19.5 角的平分線（原卷版）VIP

19.5角的平分線會(huì)作一個(gè)角的平分線,能區(qū)別角的平分線與三角形的角平分線的異同點(diǎn).掌握角的平分線的性質(zhì)和判定,會(huì)應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問題.通過作三角形的角平分線，了解三條角平分線交于一點(diǎn)的事實(shí).知識點(diǎn)一作已知角的平分線用尺規(guī)作已知角的平分線已知:∠AOB.求:∠AOB的平分線.作法:如圖所示(1)以點(diǎn)0為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N(2)分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于的長為半徑畫弧,兩弧∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C(3)畫射線OC,射線OC即為所求.作圖依據(jù)構(gòu)造，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等,找到角的平分線.注意：(1)畫“射線OC”不能敘述為“連接OC”因?yàn)榻堑钠椒志€是一條射線，而不是線段(2)兩弧的交點(diǎn)應(yīng)在角的內(nèi)部找,因?yàn)橐鞯氖墙堑钠椒志€即學(xué)即練閱讀并填空．已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分線．作法：如圖所示，

①以點(diǎn)_________為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；②分別以點(diǎn)_________，_________為圓心，大于_________的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C；③畫射線_________．射線OC即為所求．上述作圖用到了全等三角形的判定方法，這個(gè)方法是_________．知識點(diǎn)二角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等書寫格式提示:(1)該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù),不需要再通過證全等三角形得到相等線段;(2)已知角的平分線及其上一點(diǎn)到角一邊的垂線段,常添加輔助線由角平分線上的已知點(diǎn)向另一邊作垂線段，即構(gòu)造“角的平分線性質(zhì)”的基本圖形,得到相等的兩條垂線段.即學(xué)即練1如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AD=BD，BF=AC，有下列結(jié)論：①△ADC≌△BDF；②BE⊥AC；③連接DE，則∠AED=135°．其中正確的結(jié)論有

即學(xué)即練2如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO:S

A．1:1:1 B．1:2:3 C．2:3:4 D．3:4:5知識點(diǎn)三角平分線性質(zhì)定理的逆定理1.逆定理在一個(gè)角的內(nèi)部(包括頂點(diǎn))且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上2.書寫格式如圖所示,即學(xué)即練1如圖，點(diǎn)B、C分別在∠A的兩邊上，點(diǎn)D是∠A內(nèi)一點(diǎn)，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BE=CF,BD=CD．求證：點(diǎn)D在∠BAC的平分線上．知識點(diǎn)四三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等即學(xué)即練（2018秋·上海浦東新·八年級校聯(lián)考期末）已知：如圖，BP、CP分別是△ABC的外角平分線，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．求證：PA平分∠MAN．題型一利用角平分線的性質(zhì)解決線段問題例1如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，若AB=12cm，則△DBE的周長等于

舉一反三1在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB的延長線上，∠BAC的平分線與∠CBD的平分線交于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)H．

(1)如圖1，當(dāng)∠C=80°時(shí)，求∠E的度數(shù)．(2)如圖2，連接CE，延長AC至點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F，過點(diǎn)E作EM⊥AG，垂足為M，求證：BC=CM+BF；舉一反三2（2023春·上海浦東新區(qū)?？计谀┤鐖D1，AD是∠BAC的角平分線，P為AD上任意一點(diǎn)，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N．

(1)垂線段PM、PN是否相等？請說明理由；(2)如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=5，AC=3，求BDDC(3)如圖3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，AD交BC的延長于點(diǎn)D，當(dāng)AB=5，AC=3時(shí)，求BC與CD的數(shù)量關(guān)系．題型二利用角平分線的性質(zhì)證明角之間的關(guān)系例2（2023秋·北京海淀·八年級北京市師達(dá)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，若∠A=56°，則∠BOC=．舉一反三1如圖，已知DB⊥AE于點(diǎn)B,DC⊥AF于點(diǎn)C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°，則∠DGF=．

舉一反三2在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，我們遇到這樣一個(gè)題目：“如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD，求證：∠B+∠ADC=180°．”結(jié)合學(xué)過的知識，可以分析如下：首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造相等線段，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后結(jié)合補(bǔ)角的知識使問題得到解決．請根據(jù)上述的思路，完成題目的證明

題型三角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用例3如圖，三條公路兩兩交叉，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫，若要求油庫到三條公路的距離都相等，則滿足條件的油庫的位置有（

）

A．1處 B．2處 C．3處 D．4處舉一反三1（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┮粔K三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三角形三條角平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高所在直線的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)舉一反三2如圖，三條公路把A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，現(xiàn)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）

A．三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)題型四角平分線的判定的應(yīng)用例4已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∠A=α．(1)如圖①，若∠A=50°，求∠BOC的度數(shù)．

圖①(2)如圖②，連接OA，求證：OA平分∠BAC.

圖②(3)如圖③，若射線BO與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)P，求證：OC⊥PC．

圖③舉一反三1如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC延長線上，∠ACB=100°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，且

(1)求∠ACE的度數(shù)；(2)求證：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD舉一反三2如圖，已知∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP相交于點(diǎn)P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分別為M、N．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①CP平分∠ACF；②∠BPC=1③∠APC=90°-1④S△APM其中結(jié)論正確的是（填寫結(jié)論的編號）（

）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④題型五角平分線的性質(zhì)在開放探究題型中的應(yīng)用例5已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于點(diǎn)E，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，BE與CD交于點(diǎn)O．(1)如圖1，求證：∠BOC=90°+1

(2)如圖2，連接OA，求證：OA平分∠BAC．

(3)如圖3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求ODOC

舉一反三1如圖（1），點(diǎn)C、點(diǎn)D在直線l1上，點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線l2上，且l1∥l2，連接AC、

(1)請?jiān)趫D（1）中，找出三對面積相等的三角形：；(2)利用（1）中的結(jié)論解決下面兩個(gè)問題：①將圖（1）中的△ABC、△ABD進(jìn)行以下操作：第一步，分別復(fù)制△ABC、△ABD，粘貼，如圖（2）所示的△A1B第二步，先將圖（2）中的△A1B1C、△A2B2D的頂點(diǎn)若直線A2B2與A1B1相交于點(diǎn)E，連接②如圖（4），折線型小路P﹣M﹣Q，將四邊形ABCD苗圃分成甲、乙兩塊，為了方便管理，要將折線型小路P﹣M﹣Q改為經(jīng)過點(diǎn)P的直線型小路，使得甲、乙的面積前后不發(fā)生改變．請你在圖（4）中畫出直線型小路PN（不需要尺規(guī)作圖，但要規(guī)范，并簡單說明作圖的關(guān)鍵步驟）．舉一反三2在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A，C，D在同一條直線上時(shí)，求證：AE=BD，AE⊥BD；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、D不在同一條直線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立，為什么；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長CF交AD于點(diǎn)G，∠AFG的大小固定嗎？若是，求出∠AFG的度數(shù)；若不是，請說明理由．一、單選題1．（2022秋·上海·八年級上海市民辦上寶中學(xué)?？计谥校俚浇堑膬蛇吘嚯x相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；②有兩條邊和第三條邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；③有兩條邊和第三條邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)的距離相等．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022秋·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，要使點(diǎn)到、的距離相等，且，點(diǎn)是（

）A．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)B．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)C．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)D．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)3．（2022秋·上海長寧·八年級上海市西延安中學(xué)校考期中）如圖，已知，按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交的兩邊于、兩點(diǎn)，連接；②分別以點(diǎn)、為圓心，以大于線段的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，連接、；③連接交于點(diǎn)．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．．二、填空題4．（2021秋·上海青浦·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，，是的角平分線，若，，則點(diǎn)到的距離為．

5．（2022秋·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，已知：中，平分交于D，，則D點(diǎn)到的距離是．6．（2022秋·上海·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，，M為邊BC上的點(diǎn)，連接AM，如果將△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)M到AC的距離是．7．（2022秋·上海閔行·八年級上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校西校?？计谥校┤鐖D，已知△ABC，的平分線交于點(diǎn)，，且，如果點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，那么的長為．三、解答題8．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC．求證：AE是∠DAB的平分線．9．（2022秋·上海閔行·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，，垂足為點(diǎn)D．(1)求證：；(2)過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作，垂足為點(diǎn)H．①請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，試用含有x的式子表示的長．10．（2022秋·上海·八年級上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是一條角平分線．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，若是的角平分線，可得到結(jié)論：．小紅的解法如下：過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是的角平分線，且，，_________________，（_________________________________________）______________，，(2)【類比探究】如圖2所示，若是的外角平分線，與的延長線交于點(diǎn)．求證：【拓展應(yīng)用】如圖3所示，在中，，、分別是、的角平分線且相交于點(diǎn)，若，直接寫出的值是__________．11．（2020秋·上海松江·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知∠AOB及點(diǎn)E、F，在∠AOB的內(nèi)