輸油管線的鋪設(shè)模型

./一、問題的提出在進(jìn)行輸油管道工程布置中,一般從技術(shù)成熟度、經(jīng)濟(jì)合理性、安全可靠性、健康環(huán)保、功能使用、節(jié)能高效、管理方便為導(dǎo)則。題中提出在鐵路線一側(cè)要建設(shè)兩家煉油廠,同時(shí)在鐵路線上建造一個(gè)車站,用以運(yùn)送成品油,模式具有一定的普遍性。設(shè)計(jì)中遇到在鐵路線一側(cè)兩個(gè)煉油廠的定位問題,以及鐵路線上車站的選址問題。以經(jīng)濟(jì)合理性、功能使用、節(jié)能高效為導(dǎo)則。既要考慮兩煉油廠所在的位置,又要考慮到輸油管線是否共用,還要考慮到城區(qū)輸油管線的附加費(fèi)用問題。而在附加費(fèi)用問題上,又與三個(gè)公司的不同評(píng)估值有關(guān)。根據(jù)問題中不同的題設(shè)條件,我們要設(shè)計(jì)出相應(yīng)地輸油管線的鋪設(shè)模型,以實(shí)現(xiàn)鋪設(shè)總費(fèi)用最省的目標(biāo)。二、模型假設(shè)1.所有管線的單位鋪設(shè)路線的鋪設(shè)費(fèi)用為統(tǒng)一定值。2.對(duì)于所選的任意兩點(diǎn)間的鋪設(shè)路線為直線。3.所有鋪設(shè)管線的技術(shù)、安全有很好的保障。4.煉油廠、車站分別用點(diǎn)表示5.鐵道路線用直線表示三、符號(hào)說明A——表示郊區(qū)的煉油廠B——表示城區(qū)的煉油廠C——表示車站S——表示鋪距設(shè)油管線的總長(zhǎng)度P——表示到A、B、C三點(diǎn)離之和最小的點(diǎn)M——表示建設(shè)運(yùn)輸油管所用總費(fèi)用L——表示鐵路線——表示每單位非共用鋪設(shè)油管的鋪設(shè)費(fèi)用——表示每單位共用鋪設(shè)油管的鋪設(shè)費(fèi)用——表示B、C兩點(diǎn)間的距離——表示A、C兩點(diǎn)間的距離——表示A、B兩點(diǎn)間的距離——表示A、P兩點(diǎn)間的距離——表示B、P兩點(diǎn)間的距離——表示C、P兩點(diǎn)間的距離——表示公司收取的單位附加費(fèi)用四、問題分析本文以運(yùn)輸油管線鋪設(shè)費(fèi)用最省為指導(dǎo)思想進(jìn)行分析,在兩個(gè)煉油廠的定位問題及鐵路線上車站的選址問題上。首先由幾何知識(shí)分析出車站相對(duì)于兩個(gè)煉油廠應(yīng)設(shè)的最優(yōu)位置,其次針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形進(jìn)行分析,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。鋪設(shè)管線費(fèi)用最省,實(shí)際上相當(dāng)于鋪設(shè)管線長(zhǎng)度的總和最短。從而引申為最短網(wǎng)路問題,即連接個(gè)點(diǎn)的最短網(wǎng)絡(luò)路徑可能是連接它們的最小生成樹。17世紀(jì)初,費(fèi)馬〔Fermat提出過如下問題：給定的平面上三個(gè)點(diǎn)A、B、C,求第四點(diǎn)P,使P到三點(diǎn)的距離最小。托里塞利給出了解答：若A、B、C組成的三角形中存在一角大于或等于,則不必添加P,A、B、C的最小生成樹〔的周長(zhǎng)即是最短網(wǎng)絡(luò)。若三角形的各角均小于,此時(shí)最小生成樹〔費(fèi)馬點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和即是最短網(wǎng)絡(luò),費(fèi)馬點(diǎn)指的是以三角形的各邊為底邊向三角形的外側(cè)作等邊三角形,所得三個(gè)等邊三角形的各頂點(diǎn)與該等邊三角形底邊對(duì)應(yīng)的原三角形的頂角連線的交點(diǎn)。由此只需找出"費(fèi)馬點(diǎn)",初步解決鋪設(shè)管線長(zhǎng)度最短的問題。進(jìn)而依次對(duì)題中的三個(gè)問題提出不同的假設(shè)條件,結(jié)合各題所提出的條件建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并求解,最后對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析找到最佳模型。五、模型的建立與求解問題一模型一：兩煉油廠到鐵路線距離相等模型ABCP圖1.1L當(dāng)兩煉油廠到鐵路線距離相同時(shí)的模型時(shí)∥L,過A作其關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn),則,連接交L于點(diǎn)連接ABCP圖1.1L若非公用管道,則最短路徑,；若公用管道,則需進(jìn)一步求解費(fèi)馬點(diǎn)P,當(dāng)距離一定,C位置未定時(shí),,根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：當(dāng)時(shí),P與C重合,最短路徑,；反之,當(dāng)時(shí),P在的部,最短路徑,此時(shí)就必須要考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)的相同與否：共用管線費(fèi)用相同時(shí);則管線建設(shè)費(fèi)用M共用管線費(fèi)用相同的情形則；則管線建設(shè)費(fèi)用M模型二：兩煉油廠與鐵路線距離不相等模型ABLABL若公用管道,則需要討論在上游動(dòng)時(shí),因費(fèi)馬點(diǎn)的變化直接決定著所對(duì)應(yīng)三角形的最短路徑,所有三角形的費(fèi)馬點(diǎn)所決定的最短路徑就形成了一個(gè)較為復(fù)雜的最短路徑網(wǎng)絡(luò)。假設(shè),當(dāng)在和變動(dòng)時(shí),存在費(fèi)馬點(diǎn),且在三角形部,同模型一,當(dāng)時(shí)；反之,時(shí),;當(dāng)在左側(cè),費(fèi)馬點(diǎn)與重合,,同模型一,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)在之間時(shí),費(fèi)馬點(diǎn)與重合,此時(shí)不存在公用管線的可能,；當(dāng)在右側(cè)時(shí),費(fèi)馬點(diǎn)與重合,,同模型一,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),由費(fèi)馬點(diǎn)的知識(shí)得出,,3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)P與C點(diǎn)重合,存在非共用管道鋪設(shè)時(shí)的總路線S,又有三角形的定理不難證明出當(dāng)＜,從圖1.1過作圖,求出A、B、C,3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)P。則最短網(wǎng)絡(luò)距離,即存在有共用管道鋪設(shè)時(shí)的總路線S由于在問題一中,考慮到了共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形,段鋪設(shè)距離確定之后則費(fèi)用也不難得出,結(jié)果亦為以上兩種情況,如上所求。模型二：兩煉油廠到鐵路線距離不相同的情形類似于模型一中,在兩煉油廠到鐵路線距離不相同時(shí)的模型,則兩煉油廠到鐵路線的距離不相等,即與L不平行,在此情形中隨著B點(diǎn)與A點(diǎn)之間的距離發(fā)生亦能發(fā)生變動(dòng),則也在變動(dòng)的過程中。同樣,在確定最短網(wǎng)絡(luò)距離之后也就與鋪設(shè)所花費(fèi)用有關(guān),以下就此問題做出模型分析。ABCP1.3L在兩煉油廠到鐵路線距離ABCP1.3L由于兩煉油廠到鐵路線距離不相同,與模型一求解類似,只是實(shí)際距離的確定存在差別。則＜,存在共用管線的情況,即鋪設(shè)油管總路線長(zhǎng)S考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形共用管線費(fèi)用相同的情形則;管線建設(shè)費(fèi)用M共用管線費(fèi)用相同的情形則；管線建設(shè)費(fèi)用M,存在非共用管線的情況,即鋪設(shè)油管總路線長(zhǎng)模型三：兩煉油廠間距不定模型圖1.4由于模型一求解費(fèi)馬點(diǎn)的過程較為復(fù)雜,現(xiàn)實(shí)生活中操作起來較為麻煩,此時(shí)就將問題引入怎樣簡(jiǎn)單方便又精確的作出費(fèi)馬點(diǎn)。"以最小求最小"即在周長(zhǎng)最小的三角形中作最短路徑的費(fèi)馬點(diǎn)。故,以為頂點(diǎn),以為動(dòng)點(diǎn),作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),過作直線與的夾角為圖1.4當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),,費(fèi)馬點(diǎn)與重合,此時(shí)不存在公用管線的可能,；反之,,存在費(fèi)馬點(diǎn),,費(fèi)用討論同模型一,當(dāng)時(shí);,當(dāng)時(shí),模型四：兩煉油廠位置固定時(shí)車站定位模型介于模型一二在確定車站最優(yōu)位置是具有較大的不確定性和繁瑣性,通過分析前兩模型的形成過程以及研究費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì),再對(duì)此進(jìn)行大量推導(dǎo)證明,我們得到一種極為簡(jiǎn)單的確定費(fèi)馬點(diǎn)所在位置的方法,進(jìn)而確定無所謂公用與非公用的確定路徑的方法。ABL通過研究費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)得出,故,若路徑最短等價(jià)于最小。以為邊作正,過作直線并交于,則點(diǎn)即為車站的最優(yōu)位置。ABL通過對(duì)模型一定分析過過程中,發(fā)現(xiàn)在確定點(diǎn)A、B后,確定車站站點(diǎn)C,對(duì)求最小網(wǎng)絡(luò)距離十分關(guān)鍵,從而結(jié)合模型一引出對(duì)C點(diǎn)的確定問題。模型如下：ABABCPL圖F兩點(diǎn)到直線間的距離相等時(shí)證明：PA+PB+PC=與都為正三角形即又將按順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使與重合,在上取一點(diǎn)F,使=PC,連接BF,則;可得則此時(shí)為正三角形即PB+PA+PC=由費(fèi)馬點(diǎn)知識(shí)可知：同理可得：進(jìn)而可求得：推廣可知：同理可以證明兩點(diǎn)間的距離到同一直線不相等時(shí)結(jié)論依然成立。問題二：圖2.1圖2.1圖中各字母表示的距離〔單位：千米由勾股定理求得則有余弦定理得0.804820.9955千米千米所以存在共用鋪設(shè)管線的總路徑比非共用鋪設(shè)管線總路徑短,因此,所采取的最優(yōu)方案為存在共用鋪設(shè)管線。因?yàn)樗泄芫€的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬(wàn)元,在城區(qū)管線鋪設(shè)另有附加費(fèi)用。下面求的在城區(qū)在此情況下所要鋪設(shè)的長(zhǎng)度鋪設(shè)管線的總費(fèi)用附加費(fèi)用總費(fèi)用所有鋪設(shè)費(fèi)用就資質(zhì)而言,因公司二、三具有相同資質(zhì),就附加費(fèi)用的高低而言,因公司二高于公司三,則直接排除公司二的被選擇權(quán),則只在公司一和公司三之間進(jìn)行選擇。1.就資質(zhì)而言,不考慮附加費(fèi)用的多少,因公司一的資質(zhì)高于公司三,則選擇對(duì)象為公司一在此模型下選擇公司一的總費(fèi)用2.擇取另一種選擇,選擇公司三在此模型下選擇公司三的總費(fèi)用方案二：圖中各字母表示的距離〔單位：千米由勾股定理得由余弦定理得由半角定理得千米所以存在共用鋪設(shè)管線的總路徑比非共用鋪設(shè)管線總路徑短,因此,所采取的最優(yōu)方案為存在共用鋪設(shè)管線。因?yàn)樗泄芫€的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬(wàn)元,在城區(qū)管線鋪設(shè)另有附加費(fèi)用。下面求的在城區(qū)在此情況下所要鋪設(shè)的長(zhǎng)度鋪設(shè)管線的總費(fèi)用附加費(fèi)用總費(fèi)用就資質(zhì)而言,因公司二、三具有相同資質(zhì),就附加費(fèi)用的高低而言,因公司二高于公司三,則直接排除公司二的被選擇權(quán),則只在公司一和公司三之間進(jìn)行選擇。就資質(zhì)而言,不考慮附加費(fèi)用的多少,因公司一的資質(zhì)高于公司三,則選擇對(duì)象為公司一鋪設(shè)過程中總花費(fèi)若選擇公司三對(duì)比可知,方案二中采取共用且聘請(qǐng)公司三總花費(fèi)較低,為276.4677萬(wàn)元對(duì)兩方案分析可知:欲使附加費(fèi)用降到最低,相應(yīng)的所鋪設(shè)總路線也在隨著增加。相比之下,有以上兩種方案數(shù)據(jù)可知而節(jié)省下來的附加費(fèi)用＞兩種方案中的總花費(fèi)差值：276.4677-256.2876=20.180萬(wàn)元由此說明相應(yīng)附加費(fèi)用減少?zèng)]有為總花費(fèi)降低,而對(duì)應(yīng)的鋪設(shè)總費(fèi)用的增加速度要比減少附加費(fèi)用的速度大。即：方案一為最優(yōu)方案,鋪設(shè)總費(fèi)用為151.1676萬(wàn)元；附加總費(fèi)用,如果選擇有甲等資質(zhì)的公司一的附加費(fèi)用為110.3760萬(wàn)元,如選擇有已等資質(zhì)低的公司三的附加費(fèi)用為105.12萬(wàn)元。問題三:在問題三種提出了,進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用,可以根據(jù)煉油廠的