2023年考研數(shù)學(xué)中值定理證明題技巧-以及結(jié)論匯總

目錄

第一部分：中值定理結(jié)論總結(jié)......................................................1

1、介齪理..................................................................1

2、零點(diǎn)定理..................................................................2

3、羅爾定理..................................................................2

4、拉格朗日中值定理..........................................................2

5、柯西中值定理..............................................................2

6、積分中值定理..............................................................3

其次部分：定醯用................................................................3

第三部分：構(gòu)造函數(shù)基本方法......................................................9

一、要證明■靚一階導(dǎo)數(shù)與原函耽間的糅..............................10

二、二階導(dǎo)數(shù)與原函教之間關(guān)系...............................................11

第四部分：中皖醛遇分(包含領(lǐng)遜)..............................14

題型一：中值定理中關(guān)于6的問(wèn)題

題型二：證明f(n)&)=0

題型三：證明f(n)(5)=CO(W0)

題型四：結(jié)論中含一個(gè)中值1,不含a,b,導(dǎo)數(shù)的差距為一階

題型五：含兩個(gè)中值5，n的問(wèn)題

題型六：含a,b及中值［的問(wèn)題

題型七：雜例

題型八：二階保號(hào)性問(wèn)題

題型九：中值定理證明不等式問(wèn)題

第一部分：中值定理結(jié)論總結(jié)

1、介值定理

:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A及

f(b)=B,那么對(duì)于A與B之間的隨意一個(gè)數(shù)C,在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)E使得

俄)=C(a<￡<b).

Ps:c是介于A、B之間的，結(jié)論中的E取開(kāi)區(qū)間。

介值定理的推論：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上磔貝(在x)在［a,b］上有最大值M,最小值

m,若msCsM,則必存在Ee［a,b］,使得f⑹=C。倜區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最大

值M與最小值m之間的任何值。此條推論運(yùn)用較多)

Ps：當(dāng)題目中提到某個(gè)函數(shù)f(x),或者是它的幾階導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上連續(xù)，那么該函數(shù)

或者其幾階導(dǎo)函數(shù)必可以在該閉區(qū)間上取最大值和最小值，那么就對(duì)于在最大值和最小

值之間的任何一個(gè)值，必存在一個(gè)變量使得該值等于變量處函數(shù)值。

2、零點(diǎn)定理

：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］.母且f(a)與f⑹異號(hào)，即f(a).f(b)<0,刃陷用嘔間內(nèi)

至少存在一點(diǎn)"吏得f(W)=O.

Ps:留意條件是閉區(qū)間連續(xù)，端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，結(jié)論是開(kāi)區(qū)間存在點(diǎn)使函數(shù)值為0.

3、羅爾定理

：假如函數(shù)f(x)滿(mǎn)意：

(1)、在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；

(2)、在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

(3)、在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，BPf(a)=f(b).

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)￡(<a￡<b),使得f'(x)=O;

4、拉格朗日中值定理

：假如函數(shù)f(x)滿(mǎn)意：

(1)、在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；

(2)、在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)￡(<a￡<b),使得

f(b)-f(a)=f'?.(b-a).

5、柯西中值定理

：假如函數(shù)f(x)及g(x)滿(mǎn)意

(1)、在閉區(qū)間［a,b］.上連續(xù)；

(2)、在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

(3)、對(duì)『x(a<x<b),g'(x)/O,

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得

￡3)■二￡3.)⑹

gS)-g(a)g'《)

Ps：對(duì)于羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理結(jié)論都是開(kāi)開(kāi)區(qū)間內(nèi)取值。

6、積分中值定理

：若函數(shù)f(X)在［a,b］上蜂，則至少存在一點(diǎn)&e伍,句使得￡f{x)dx=/(1)S-a)

Ps：該定理課本中給的結(jié)論是在閉區(qū)間上成立。但是在開(kāi)區(qū)間上也是滿(mǎn)意的，下面

我們來(lái)證明下其在開(kāi)區(qū)間內(nèi)也成立，即定理變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)在［a,b］上超賣(mài)，則至

少存在一點(diǎn)1e(a,勿使得^f(x)dx=/(￡,)(。-a)

證明：設(shè)F(x)=￡/(x)dx,xe［a,b］

因?yàn)?(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，則尸。:)在閉區(qū)間上連續(xù)且在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)(導(dǎo)函數(shù)即

為了㈤)。

則對(duì)F(x)由拉格朗日中值定理有：

F(b)-F(a)\h.f(x)dx

天e(a,勿使得F'《)=一=,

b-ab-a

而尸'(1)=/⑹

所以天w(a,勿使得f/(x)公=—a)。

在每次運(yùn)用積分中值定理的時(shí)候，假如想在開(kāi)區(qū)間內(nèi)運(yùn)用，我們便構(gòu)造該函數(shù)，運(yùn)

用拉格朗II中值定理來(lái)證明下使其在開(kāi)區(qū)間內(nèi)成馬上可。千萬(wàn)不行干脆運(yùn)用，因?yàn)?/p>

課本給的定理是閉區(qū)間。

其次部分：定理運(yùn)用

1、設(shè)f(x)在［0,3］上睡，在(0,3)內(nèi)存缸階導(dǎo)函數(shù)且2/(0)=J"(x)公=/(2)+/(3).

證明：⑴mr|e(0,2)使/(r|)=/(0)

⑵王G(0,3)使。''6)=0

證明：先看第一小問(wèn)題：假如用積分中指定理似乎一下子就出來(lái)了，但有個(gè)問(wèn)題就是積分中

值定理是針對(duì)閉區(qū)間的。有的人明知這樣還硬是這樣做，最終只能是0分。具體證明方法

在上面已經(jīng)說(shuō)到，假如要在開(kāi)區(qū)間內(nèi)用積分中指定理，必需來(lái)構(gòu)造函數(shù)用拉格朗日中值定理

證明其在開(kāi)區(qū)間內(nèi)符合。

(1)、令⑺山=/(%)”€［0,2］則由題意可知/(%)在［0,2］上連續(xù)，2。內(nèi)可導(dǎo).

則對(duì)F(x)由拉格朗日中值定理有：

3r|e(0,2)使F'(r|)=F⑵］(6

=2=/(。)，”(。，2)

(2)、對(duì)于證明題而言，特殊是真題第一問(wèn)證明出來(lái)的結(jié)論，往往在其次問(wèn)中都會(huì)有運(yùn)用，

在做其次問(wèn)的時(shí)候我們不要遺忘了第一間證明出來(lái)的東西，我們要時(shí)刻留意下如何將第一問(wèn)

的東西在其次問(wèn)中進(jìn)行運(yùn)用：

其次問(wèn)是要證明存在點(diǎn)使得函數(shù)二階倒數(shù)為0,這個(gè)很簡(jiǎn)潔想到羅爾定理來(lái)證明零點(diǎn)問(wèn)題,

假如有三個(gè)函數(shù)值相等，運(yùn)用兩次羅爾定理那不就解決問(wèn)題啦，并且第一問(wèn)證明出來(lái)了一個(gè)

等式，假如有f(a)=f(b)=f(c),那么問(wèn)題就解決了。

第一問(wèn)中已經(jīng)在(0,2)內(nèi)找到一點(diǎn)，那么能否在(2,3)內(nèi)也找一點(diǎn)滿(mǎn)意結(jié)論一的形式呢，有了

這樣想法，就得往下找尋了，

2/(0)=/(2)+/(3),看到這個(gè)許多人會(huì)覺(jué)得熟識(shí)的，和介值定理很像，下面就來(lái)證明:

。/(x)在［0,3］上連續(xù)，則在12,3］上也連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必存在最大值和最小值,

分別設(shè)為M,m;

則mW/(2)<M,m</(3)<M.

f⑵+〃3)

從而，m<<M,那么由介值定理就有：

2

正［2,3］閥?=/⑵;〃3)=/(0)

/(0)=/⑴)=/(c),He(0,2),ce［2,3］

則有羅爾定理可知:

3^e(0，n),/'(^)=0,箋2e(r|,c)J'(0)=0

弋€(3,&)=。3),/''()=0

Ps：本題記得似乎是數(shù)三一道真題，考察的學(xué)問(wèn)點(diǎn)蠻多，涉及到積分中值定理，介值定理，

最值定理，羅而定理，思路清晰就會(huì)很簡(jiǎn)潔做出來(lái)。

2、設(shè)f(x)在［0,1］上鏤，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(l)=l.

喇⑴、北w(0,l)使得爬)=1

⑵、三兩個(gè)不同點(diǎn)T］、&e(0,1),使得/'《)=l

本題第一問(wèn)較簡(jiǎn)潔，用零點(diǎn)定理證明即可。

(1)、首對(duì)Wl數(shù)：F(x)=/(x)+x-l,xe［0,l］

F(0)=/(0)-l=-l

/⑴=/(D=l

0F(O)F(1)=-1<O

由零點(diǎn)定理知:北€(零1)使得的化)=0,即/(&)=1一&

(2)、初看本問(wèn)貌似無(wú)從下手，但是我們始終要留意，對(duì)于真題這么嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念}目，他的設(shè)問(wèn)

是一問(wèn)緊接一問(wèn)，第一問(wèn)中的結(jié)論或多或少總會(huì)在其次問(wèn)中起到作用。在想想高數(shù)定理中的

就這么些定理，第一問(wèn)用到的零點(diǎn)定理，從其次問(wèn)的結(jié)論來(lái)看，也更本不涉及什么積分問(wèn)題，

證明此問(wèn)題也只可能從三大中值定理動(dòng)身，具體是哪個(gè)定理，得看自己的狀況，做題有時(shí)候

就是漸漸試，一種方法行不通，就換令一種方法，有想法才是最重要的，對(duì)于一道題，你沒(méi)

想法，便無(wú)從下手。另外在說(shuō)一點(diǎn)，在歷年證明題中，柯西中值定理考的最少。

本題結(jié)論都涉及一階倒數(shù)，乘積之后為常數(shù)，很可能是消去了變?yōu)?(你題目做多了，確定

就知道事實(shí)就是這樣).并且第一問(wèn)中0與1之間夾了個(gè)匕，假如我們?cè)凇Ｅc匕，自與1上

對(duì)/（X）運(yùn)用拉格朗日中值定理似乎有些線索。

寫(xiě)一些簡(jiǎn)潔步驟，具體具體步驟就不多寫(xiě)了：將第一問(wèn)中了《）代入即可。

「⑴戶(hù)篋

/'《）=，⑴-,團(tuán)=1，e&l）

??./'⑹?廣⑴）=i,nw。［）=（o』），qw&D=（0/）

Ps：本題是05年數(shù)一的一道真題，第一問(wèn)是基本問(wèn)題，送分的，其次問(wèn)有確定區(qū)分度，對(duì)

定理嫻熟的會(huì)簡(jiǎn)潔想到拉格朗日定理，不嫻熟的可能難以想到方法。做任何題，最重要的不

是你一下子就能把題目搞出來(lái)，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一

步步的去做，假如行不通了，在變更思路，尋求新的解法，假如你沒(méi)想法，你就根本無(wú)從下

手。

3、設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=0,f（l）=l/3.

證明：毛e（0,;j，n-fe,1）,使得：/'6）+/'（n）=L+r|

222

對(duì)于這道題的結(jié)論比較有意思，比較對(duì)稱(chēng)，另外一個(gè)就是結(jié)論的條件，為何要把匕、n放在

兩個(gè)范圍內(nèi)，不像上一題中干脆來(lái)個(gè)n、^e（0,l）,這個(gè)分界點(diǎn)1/2的作用是干嗎的。很

可能也是把1/2當(dāng)做某一個(gè)點(diǎn)就像上一題中的自，是否要用到拉格朗日中值定理呢，這是

我們的一個(gè)想法。那具體的函數(shù)如何來(lái)構(gòu)造呢，這個(gè)得從結(jié)論動(dòng)身，）+/'（“）=［2+n2

我們把等式變一下：）-^2+r（n）-TJ=o，/'（自）32這個(gè)不就是）43關(guān)

于匕的導(dǎo)數(shù)（而且題目中f⑴=1/3,貌?燼樣有點(diǎn)想法了），本題會(huì)不會(huì)也像￡一題那樣，運(yùn)

用拉格朗日中值定理后相互消掉變?yōu)閛呢，有了這些想法我們就要起先往下走了：

先來(lái)構(gòu)造一個(gè)函數(shù):

F(x)=/(%)-^x,F(O)=O,F(l)=O,F'(^)=2]=2尸()

2

HD-FA)I

廣(n)=2=-2F()

2

廣⑴)+F0=0剛好證明出來(lái)。

Ps：本題是近幾年數(shù)二的一道真題，只有一問(wèn)，有比較大區(qū)分度的，得從條件結(jié)論相互出

發(fā)，如何構(gòu)造出函數(shù)是關(guān)鍵。做出來(lái)之后我們反過(guò)來(lái)看這個(gè)1/2的作用就知道了，假如只

給H、1e(O,l),那就更難了得自己找這個(gè)點(diǎn)，既然題中給了這個(gè)點(diǎn)，并且把兩個(gè)變量分

開(kāi)在兩個(gè)區(qū)間內(nèi)，我們就對(duì)這兩個(gè)變量在對(duì)應(yīng)區(qū)間用相應(yīng)定理。說(shuō)明真題出的還是很有技巧

的。一般設(shè)計(jì)難一點(diǎn)的中值定理證明，往往得用拉格朗日定理來(lái)證明，兩個(gè)變量，都涉及到

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，這是因?yàn)槔窭嗜罩兄刀ɡ項(xiàng)l件要少些，只需連續(xù)，可導(dǎo)即可，不像羅爾定理得

有式子相等才可進(jìn)一步運(yùn)用。

4.設(shè)f(x)在區(qū)間[-a,a](a>0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0

國(guó)：鳴明例曲確M藤堿*颼翻觸我

r也)2:地喳

第一間課本上記住了寫(xiě)出來(lái)就行，考的很基礎(chǔ)

(1).,/(%)=/(0)+廣(°\+X=/'(()).x+X

jt(x)dx=j.ydx()此處不能干脆拿到施號(hào)外面，因?yàn)樗皇桥cx無(wú)

(2)、其次問(wèn)先將第一問(wèn)的式子f(x)代人看看有什么結(jié)果出來(lái)

""7''《)2

y2

關(guān)的數(shù)。做到這兒，我們想方法把他弄到積分號(hào)外面似乎就能出來(lái)，有了這樣想法就得尋求

方法。題目中說(shuō)道f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為何要這樣說(shuō)呢，我們知道連續(xù)函數(shù)有最大值，最

小值，往往會(huì)接著和介值定理一起運(yùn)用。所以有:

因?yàn)閒(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),所以存在最大值和最小值，設(shè)為M,m則對(duì)于區(qū)間[ya],

m</ss(x)<M,nvc2<Mr2

2ma=叫E<J廣化yidx<4X2dx=2Mai

3-a-a-a3

m<3,J"f(x)dx<M

a-a

所以由介值定理有結(jié)論成立。

Ps：本題是以前的一道真題，具體哪年也記不得了，主要就是考到介值定理的運(yùn)用。題目

中說(shuō)的很明白的，有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，往往當(dāng)題目中提及到什么連續(xù)啊，特殊是對(duì)于導(dǎo)函數(shù)連

續(xù)的，我們總得留意下他有最大值，最小值，進(jìn)而與介值定理聯(lián)合運(yùn)用。

5、設(shè)f(x)卸)，兀]上連續(xù)，且『Wr=0,J：/(x>cosx公=0.

證明：在(0,兀)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同點(diǎn)日、12使得/(&)=/42)=0

本題看似很簡(jiǎn)潔，但做起來(lái)去不簡(jiǎn)潔。

結(jié)論是證明等式成立且為0,很簡(jiǎn)潔讓我們想到羅爾定理，我們假如能找到三個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值

相等，那么是不是就能有些思路了呢。

令："㈤=J；/⑺必/e[0,K],F(0)="兀)=0

似乎只需在找出一點(diǎn)F(c)=0即可。，如果一切如我們所想，證明也就完成了。

(x).cosx公=|tosxdF(x)=cosx-F(x)()+Isfnx-F(x)dx=0

J。J0J0

Jnsinx-F(x)<ix=0

似乎已經(jīng)找到這個(gè)點(diǎn)了。但是積分中值定理中，是取閉區(qū)間，假如要用的話得先構(gòu)造函數(shù)用

拉格朗日中值定理來(lái)證明其在開(kāi)區(qū)間內(nèi)成立。構(gòu)造函數(shù)G(x)=Isiin?尸⑺力，光曰0,兀]

J0

具體的證明步驟和上面涉及到的一樣，自己去證。證完后就得到

3ce(0,7i)，使得G'(c)=0,即sinc-F(c)=0,所以F(c)=0

所以有：F(0)=F(c)=F(n)=O,ce(0,兀)

接下來(lái)的證明就和第一題中其次小問(wèn)一樣了，具體就不去證明白，自己證，關(guān)鍵駕馭方法，

思路。

Ps：本題是02年左右的數(shù)一一道證明題，看看題目很簡(jiǎn)潔，但具體來(lái)做，假如對(duì)定理的運(yùn)

用不嫻熟，還是不好弄出來(lái)。本題中涉及到積分，而且又要證明等式成立且為0,簡(jiǎn)潔想到

積分中值定理，以及羅爾定理。但是積分中值定理是對(duì)于閉區(qū)間而言，而我們要用到開(kāi)區(qū)間，

只能自己構(gòu)造函數(shù)來(lái)證明其在開(kāi)區(qū)間內(nèi)成立，假如在實(shí)際做題的時(shí)候你不證明干脆用，估計(jì)

一半的分都沒(méi)了。本題關(guān)鍵的就是找尋這個(gè)點(diǎn)C,找出來(lái)了其他的都不是問(wèn)題，既然是關(guān)鍵

點(diǎn)，那得分點(diǎn)也確定最多了，你不證明這個(gè)點(diǎn)，干脆套用課本中定理(假如用的話，得分類(lèi)

探討了)，硬是說(shuō)C點(diǎn)就成立，那估計(jì)一半的分都沒(méi)了。

對(duì)于中值定理這章，就先給出上面一些經(jīng)典的題目，大家好好體會(huì)下，多做些題，多思索。

下面來(lái)講講對(duì)于證明題中的，函數(shù)如何來(lái)構(gòu)造：基本上都是從結(jié)論動(dòng)身，運(yùn)用求導(dǎo)或是積分，

或是求微分方程，解出來(lái)也可。本人自己總結(jié)了一些東西，與大家溝通下：

第三部分：構(gòu)造函數(shù)基本方法

一、要證明的等式是一階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系：

一般都會(huì)構(gòu)造出g(x)=XXX■e或者e或者x,4為隨意常數(shù)

1、假如只是單純導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，想想構(gòu)造帶有e或者e-

/'(x)=/(x)可以構(gòu)造g(x)=/(%)-ex

X

f'(x)+f(x)=0可構(gòu)造g(x)=/(x)-e

/'(X)+/(X)=九可構(gòu)造g(x)=/(X)?e'-A,?ex

「f⑺dr=/(x)這個(gè)也是原函數(shù)與一階導(dǎo)函數(shù)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)g(x)=?Jf(t)dt

Jaa

r(x)-乂/⑴-x)=i

先將其變形下：/'(x)—好(x)=l-版左邊是導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系可構(gòu)造：f(x)-e

右邊可以看成是x'-菽也成了導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系，如是可以構(gòu)造：x從而

要構(gòu)造的函數(shù)就是：g(x)=(/(x)—x)e

2、假如還涉及到變量X,想想構(gòu)造/

礦(x)+/(%)=0可構(gòu)造gG)=/㈤?尤

/(%)=-)區(qū)可構(gòu)造g(x)=f(x)-x2

X

礦(x)+叭X)=0可構(gòu)造g(x)=/(%)-x"

3、另外還可以解微分方程來(lái)構(gòu)造函數(shù)：

如W(x)+/'(%)=0

In/(x)=-#+c

\nf2(x)-e'-c

r(x)"，=C

所以構(gòu)造函數(shù)g(x)=f2(x)-ex2

二、二階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間關(guān)系

構(gòu)造帶有e或者et

r(,x)=f(x)

如何構(gòu)造如下:

r'w+f\x)=y、a)+/a)對(duì)于此式子，你會(huì)不會(huì)有所想法呢，在上面講到一階導(dǎo)函數(shù)

與原函數(shù)之間的構(gòu)造方法，等式前面也可以看成是一階導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)(只不過(guò)原函數(shù)是

/'(X))之間關(guān)系，從而等式左邊可以構(gòu)造/'(X)?/等式右邊可以構(gòu)造/(X)?/總的構(gòu)造

出來(lái)函數(shù)為:g(x)=(f'(x)-/(%))-e

X

另：假如這樣變形：

(/''(X)-/'(x))+(/'(%)-/(%))=0

r,可以看上面原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間關(guān)系如何構(gòu)

構(gòu)造函數(shù)如下：g(x)=(/'(%)+/(%))-e

造的。

從而對(duì)于此函數(shù)構(gòu)造有兩種方法，具體用哪一種構(gòu)造得看題目給的條件了。假如題目給了

廣。)—/。)為什么值可以考慮第一中構(gòu)造函數(shù)，假如題目給了_r(x)+/a),則可以考

慮其次種構(gòu)造方法。

先變形：變成一階導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)之間關(guān)系

r(ri)-2r(ri)=r(n)-2/(n)

所以構(gòu)造的函數(shù)為：

G(x)=(「(x)-/a)>e"

r、a)+/a)=o

這個(gè)函數(shù)的確不好構(gòu)造，假如用微分方程來(lái)求會(huì)遇到復(fù)數(shù)根。

G(x)=/a)+(ra))2

G(x)=2「(x)?(/''(?+/(%))

實(shí)際做的時(shí)候還得看題目是否給了_f(x)的一些條件，假如在某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)不為0,而構(gòu)造

出來(lái)的函數(shù)在閉區(qū)間端點(diǎn)取值相等，便可用羅而定理來(lái)證明。

具體來(lái)看看題目:

1、設(shè)/(x)在[0,1]上選賣(mài)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(l)=0,f(l/2)=l證明：

(1)、存憑€(；1),使徼6)=[

(2)、晌6(0,自),使得/'01)=/(1])—“+1

(1)、對(duì)一問(wèn)干脆構(gòu)造函數(shù)用零點(diǎn)定理：F(x)=/(x)-x具體具體步驟就不寫(xiě)了。

(2)、該問(wèn)主要問(wèn)題是如何構(gòu)造函數(shù)：假如嫻熟的話用上面所講方法來(lái)構(gòu)造：

/'(n)=/(n)F+i先變形

r(n)-/(n)=i-n

x

/㈤―=x-e

：.構(gòu)造函數(shù)為G(x)=(/(x)-x)-ex

另：用微分方程求解法來(lái)求出要構(gòu)造的函數(shù)

/'(n)-i=/(n)-n

(/U)-x)'=/(x)-x

ln(/(x)-x)=x+c

fix)-x=e'+<=ex-C

(f(x)-x)-e~x=C

把常數(shù)退換掉之后就是要構(gòu)造的函數(shù)

G(x)=(/(x)-x)-e-'

函數(shù)構(gòu)造出來(lái)了，具體步驟自己去做。

2、設(shè)/'(x)在[a,b]±^續(xù)，f(x)在(ab)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0,￡f(x)dx=0

W(1)雒e(。,份使得f?)=/'(3),/&)=/'(&)

(2)存在“e(a,b),r|隹匕使得「'(rp=/(rp

(1)、第一問(wèn)中的函數(shù)構(gòu)造：

F(x)=f(x)-ex

(2)、其次問(wèn)中函數(shù)構(gòu)造有兩種構(gòu)造方法，上面講解中說(shuō)道了

我們?cè)谶@用第一種

g(x)=(f'(x)-f(x))-/

緣由在于第一問(wèn)中/'(x)-/(%)=0符合此題構(gòu)造。

具體具體步驟自己去寫(xiě)寫(xiě)。

3、設(shè)奇函數(shù)/(x)在［—1,1］上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f⑴=1,證明：

(1)存在”(o,i),使得r@=i

(2)存在T］e使得/''(")+r(T|)=l

第一問(wèn)中證明等式，要么用羅爾定理，要么介值定理，要么零點(diǎn)

本題很簡(jiǎn)潔想到用羅爾定理構(gòu)造函數(shù)來(lái)求，因?yàn)樯婕暗搅藢?dǎo)函數(shù)

⑴、F(x)=f(x)-x,題目中提到奇函數(shù)，f(0)=0

有F(0)=F(l)=0從而用羅爾定理就出來(lái)了。

(2)、其次問(wèn)中的結(jié)論動(dòng)身來(lái)構(gòu)造函數(shù)，從上面講的方法來(lái)看，干脆就可以寫(xiě)出要構(gòu)造的

函數(shù)

r'(n)+r(n)=i

先變形下：

G(x)=(rW-l)-ev

函數(shù)構(gòu)造出來(lái)，并且可以用到第一問(wèn)的結(jié)論，我們只須要在(-1,0)之間在找一個(gè)點(diǎn)也滿(mǎn)意

1的結(jié)論即可。也即qe(-l,0)，r(O=l

從而可以對(duì)T|，自)q(—1,1)運(yùn)用羅爾定理即可。

Ps：本題為13年數(shù)一真題，第一問(wèn)基礎(chǔ)題，但要看清題目為奇函數(shù)，在0點(diǎn)處函數(shù)值為0.

其次問(wèn)關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)構(gòu)造出來(lái)了就一步步往下做，缺什么條件就去找什么條件或者

證明出來(lái)，13年考研前我給我的幾個(gè)考研小伙伴們講過(guò)構(gòu)造函數(shù)的一些方法，考場(chǎng)上都很

第四部分：中值定理重點(diǎn)提示分類(lèi)總結(jié)

題型一：中值定理中關(guān)于9的問(wèn)題

題型二：證明f(n)由)=0

題型三：證明f(n)型)=CO(H0)

題型四：結(jié)論中含一個(gè)中值之，不含a,b,導(dǎo)數(shù)的差距為一階

題型五：含兩個(gè)中值3,q的問(wèn)題

題型六：含a,b及中值&的問(wèn)題

題型七：雜例

題型八：二階保號(hào)性問(wèn)題

題型九：中值定理證明不等式問(wèn)題

中值定理題型

題型一：中值定理中關(guān)于I的問(wèn)題

【例題1】設(shè)/(x)=arctanxIZC[O,a],f(ci)0/(0)=/2(la)a,求liml2<>

dL_10

【解答】m=i,，田/⑷□/(())=西得

1+X

a「一a□arctana

man"'*次2,解得I-023rctan。,

I2「tzDarctantzl+a-=i

hml=lim

心o+a2arctana

=lim

oOO+

a□arctana

=lim

oOO+

!□

1

3/3，

于是lim(=；。

【例題2】設(shè)/(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且/2(x)0，又/(x+力)=/(x)+/Xx+l/z)/?

(0<1<1).

證明：liml=-。

AIZIO2

【解答】由泰勒公式得

/(尤+/J)=f(x)+fl(x)h+2!

啟0+2!

,從而有，

1

*□

湃型二：證明尸")([)=0

常見(jiàn)思路(1)羅爾定理；(2(表值必其蚓腦溫"力之間。

鞫網(wǎng)現(xiàn)任鞏9癖憫驕耐靜臉黑)+/(2)=3,/(3)=1，證明:

薦卷出(。身/履腿/茶也b。/吃+1h)□fKx)表=外([)

h2I〃"2

需毓娥蠹瑞耀福酬fjfZ上取到最小值旭和最大值M,

由3〃z3/(0)+/(l)+/(2)33M得加313”,由介值定理，存在cU[0,2],使得

/(c)=1,因?yàn)?(c)=/⑶=1,所以由羅爾定理,存在〔□(c,3)(0,3),使得戶(hù)([)=0。

3

【例題2】設(shè)/(x)在[0』]上三階可導(dǎo)，/(1)=0,令”(x)=x/(x),證明：存在〔□(()/)，

使得“嗎〔)=0。

【解答】由"(0)="(1)=0,存在|?口(0,1),使得〃2([1)=0,

因?yàn)镠3(X)=3X>(X)+X了?),所以H(0)=0,再由羅爾定理，存在[2口(。,[1),使

得“帆2)=0。

因?yàn)镠[v)=6#(x)+6x手Q)+x/3),所以H(0”=0,由羅爾定理，存在

[□(0,[2)口(0』)，使得”暨([)=0。

題型三：證明/(")([)=C0(0)

思路：(1)高階導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)性；(2)協(xié)助函數(shù)構(gòu)造

【例題1】設(shè)/(%)口C[a,b],在(a,份內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，證明：存在I□(4,6),使得

f(b)D2f：a+b-+f(a)=(ba)'

□2□4

【解答】由泰勒公式得

a+ba+b

f(a)=f()+fl()(a“+")+#(〔|)伍口。+")2’[|白3生土^),

2222!22

f(b)=f(a+b)+fl(a+b)(bDa+b)+#(12)3口"+”)2,[2口(^^向，

2222!2'2

兩式相加得

f(b)2/(。+b)+于@=也一“)(1)+#(〔2),

242

因?yàn)閜\x)□qL,G]，所以PKx)在[L,[2]上有最小值m和最大值M,

明顯〃23尸([)+.([2)5M,由介值定理，存在〔口[[],[2]口(。,力，使得

2

產(chǎn)Q)+1AQ)=#([),于是于出)□2/("+")+/伍)=39/22(1)?

224

【例題2】設(shè)/㈤在舊1,1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且/(口1)=0,/(1)=1,。(。)=0,證明：存

在〔□(□1,1)，使得尸22(〔)=3。

【解答】由泰勒公式得

2

…9HC

/（i）=/（o）+J"（°）+。出［2）,底□（o,i）.兩式相減得

2!3!

AD/（□1）=i［/222（l。+戶(hù)（I2）］＞

即fm（I\?，6"\_A

因?yàn)閼?hù)3）口。［,［2］，所以/期（X）在［［I,［2］上取到最小值機(jī)和最大值M，

由2加3/&（11）+/卻（12）62M得加33BM，由介值定理，存在［□□（口1,1），

使得/以〔）=3。

【例題3］設(shè)0＜的＜＜?！盀椤▊€(gè)不同的實(shí)數(shù)，函數(shù)/（九）在［0,為］上有〃階導(dǎo)數(shù)，并

滿(mǎn)意/（?）=/（處）==/（?！埃?0，則對(duì)每個(gè)（:口］。］,?！埃?存在［□（0,4）滿(mǎn)意等式

/?=（?？?）（。口。2）（也。"）m

??!

【解答】

（1）當(dāng)c=a,（1Bi6〃）時(shí)，任?。邸酰?,,為），結(jié)論明顯成立；

（2）當(dāng)c%（13i3〃）時(shí)，/（c）=9?）（c出）（°4）/（"）（［）等價(jià)于

n\

加/?=.尸"）（［），令加/?=3則有

（。口。］）（?？?。2）（。口?！埃ā？?）（?？凇?）（。口?！埃?/p>

?!/（C）=攵（?？凇＃荩?。口。2）（?？诨穑?/p>

令na）=m/U）□k（x□tzi）（x□（22）（尤□〃〃），顯然n（x）有〃+i個(gè)不同零點(diǎn)

不斷運(yùn)用羅爾定理,存在［□（〃］4）,使得n""（〔）二o。

而00（x）=n\f（H\x）nkn\＞所以/""（〔）=左，

n

即〃"（c）=/（"）（［），所以結(jié)論成立。

（?？?）（。口。2）（?？??！ǎ?/p>

題型四：結(jié)論中含一個(gè)中值I，不含a/，導(dǎo)數(shù)的差距為一階

3

【例題1】設(shè)/@)口。［0,1］,在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(1)=24尤2/(?公，證明：存在〔□(()』),

使得⑺(1)+2/(〔)=0。

【解答】令口(x)=x/(%)，由積分中值定理得

/-(l)=2+jx2/(x)^=2ec/(c)?1,其中c30,產(chǎn)即1〃i)=c/(c)，于是有

n(c)=n(i)>由羅爾定理，存在［□(,』)□(o,i),使得n?(〔)=o。

而n［。)=攵/!(x)+2V(x)，所以)+2l/(l)=0,留意到〔01所以有

&〔)+2/(1)=0。

【例題2】設(shè)/(X)匚C［l,2］,在(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且/(1)=3，/(2)=2,廁：存在〔口(1,2),

使得

【解答】令fl(x)=x：2f(x),因?yàn)?(1)=金，/(2)=2,所以n(l)=n(2)=；，

由羅爾定理，存在〔口(1,2),使得nxl)=o,于是有1(〔)=斗

【例題3】設(shè)/(x)EiqO,l］，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(0)=0,/(#=1,-1)=1。

22

(1)證明：存在皿0』),使得y(c)=c；

⑵對(duì)隨意的實(shí)數(shù)％,存在〔□(0,1),使得用〔)+%"(〔)口〔］=1。

111

?\==□

【解答】(1)令〃(x)=f(x)□x，/?(0)O,7222

因?yàn)??(，@力(1)<0；所以存在CEM1,1)(0,1),使得/7(c)=0,即/(c)=c。

22

(2)令fl(x)=鏟h(x)，因?yàn)榱?0)=/?(c)=0，所以由羅爾定理，存在〔□(0,c)□(0,1),

使得口!(〔)=0,于是戶(hù)(〔)+左"(〔)口〔］=1。

題型五：含兩個(gè)中值U的問(wèn)題

【例題1】設(shè)/(x)在［a,可上磔，在(a,份內(nèi)可導(dǎo)，且y?(x)0.證明：存在U(a,b),

4

使得叫一□心」。

/2(|)bQa

【解答】

令尸(x)=e*,月(x)=e*7)，由柯西中值定理，存在|口5力)，使得

/0)D/(?)=/2(1),即/3)口/3)=/2(1),

F0)DF(a)F2(|)'/Peel

于是有f(bX于⑷=e：e"力(I),再由拉格朗日中值定理，存在［□Q份，使得

babUae\

/2(l)=23)/⑷,故原結(jié)論成立。

bUa

【例題2】設(shè)/(x)在出力］上連續(xù)，在(〃力)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=1,證明：存在

1,1口(。力)，使得/(I)□1(1)=dI。

【解答】令FI(x)=exfix),由拉格朗日中值定理，存在|□(&,"),使得

rw口(。=口］(1)，即=臼［-(i)□/(［)］,再由拉格朗日中值定理，存在

)bUa

ba

〔□(a,b)，使得e"=在「所以原結(jié)論成立。

b\Ja

【例題3】設(shè)f(x)匚Q0/］，在(0,1)內(nèi)可尋且/(0)=0J⑴=1,?J：對(duì)虢的OS/,

9U□（0,1）.

【解答】因?yàn)?(0)<°</(I)，所以存在(:□((),1)，使得/(c)=°o

a+ba+b

由拉格朗日中值定理，存在Ir(o,c),|□(c,l),使得

/?□/(0)=/2(l)c,/(1)口/(。=。(|)(1口。，整理得結(jié)論。

【例題4】設(shè)/(x).C［a,b］?在(a,〃)內(nèi)可導(dǎo)(aEO)>證明：存在［(，匕□(。，份，

使

尸(［1)=3+匕)”|2)=3?+而+/?2)”13)。

2〔2313

【解答】令E(x)=x,F|2(x)=3x0，由扃西定理,存在［3□(a.b)，使得

32

5

/?=叩，于是9)口/⑷=d+裙+/舟AU)。

33

hDtz3居b\ja3任

令尸2(尤)=*2,F22(X)=2x0-由柯西定理，存在［2□(a,b)>使得

/3)口/3)=0(L),于是/0)/(?)=0+/"(L),

22

b\Ja2LbDa2［2

再由拉格朗日中值定理，存在［□(見(jiàn)份，使得/⑸二，⑷=-(1)，故原結(jié)論成立。

bGa

題型六：含及中值［的問(wèn)題

情形一：a,b與〔可分別

【例題1】設(shè)出?>0(a</?),證明：存在［□(?,b)>使得aetZ?e-(?/?)(!ll)e"

【解答】ae&□加"=(。口》)(1口〔儲(chǔ)等價(jià)于金be=(1□［泗或

aUb

ba

efje_

ba=(1口1)e1，令/(九)=",/(%)='，月(］)=□10，由柯西中值定理，存

11xx%2

ba

在［口3與，使得/(份/⑷=-(。，整理得a/也e=(a□/?)(!al)e。

F(b)DF(a)Fl(［)

情形二：a涉與〔不行分別

【例題2】設(shè)/(x),g(x)D［a,句，在(a,份內(nèi)可導(dǎo)，且g!(x)。，證明：存在〔□伍力)，

使得/伍)口人〔)=尸(〔)。

g(l)Dg3)烈〔)

【解答】/(,八〔)=戶(hù)“)等價(jià)于

g(〔)gS)g?(［)

f(a)gl(i)+g(b)fl(I)□/(I)g2(I)□/2(I)g(I)=0.

令F(x)=f(a)g(x)+f(x)g(b)/(x)g(x)，

因?yàn)槭?a)=F(b)=f(a)g(b),所以由羅爾定理，存在I(a,b)，使得尸!(〔)=。，整理

6

得/(")□/(〔)=「(〔)。

g([)E]gS)g?(l)

題型七：雜例

【例題】設(shè)/㈤在口,句上二階可導(dǎo)，證明：

(1)存在］,［2口(。力)<li1)使得

/Q)+F(L)=O,川2)+尸(［2)=0。

(2)存在〔□3,0)，使得/22(1)=/(〔)。

【解答】

(1)設(shè)/+電)>0"3)>0,由/+&)〉o,存在為(兄勿，使得/(國(guó))〉/(a)=0；

由/?(/?)>0，存在即(a,b)，使得/(即)</S)=0。

因?yàn)閒(X\)/(x2)<0>所以存在c(a,b)，使得/(c)=0。

令口(x)=&f(x)，因?yàn)閒(a)=/(c)=f(b)=0，所以口伍)=n(c)=n3)=0,

由羅爾定理，碎［1口3以［2口(。力)，使得口(1)=口?(〔2)=0，

而n［(x)=2"(x)+「(x)］且60,所以有/(1,)+/2(1,)=0-/(I2)+尸(12)=0。

(2)令尸㈤=e「/㈤+戶(hù)⑴］，因?yàn)?(［,)=F(［2)=0,所以由羅爾定理，存在

〔.(1，］2)口(氏勿，使得網(wǎng)(〔)=0,而戶(hù)a)=e“"畋)口/a)］且e*0)所以有

P(l)=/(l)?

題型八：二階保號(hào)性問(wèn)題

【注解】中值定理問(wèn)題中若出現(xiàn)條件/22(x)〉0或/*x)<0，則通常有如下兩種思路：

思路一：設(shè)/12(x)>0(<0)，則fl(x)單調(diào)增加(單調(diào)削減)。

【例題1】設(shè)/(x)在［(),+□)上連續(xù)，且/22。)>0,/(0)=0,證明：對(duì)隨意的a>0力>0

有/(?)+f(b)<f(a+b)o

【證明】不妨設(shè)abb,由微分中值定理得

/(?)0/(0)=/］(［))?)其中0<L<a，

f(a+b)Df(b)=/2([2)?'其中b<[2<a+b?

7

因?yàn)?(x)>o且L<〔2，所以L)<「(1)，

從而/(a)□/(O)<f(a+b)n于(b)，于是f(a)+f(b)<f(a+b)。

【例題2】(1)設(shè)-2)=0,且lim#嗎=3,探討x=2是否是極值點(diǎn)？

q2a口2產(chǎn)

(2)設(shè)/22(2)=0,/&(2)=2,探討(2,7(2))是否是拐點(diǎn)?

【解答】(1)因?yàn)?皿戶(hù)里=3>0,所以Ltlffl耐耨性存在TM>o,當(dāng)0<|XC]2|<TM

由2(X—2)

時(shí)，>0。因?yàn)?彳.2)2〉。，所以/2(x)>0,從而/2(幻單調(diào)增加，又因?yàn)?/p>

(M2)2

刀(2)=0,所以當(dāng)XD(2E]TM,2)時(shí)，/2(x)<0；當(dāng)XD(2,2+TM)時(shí)，/2(x)>0,于是x=2

為微小點(diǎn)。

(2)由/取2)=2>0得lim#(*)/⑵=]加J郴)依據(jù)極限的保號(hào)性，存在

Q2%02組2X

n2

TM>0,當(dāng)0<"2|<TM時(shí)，益)>0。當(dāng)』口(2口?,2)時(shí)，/Wx)<o；當(dāng)xd(2,2+TM)

xD2

時(shí)，/22(x)>0,故(2,7(2))是拐點(diǎn)。

【例題31設(shè)f(x)在[2,+口)上滿(mǎn)意：/⑵=J3,/2(2)=1,/22(X)>0，證明函數(shù)f(x)在

(2,+)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。

【解答】因?yàn)橥?力>0,所以fl(x)單調(diào)增加，又因?yàn)橛?)=1,所以fl(x)￡1，

從而當(dāng)x>2時(shí)，/(x)n/(2)=/2(l)(xD2)sxa2.其中2<〔<x,于是

/(x)￡/(2)+x2,由極限的保號(hào)性，lim/(%)=+，再由/(2)=23<0得f{x}至

AO+D

少有一個(gè)零點(diǎn)。由了!(x)￡l>0得單調(diào)增加，故零點(diǎn)是唯一的。

思路二：運(yùn)用泰勒中值定理得到一個(gè)重要不等式

定理設(shè)/(x)在3,句上二階可導(dǎo)，則有

⑴若#(x)>0，則/(x)￡/(x0)+f\xn)(x□沏)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=覆；

(2)若/22(x)<0,則/(x)3/(九0)+/(無(wú)0)?！跗?，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=沏。

【例題4】設(shè)/Q)—C[a,b]>且7(x)〉0，取為—[a向(13i3〃)，設(shè)左〉0(13i3〃)

8

且幺+自++左,=1,證明:

+k?f(x?)?

f(k}x\+k2x2++k,,xn)8k}fM+k2f(x2)+

【解答】令沏=佑汨+k2x2++k?x?>

因?yàn)橥猓ü猓?,所以/（尤）￡/（沏）+/5）。J。），于是

*/(X|)￡/(Xo)+/[(%>)(汨□M)4Jcif(x,)Efctf(xo)+fKxn)ki(XjQxo)

*/(X2)￡f(xo)+fKxo)(X2□Xo)鼠2/(X2)￡22/(向)+fK^o慮(即一向)

,故.

A*

蝦（招）￡，（沏）+。（司）（％二X0）軌,f(x“)￡k“f(R)+fKxo)k?(x?□沏)

相加得左/(X|)+k2/(X2)+

+Z/(X“)￡，(Xo)。

/a)=1,證明：y(x)sxo

X

【例題5】設(shè)/(x)(7(□□,+□)，#(x)〉0,且lim

由0

【解答】由limf8=1得y（0）=0J2（0）=1,

JCOx

因?yàn)榇ǎň牛?，所以/（x）￡/（X（））+/2（沏）（xXo），取x（）=0，則有，（x）￡x。

題型九：中值定理證明不等式問(wèn)題

【例題1】f（x）□C[a,b]）在（a,份內(nèi)可導(dǎo),/（a）=/（份，且/（%）不是常數(shù)，證明：存

在〔□3力），使得1（〔）＞0。

【解答】因?yàn)?3）=/3）且/（X）不為常數(shù)，所以存在3,份，使得/?）⑷，不

妨設(shè)/（c）＞/（a）,由拉格朗日中值定理，存在〔口（a,c）□3力），使得

/!（[）=/（c）/（a）＞0。

cUa

【例題21設(shè)/。）口?？?可，在3份內(nèi)可導(dǎo)，且曲線y=/（x）非直線，證明：存在

I□（a,b）,使得‘⑸了⑷。

bUa

盤(pán)鼬直線為y=/（a）+,⑷

（xDa）,令

n=8口4）,明顯口（a）=nS）=o，因?yàn)?（x）不為直線,

bUa

所以存在?？谒?份，使得n（c）不妨設(shè)n（c）＞o。

9

由拉格朗日中值定理，存在L□3,c),〔2□(C,b)，使得

口2(1"⑹山細(xì)！K力歲二n%,

cQab\Jc

而n=，所以小〔1)〉/3)/(")JK2