其導函數(shù)的正負,得出其函數(shù)的單調(diào)性，從而得出所構(gòu)造的函數(shù)的圖象趨勢,可以解決函數(shù)的極值、最值、不等式等相關問題，屬于難度題.20。已知橢圓C：（）經(jīng)過，兩點.O為坐標原點，且的面積為。過點且斜率為k(）的直線l與橢圓C有兩個不同的交點M，N，且直線,分別與y軸交于點S,T。(Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求直線l的斜率k的取值范圍;（Ⅲ)設，，求的取值范圍?！敬鸢浮浚á?（Ⅱ）(Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ)把點A坐標代入橢圓的方程得。由的面積為可知，，解得b，進而得橢圓C的方程。（Ⅱ）設直線l的方程為，，。聯(lián)立直線l與橢圓C的方程可得關于x的一元二次方程.，進而解得k的取值范圍.（Ⅲ）因為，，，，寫出直線的方程,令，解得.點S的坐標為。同理可得:點T的坐標為。用坐標表示，，，代入，，得。同理。由（Ⅱ）得，，代入，化簡再求取值范圍。【詳解】（Ⅰ）因為橢圓C：經(jīng)過點，所以解得.由的面積為可知,，解得，所以橢圓C的方程為。（Ⅱ)設直線l方程為，,。聯(lián)立，消y整理可得:。因為直線與橢圓有兩個不同的交點,所以，解得。因為，所以k的取值范圍是.（Ⅲ）因為，，，.所以直線的方程是：.令，解得。所以點