2023年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考專用）答案

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考

專用)

黃金卷06

考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上

第I卷(選擇題)

一、單選題

1.設(shè)全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合/={-1,2},5=3|/-4x+3=0},則華(/U8)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【分析】解方程求出集合民再由集合的運(yùn)算即可得解.

【詳解】由題意，B={x|x2-4x+3=0}={1,3},所以Zu8={-l,l,2,3},

所以。(ZuB)={-2,0}.

故選：D.

2.函數(shù)/(x)=J2x-1+lg(x-2)定義域?yàn)?)

A.[0,2)B.(2,+8)C.J，?)D.—,+co^

【答案】B

【分析】利用根號(hào)下的數(shù)大于等于0,對(duì)數(shù)真數(shù)大于0,解得函數(shù)的定義域.

[2x-l>0

【詳解】由題意可得：c八，解得x>2,

[x-2>0

故選：B.

2

3.設(shè)命題xo+l=O,則命題p的否定為()

A.VxgR,x2+1=0B.VxeR,x2+10

22

C.3xogR,xo+l=OD.3x0eR,xo+l^O

【答案】B

【分析】根據(jù)存在命題的否定為全稱命題可得結(jié)果.

【詳解】???存在命題的否定為全稱命題，

命題p的否定為“VxeR,f+ixO”，

故選：B

4.某疫情防控志愿者小組有20名志愿者，由黨員和大學(xué)生組成，其中有15人是黨員，有

9人是大學(xué)生，則既是黨員又是大學(xué)生的志愿者人數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由題意可得黨員人數(shù)和大學(xué)生人數(shù)之和減去志愿者小組總?cè)藬?shù)，即可得結(jié)果

【詳解】因?yàn)橹驹刚咝〗M有20名志愿者，由黨員和大學(xué)生組成，其中有15人是黨員，有9

人是大學(xué)生，

所以由Venn可得既是黨員又是大學(xué)生的志愿者人數(shù)為15+9-20=4.

故選：C

5.已知等差數(shù)列｛%｝,E,是數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和，對(duì)任意的〃eN*，均有風(fēng)4$.成立，則

.不可能的值為（）

%

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】由已知分析可得％<0,公差d>0,討論當(dāng)4=0時(shí)，當(dāng)％<0，%>0,時(shí)，4與4

的關(guān)系，計(jì)算即求得久的取值范圍，得出結(jié)果.

%

【詳解】等差數(shù)列｛%｝,對(duì)任意的〃eN*,均有&《S,成立，即$6是等差數(shù)列｛對(duì)｝的前〃項(xiàng)

和中的最小值，必有《<0,公差d>0,

當(dāng)q=0，此時(shí)S5=￡,吳、S6是等差數(shù)列｛對(duì)｝的前n項(xiàng)和中的最小值，此時(shí)綜=4+5d=0,

當(dāng)〃6<0,。7>0，此時(shí)§6是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和中的最小值，此時(shí)〃6=〃|+5d<0,

幺+9

%=q+6d>0,即-6<—<-5,則—="+河=d-----=1+---，則有一^>4,

d%q+6d色+6曳+6"7

dd

綜合可得：包之4分析選項(xiàng)可得：BCD符合題意；

%

故選：A

6.記△/8C的內(nèi)角4,B,6的對(duì)邊分別為a,b,c,Ksin2B+sin2C-sinSsinC+cos2A=l

試卷第2頁，共18頁

則4=（）.

兀r5兀_71-2兀

A.-B.■-C.-D.—

6633

【答案】C

【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；

【詳解】解:由題意得sin?3+si解C+cos2A-\=sin2B+sin2C-sin2A=sinfisinC，

由正弦定理可得從+c2-

所以cos/l="^t=:，又Ze（0/）,所以4=1

2bc2J

故選：c

7.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將在2022年2月4日在中華人民共和國北京市和張家口

市聯(lián)合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦夏季奧

林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市.同時(shí)中國也成為第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿貫’'（先

后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)、青奧會(huì)、冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)）國家.根據(jù)規(guī)劃，國家體育場(chǎng)（鳥巢）

成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場(chǎng)館.國家體育場(chǎng)"鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈

的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓

引切線AC,BD（如圖），且兩切線斜率之積等于-三，則橢圓的離心率為（）

【答案】B

【分析】分別設(shè)內(nèi)外層橢圓方程為W+《=1（〃>b>0）、

----7-~r=1(加〉1),進(jìn)而設(shè)

a~b(mby

切線/C、8。分別為歹=勺（工+加。）、y=k2x+mb,聯(lián)立方程組整理并結(jié)合△=0求勺、右關(guān)

于a、b、加的關(guān)系式，再結(jié)合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.

【詳解】若內(nèi)層橢圓方程為《+《=1（。>6>0），由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為

ab

22

（ma）2（mb）2

/.A(-ma90),B(0,mb)f設(shè)切線/C為)=勺(x+加。)，切線BD為y=k2x+mb,

y=k1（x+ma）

22

：.xy,整理得伍干+從1+2maWx+,"%W-q2〃=0,由A=o知:

F+.=I

[a2b2

（2,w%：）2-4（/父+〃）（病a%_/〃）=0,整理得奸=匕.一二

a\-m

y=k2x+mb

同理,x2y2]，可得抬一1），

r+r=lQ~

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)內(nèi)外橢圓的離心率相同設(shè)橢圓方程，并寫出切線方程，聯(lián)立方程

結(jié)合△=()及已知條件，得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.

8.已知函數(shù)/(x)=e“，21nx-/+ax,若/(幻>0恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

A.g+8)B.(l,+oo)C.信+8)D.(G+8)

【答案】C

【分析】依題意可得e次+依>/+21nx=e?般+21nx，進(jìn)而可得——在工?0,收)上恒

x

成立，構(gòu)造函數(shù)必》)=亞，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值，即可求出參數(shù)的取值

X

范圍.

【詳解】/（X）>o等價(jià)于鏟+G>f+21nx=e2m*+2U1X.

令函數(shù)gtr)=e，+x,則g'(X)=e'+l>0,故g(x)是增函數(shù).

em+ax>e2g'+21nx等價(jià)于6>21nx(x>0),g[Ja>.

X

八十皿7/、21nx、2-2Inx

令函數(shù)力(x)=----，貝()〃(%)=----；—?

XX

當(dāng)X￡(o,e)時(shí)，h\x)>0,%(x)單調(diào)遞增：當(dāng)X￡(e,+oo)時(shí)，h\x)<0,力(x)單調(diào)遞減.

2

AWmax=A(e)=".

e

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(I，+8).

故選：C.

二、多選題

9.設(shè)〃?eR,i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(w+2)+("L2)i.則下列說法正確的是()

A.若z為實(shí)數(shù)，則,〃=2B.若z為純虛數(shù)，則〃?=-2

試卷第4頁，共18頁

C.當(dāng)"1=1時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z（3,l）D.目的最小值為2g

【答案】ABD

【分析】利用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件、復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件、復(fù)數(shù)的幾何意義、模的定

義分別判斷即可.

【詳解】若z為實(shí)數(shù)，則虛部為0,即〃?=2,故A正確；

若z為純虛數(shù)，則實(shí)部為0,即"7=-2,故B正確；

當(dāng)，”=1時(shí)，z=3-i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z（3,-l）,故C錯(cuò)誤；

|z|=J（〃?+2）2+（加一2）2+8220（當(dāng)且僅當(dāng)〃7=o時(shí)取等號(hào)），故D正確，

故選:ABD.

10.若甲組樣本數(shù)據(jù)為，々，…，x,（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2,方差為4,乙組樣本

數(shù)據(jù)3占+。，3x2+a,3x.+a的平均數(shù)為4,則下列說法正確的是（）

A.a的值為-2B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為36

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同

【答案】ABD

【分析】結(jié)合平均數(shù)、方差、中位數(shù)、極差的概念以及平均數(shù)的和差倍分性質(zhì)，及一組數(shù)據(jù)

同時(shí)乘一個(gè)數(shù)，同時(shí)加一個(gè)數(shù)對(duì)方差的影響，逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意可知：3x2+a=4,故。=一2,故A正確；

乙組樣本數(shù)據(jù)方差為9x4=36,故B正確：

設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為百，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3%-2,所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣

本中位數(shù)不一定相同，故C錯(cuò)誤；

甲組數(shù)據(jù)的極差為Xg-x*,則甲組數(shù)據(jù)的極差為=

所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同，故D正確；

故選：ABD.

11.下列說法正確的有（）

A.若x<:，則2x+」二的最大值是-1

22x-l

41

B.若x,y,z都是正數(shù)，且x+j，+z=2,則--+——的最小值是3

x+1y+z

C.若x>0,y>0,x+2y+2號(hào)=8,則x+2y的最小值是2

D.若實(shí)數(shù)x,y滿足肛>0,則一匚+二的最小值是4-2a

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,湊分母，結(jié)合基本不等式，可得答案；對(duì)于B,根據(jù)基本不等式，結(jié)合“1”

的妙用，可得答案；對(duì)于C,根據(jù)基本不等式的變式，整理出關(guān)于所求整式的二次不等式，

可得答案；對(duì)于D,采用整體思想進(jìn)行換元，分離常數(shù)，結(jié)合基本不等式，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閤<；,所以2x-l<0,所以l-2x>0,所以

2、+e=（21）+￡+-［2）+匕］+V2.J（心）占=1,當(dāng)且僅

當(dāng)1-2》=丁1，即x=0時(shí)等號(hào)成立，所%+不二的最大值為-1,故A正確；

l-2x2x-\

對(duì)于B,因?yàn)閤,y>z都是正數(shù)，且x+?+z=2,所以x+l+y+z=3,x+l>0,y+z>0,

d41\（4、

所以

.對(duì)

4115?4（y+z）?x+115+2,^±￡1=3,

所以"1+枳=3>-

x+1y+z一3\x+ly+z

，當(dāng)且僅當(dāng)4&+：）=五1,即x+l=2（y+z）,即［:時(shí)等號(hào)成立，所以工+」一

的最小值為3,故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)閤>0,y>0,所,即2孫4（龍+『一（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等

號(hào)成立），因?yàn)閤+2y+2n，=8,所以2孫=8-（x+2y）,所以8《+2小,所以

（x+2y）2+4（x+2y）-32>0,解得x+2y4-8（舍去）或x+2y24,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2時(shí)

等號(hào)成立，所以x+2y的最小值為4,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令x+y=f,x+2y=s,則x=2f-s,y=s-t,因?yàn)閷O>0,所以x,y同號(hào)，則

s,f同號(hào)，所以上+二2二=4一三一義44-4號(hào)哥=4一班，當(dāng)且僅當(dāng)士=&，即s="

x+yx+2ytsvtsts

時(shí)取等號(hào)，所以‘一+3-的最大值是4-2或,當(dāng)且僅當(dāng)X=。時(shí)，等號(hào)成立，故D正

x+yx+2y

確.

故選：ABD.

12.已知尸為橢圓C:g：=l的左焦點(diǎn)，直線/:尸質(zhì)（心0）與橢圓C交于Z、8兩點(diǎn)，

4￡_Lx軸，垂足為E,8E與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,則（）

14

A.由+國的最小值為2B.■的面積的最大值為y/2

C.直線BE的斜率為!

D.為直角

2

試卷第6頁，共18頁

【答案】BCD

【分析】根據(jù)給定條件設(shè)出點(diǎn)/、P坐標(biāo)，結(jié)合橢圓定義、均值不等式、斜率坐標(biāo)公式逐項(xiàng)

分析計(jì)算作答.

【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)尸'，由橢圓對(duì)稱性知線段尸尸'互相平分于點(diǎn)0,則四邊形

ZF8F為平行四邊形，如圖，

則尸|+|"|=|/尸|+|/尸'|=4,有由+向用+1W)(舟而

9|SF|4|

=*鼾調(diào)“當(dāng)且僅當(dāng)畫二百,即

Q

|8/|=2|/尸|=；時(shí)取"=”，A不正確;

設(shè)他M，"。，則］4+會(huì)2杼9?詈，當(dāng)且僅當(dāng)手若，即

|%|=&|%|=應(yīng)時(shí)取心”,

即|與卜|外區(qū)后，因ZELx軸，垂足為E,則S/B￡=2S“OE=|XO|?|K/血，B正確;

因4(%,%),有叢=左，由橢圓對(duì)稱性可得8(-%,-為)，而E(%,0),則直線BE的斜率

x()

kBE=-=\k,c正確：

2玉)2

22222222?2_,2i

設(shè)尸(〃?,〃)，由至+區(qū)=1及上-+土=1得，生二%+匚區(qū)=0,即—2^.=-

424242病一X：2

2211

直線以，尸8的斜率有原/%內(nèi)=土也.生也=仁嗎=_彳，而kpB=kB￡=gk,

nt-xQm+%om-x022

于是得Ka=-g，有3屋=%1-g)=T，所以/P/8為直角，D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過橢圓中心的弦(除橢圓長軸外)與橢圓二焦點(diǎn)圍成平行四邊形.

第H卷(非選擇題)

三、填空題

13.長方體/3CD—44GR中，AB=AD=2,DDt=4,則點(diǎn)8到平面的距離為

0

【答案】I

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面4G。的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.

【詳解】解：在長方體44G4中，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,44所在直線分

別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?8=4。=2,44=4,所以4(0,。,0),5(2,0,0),。(2,2,0),￡>(0,2,0),40,0,4),G(2,2,4),

設(shè)平面4C。的法向量為：n=(x,y,z)

葩=(2,2,0),麗=(0,2,-4)

.1萬.4G=02x+2y=0,,一

［歷.麗=02y-4z=0,…1得：〃=(-2,2,1)

又8。=(-2,2,0)

BD-n\|4+4+0|8

點(diǎn)B到平面4G。的距離為：一口一-j

3,

故答案為：I

14.已知單位向量￡3的夾角為60",心-5與￡垂直，則％=

【答案】y##0.5

【分析】由與￡的數(shù)量積為0可得％值.

—1

【詳解】tz-6=1x1xcos60°=—,

2

試卷第8頁，共18頁

__—_2—―1|

筋與￡垂直，則(左。一6)?。=左。-ba=k--=Q,A=-.

故答案為：y.

15.若函數(shù)"x)=[(；—?x+l：E：的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

【答案】[2,+8)

【分析】分a=l,a<1和a>l三種情況討論，結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)

在對(duì)應(yīng)區(qū)間的值域，再根據(jù)題意列出不等式，從而可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=x2-2nx+6=(x-@2+6

當(dāng)a=l時(shí)，x>\,/(X)=X2-2?X+6=(x-a)-+6-a2>5,

x<l,/(x)=(a-l)x+l=l,

則此時(shí)函數(shù)/(x)的值域不是R,

故a=1不符合題意；

當(dāng)a<1時(shí)，x>l,/(x)=x2-2ax+6>-2a+7,

x<l,/(x)=(6r-l)x+l>a,

則此時(shí)函數(shù)/(x)的值域不是R,

故a<1不符合題意；

當(dāng)a>l時(shí)，x>l,/(x)-%2-2ax+6=(x-af+6-a2>6-a2,

x<\,/(x)=(a-l)x+l<a,

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)"(:9A+y-1,的值域?yàn)镽,

[x-2ax+6,x>\

[a>1

所以6-/<J解得422,

綜上所述實(shí)數(shù)。的取值范圍是[2,+8).

故答案為：[2,+8).

16.已知耳，乃是雙曲線，一/=1(〃>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)，尸為曲線上一點(diǎn)，”隼=60。,

△PF、網(wǎng)的外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的4倍.若該雙曲線的離心率為e,則e?=.

12

【答案】y

【分析】根據(jù)雙曲線的定義，設(shè)尸片=嘰尸?=〃，結(jié)合4；年=60。利用余弦定理可得

nw=4b2,再根據(jù)等面積法求得內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式，結(jié)合正弦定理可得外接圓半徑的表達(dá)

式，進(jìn)而列式求解離心率即可

【詳解】由題意，'設(shè)PF、=m,PF2=n,因?yàn)?￡氏=60。，故(2。2=〃22+〃2-2加〃3$6()0,

即4c2=(加-〃)~+加〃，根據(jù)雙曲線的定義有4,=4/+〃?〃，故加〃=4〃.所以△尸百工的面

積為S=5〃z〃sin60u=6〃.又(〃2+〃)2=(加一〃『+4加〃=4W+16〃，故加+〃=2+3〃.

1[\h~

故內(nèi)切圓半徑「滿足s=：(機(jī)+〃+2c)r=，解得/?=/；一.又△「￡鳥的外接圓半

2y/c+3b2+c

徑出滿足2R=-^G，故尺=也，由題意半=/4」〃：,即,百#=6〃_，，

sm60°33Vc2+3ft2+C

所以/卜2+3此=(6材-/)\故5c2=12〃，故5c2=12c2-⑵2,解得e2=￡

_12

故答案為：—

四、解答題

17.已知數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“=2a”+1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式％;

(2)若S“=-127,求〃.

【答案】(1)%=-2"\(2)〃=7.

【分析】(1)由/、S”的關(guān)系求q,可得%=2%_|,根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可寫出｛%｝的

通項(xiàng)公式；

(2)由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式有S“=-2"+l,結(jié)合已知條件求”即可.

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，q=-l；

當(dāng)”22,an=Sn-Sn_t=(2a?+1)-(2an_,+1)=2a?-2a?..,,即?！?21，

???｛%｝是首項(xiàng)為T,公比為2的等比數(shù)列，所以勺=-2"-1

⑵s=g=g=-2”+i,

"1-41-2

由Sn=T27,得一2"+1=-127,解得〃=7.

18.如圖，在四棱錐尸一48a)中，底面/8C。是4長為的正方形，側(cè)面以。_1_底面/8C。,

M為口的中點(diǎn)，PA=PD=y/[o.

試卷第10頁，共18頁

(1)求證：尸C〃平面8A/。；

(2)求二面角M-BD-P的大小.

【答案】(1)證明見解析

(2)30°

【分析】⑴連接4c交8D于N,連接由三角形中位線知MV〃尸C即得證；

⑵取力。的中點(diǎn)O,連接OP,OM說明OP、OD、ON兩兩相互垂直，則分別以。。、ON、

OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-盯z.利用向量法即可求出二面角的

大小.

【詳解】(1)連接/C交8。于N,連接

在正方形/BCD中，ACcBD=N,

DC

是4C的中點(diǎn).

又〃是N尸的中點(diǎn)，

...AW是的中位線，MN//PC,

:MNu面BMD,PC0面BMD,

二尸C〃平面BMD,

(2)取力。的中點(diǎn)O,連接。P,ON.

在中，PA=PD,。是ND的中點(diǎn)，

OPVAD,

又平面P/D_L平面N8CD,OPu平面以。，平面PNOc平面=，

OPJ■平面48CD

在正方形/BCD中，O,N分別是的中點(diǎn)，

?.ONLAD,

：.OP,OD,ON兩兩相互垂直，分別以8,ON,O尸所在直線為x軸，y軸，z軸建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-用z

.??麗=(-3,0,半)，PP=(-2,0,76),麗=(-4,4,0).

設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量或=(x,y,z),

則怛黑,即卜'+冬=必

［n,1DB,

i［-4x+4y=0,

取x=l,得〃］=（1,1,指）,

/.1=（1,1,&）是平面MBD的一個(gè)法向量：

同理，元=（百，百，應(yīng)）是平面尸8。的一個(gè)法向量，

/一一\_,n21x^3+lx-\/3+A/6X-^2-^3

??'"斕同.同"+『+（病2*J詆2+肉+（偽22

設(shè)二面角M-BD-P的大小為0,

由圖可知，cos6=cos<或，/j^>=—,且6為銳角，

0=30°,

故二面角M-BD-P的大小是30°.

19.某校在2021年的綜合素質(zhì)冬令營初試成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績，并將成績

共分成五組:第1組［75,80）,第2組［80,85）,第3組［85,90），第4組［90,95），第5組［95,100］,

得到的頻率分布直方圖如圖所示.且同時(shí)規(guī)定成績小于85分的學(xué)生為“良好”，成績?cè)?5分

及以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格，面試通過者將進(jìn)入

復(fù)試.

試卷第12頁，共18頁

(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)；

(2)如果用分層抽樣的方法從“良好”和“優(yōu)秀”的學(xué)生中共選出5人,再從這5人中選2人發(fā)言，

那么這兩人中至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？

(3)如果第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列，規(guī)定初試時(shí)筆試成績得分從高到低排名在前18%

的學(xué)生可直接進(jìn)入復(fù)試，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)初試時(shí)筆試成績至少得到多少分才能直接

進(jìn)入復(fù)試？

【答案］⑴82.5

⑵2

10

(3)93

【分析】(1)根據(jù)最高小長方形底邊中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)，即可得到答案；

(2)先計(jì)算出5人中“良好”的學(xué)生和“優(yōu)秀”的學(xué)生的人數(shù)，再計(jì)算出事件“5人中選2人”有

10種可能，其中事件“至少有一人是“優(yōu)秀有9種可能，最后根據(jù)古典概型的公式即可求解；

(3)由第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列和“優(yōu)秀”學(xué)生的頻率為0.6,列方程組求出a=0.04,

?=0.06,接著判斷出初試時(shí)筆試成績得分從高到低排名在18%的學(xué)生分?jǐn)?shù)在第四組，設(shè)為

至少x分能進(jìn)入面試，由此可得(95-x)x0.04+0.02x5=0.18,即可求解.

(1)

根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)為:(80+85)=82.5；

(2)

“良好，，的學(xué)生頻率為(0.01+0.07)x5=0.4,“優(yōu)秀”學(xué)生頻率為1-0.4=0.6；

由分層抽樣可得“良好”的學(xué)生有5x04=2人，“優(yōu)秀”的學(xué)生有3人，

將三名優(yōu)秀學(xué)生分別記為小B,C,兩名良好的學(xué)生分別記為a,b,

則這5人中選2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10種，

其中至少有一人是“優(yōu)秀”的基本事件有：共9種，

所以至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是P=\

⑶

由第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列得

(0.02+?)x5x40=2/Mx5x40=>0.02+n=2m,①

又由(2)知("+0.02+m)x5=0.6,(2)

由①②可得m=0.04,n-0.06

第五組人數(shù)頻率為0.02x5=0.1=10%,

第四、五組人數(shù)的頻率為(0.02+0.04)x5=0.3=30%,

故初試時(shí)筆試成績得分從高到低排名在18%的學(xué)生分?jǐn)?shù)在第四組,設(shè)至少得x分能進(jìn)入面試,

貝IJ(95-x)x0.04+0.02x5=0.18nx=93,

即根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)初試時(shí)筆試成績至少得到93分才能直接進(jìn)入復(fù)試.

°八6rc兀-bsin/1/r^sin8+sinCa,,_

20.在①+。2-6~)sin8=——ac且8>:；(2)-------=V3<7；③二一-——:—7—這二

\>241-cososin/1-sinCb-c

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.

問題：在“5C中，角4民。的對(duì)邊分別為a,6,c,且.

⑴求8；

(2)若。為邊NC的中點(diǎn)，且a=3,c=4,求中線8。長.

【答案】(1)8=?

⑵卑

2

【分析】(1)若選①：利用余弦定理和二倍角公式得到sin28=^,求出8=f；若選②：

利用正弦定理和夾角公式sin(3+?]=乎，求出8=。；若選③：由正弦定理和余弦定理

7T

求出8=工.

3

(2)利用余弦定理求出6=2若，利用數(shù)量積的運(yùn)算即可求出8。長為叵.

2

【詳解】(1)若選①：(a2+c2-/)sin8=*ac，a2+c2-b2=2accosB，

所以2accosBsinB=,所以sin2S=.

22

又工<8〈萬，所以工<28<2萬，所以28=生，所以8=工.

4233

若選②：由正弦定理得號(hào)1ngs=不sinA,因?yàn)閟iMxO,

1-cosfi

試卷第14頁，共18頁

_V3

所以sinB=V^—A/5COS8,即sin14+3

一2

由0<8<肛。<8+。<?,所以8+(=與，所以3=。.

1222

若選③：由正弦定理得上￡=二，^a+c-b=ac，

a-cb-c

,>9,2ac_1

由余弦定理得

2ac2

TT

又0<8<乃，所以B=].

(2)在A/8C中，由余弦定理得b2=/+c2-2accos8=9+16-12=13，所以b=而,

------，2

又防衣=(而+羽.(而+反)=而?--—>

所以34cosg=詼2-U,所以中線8。長為也.

342

21.已知二項(xiàng)式(2》+白](〃eN*)的展開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2:5,

按要求完成以下問題：

⑴求”的值；

(2)求展開式中4的系數(shù)；

⑶計(jì)算式子或2,+或2$+C⑵+CN+C：2?+C?+戊2。的值.

【答案】⑴6

(2)1

(3)729

【分析】(1)由二項(xiàng)式系數(shù)以及組合數(shù)公式可得出關(guān)于〃的等式，即可解得〃的值;

(2)寫出展開式通項(xiàng)，令x的指數(shù)為-3,求出發(fā)的值，代入通項(xiàng)后即可得解；

(3)在二項(xiàng)式中令x=l可求得所求代數(shù)式的值.

(I)

解：由題意可得￡=島=高=|,解得〃=6.

⑵

解：的展開式通項(xiàng)為?；“=《.(2x)1.二C：”.x2

1

令6-彳=-3,可得4=6,因此，展開式中《的系數(shù)為C32°=l.

2x

（3）

解:令x=l可得（2+爐=729=媒26+域25+篌24+嫁23+或22+貶21+仁2°.

22.已知雙曲線C：「-E=l（a＞。力＞。）的右焦點(diǎn)為尸（2，°），。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/，B

ab-

分別在C的兩條漸近線上，點(diǎn)尸在線段48上，且。/，月8,|。4|+|。邳=6|/用.

（1）求雙曲線C的方程：

（2）過點(diǎn)尸作直線/交C于P,°兩點(diǎn)，問；在x軸上是否存在定點(diǎn)〃，使|心「+阿0「一忸02

為定值？若存在，求出定點(diǎn)"的坐標(biāo)及這個(gè)定值；若不存在，說明理由.

【答案】（吟一必=1

（2）存在,Af你0）,~

【分析】（1）不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限N/OF=a,即可表示出|0H，”卻，根據(jù)

\OA\+\OB\=^\AB\得到方程，即可求出tana,從而得到°=?,再根據(jù)c=2及/=/+/,

求出〃、b,即可得解；

⑵設(shè)點(diǎn)+|加才-歸02=3分別求出直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)力的值，根據(jù)

4為定值，得到方程，即可求出2及W的坐標(biāo)，再對(duì)直線/不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，設(shè)直線/的

方程為x="+2、P（XQJ,。（乙,%）,聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理,

表示出2從而計(jì)算可得；

【詳解】（1）解：不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限4OP=a,則4O8=2a.

因?yàn)?。則=81cos2a,\AB\=\OB\sm2a.

由已知,\OB\cos2a+\OB\=y/3\OB\sm2a,BPcos2a+1=sin2a,即

2cos2a=2^/3sinacosa.

因?yàn)閏osa=0,貝Ucosa=Wsina,BPtana--j=.

因?yàn)閍為漸近線04的傾斜角，則3=上，即a=&.又心+〃=2,則a=0，6=1.

2

所以雙曲線C的方程是r工-/=[

3.

（2）解：解法一：

設(shè)點(diǎn)M（〃?,0）,|皿^+|叫2_戶@2=九

試卷第16頁，共18頁

21

當(dāng)/_Lx軸時(shí)，直線/的方程為X=2,代入y土得”土

-（3）=2m2-8w+y.

不妨設(shè)點(diǎn)P