2021年湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷-初中數(shù)學【北師大版】七年級下冊課件說課稿教案試題真題測試題

2021年湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.）

1.（3分）8的相反數(shù)是（）

A.-8B.8C.-AD.±8

8

2.（3分）2021年2月25日，習近平總書記莊嚴宣告，我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面勝利.現(xiàn)

標準下，98990000農村貧困人口全部脫貧.數(shù)98990000用科學記數(shù)法表示為（）

A.98.99X10456B.9.899X107

C.9899X104D.0.09899X108

3.（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

4.（3分）下列運算結果為小的是（）

A.B.a%/C.(招)2D.3)2

2

5.（3分）下列計算正確的是（）

A.A/16=±4B.（-2）°=1C.V2+V5=V7D.我=3

6.（3分）為了向建黨一百周年獻禮，我市中小學生開展了紅色經(jīng)典故事演講比賽.某參賽

小組6名同學的成績（單位：分）分別為：85,82,86,82,83,92.關于這組數(shù)據(jù),

下列說法錯誤的是（）

A.眾數(shù)是82B.中位數(shù)是84C.方差是84D.平均數(shù)是85

7.（3分）如圖是由6個相同的正方體堆成的物體，它的左視圖是（)

8.（3分）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖.自動扶梯AB的傾斜角為37°,大廳

兩層之間的距離5c為6米，則自動扶梯AB的長約為（sin37°-0.6,cos37°^0.8,tan37°

^0.75）（）

A.7.5米B.8米C.9米D.10米

9.（3分）下列命題是真命題的是（）

A.正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和

B.正六邊形的每一個內角為120°

C.有一個角是60°的三角形是等邊三角形

D.對角線相等的四邊形是矩形

10.（3分）不等式組［x+l<0的解集在數(shù)軸上可表示為（）

I-2x46

，L11II1，1，1>

A.-5-4-3-2-1012

--------1----1?1?-1-----1->

B.-5-4-3-2-1012

C.-5-4-3-2-1~6~1~2_>

D.-5-4-3-2-1012

11.（3分）下列說法正確的是（）

A.為了解我國中學生課外閱讀情況，應采取全面調查方式

B.某彩票的中獎機會是1%,買100張一定會中獎

C.從裝有3個紅球和4個黑球的袋子里摸出1個球是紅球的概率是反

4

D.某校有3200名學生，為了解學生最喜歡的課外體育運動項目，隨機抽取了200名學

生，其中有85名學生表示最喜歡的項目是跳繩，估計該校最喜歡的課外體育運動項目為跳

繩的有1360人

12.（3分）如圖，矩形紙片ABCQ,AB=4,8c=8,點例、N分別在矩形的邊A。、8c上,

將矩形紙片沿直線MN折疊，使點C落在矩形的邊AO上，記為點P,點。落在G處，

連接PC,交MN于點。，連接CM.下列結論：①四邊形CMPN是菱形；②點尸與點4

重合時，MN=5；③△PQM的面積S的取值范圍是4WSW5.其中所有正確結論的序號

是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）若二次根式正彳有意義，則x的取值范圍是.

14.（3分）計算：.

aa

15.（3分）因式分解：3/-9"=.

16.（3分）底面半徑為3,母線長為4的圓錐的側面積為.（結果保留n）

17.（3分）“綠水青山就是金山銀山”.某地為美化環(huán)境，計劃種植樹木6000棵.由于志愿

者的加入，實際每天植樹的棵樹比原計劃增加了25%,結果提前3天完成任務.則實際

每天植樹棵.

18.（3分）如圖1,菱形A8C。的對角線AC與BQ相交于點。，P、Q兩點同時從。點出

發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運動.點P的運動路線為O-A-0-0,

點Q的運動路線為0-C-8-0.設運動的時間為x秒，P、。間的距離為y厘米，y與

x的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示，當點尸在A段上運動且產(chǎn)、。兩點間的距離最

短時，P、。兩點的運動路程之和為____________________厘米.

三、解答題（本大題共8個小題，19?20題每題6分，21?24題每題8分，25題10分，

26題12分，滿分66分.解答應寫出文字說明、證明過程或鹽酸步驟.）

19.（6分）計算：（x+2y）2+（x-2y）（x+2y）+xCx-4y）.

20.（6分）如圖，點A、B、D、E在同一條直線上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求證:

/\ABC^/\DEF.

21.（8分）“垃圾分類工作就是新時尚”，為了改善生態(tài)環(huán)境，有效利用垃圾剩余價值，2020

年起，我市將生活垃圾分為四類：廚余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.某學

習研究小組在對我市垃圾分類實施情況的調查中，繪制了生活垃圾分類扇形統(tǒng)計圖，如

圖所示.

（1）圖中其他垃圾所在的扇形的圓心角度數(shù)是度；

（2）據(jù)統(tǒng)計，生活垃圾中可回收物每噸可創(chuàng)造經(jīng)濟總價值約為0.2萬元.若我市某天生

活垃圾清運總量為500噸，請估計該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟總價值是多少萬元？

（3）為了調查學生對垃圾分類知識的了解情況，某校開展了相關知識競賽，要求每班派

2名學生參賽.甲班經(jīng)選拔后，決定從2名男生和2名女生中隨機抽取2名學生參加比賽,

求所抽取的學生中恰好一男一女的概率.

22.(8分)如圖，點E為正方形ABC。外一點，ZAEB=W°,將Rt^ABE繞A點逆時針

方向旋轉90°得到△/!￡>2，OF的延長線交8E于H點.

(1)試判定四邊形AFHE的形狀，并說明理由；

(2)已知8，=7,BC=13,求?！钡拈L.

23.(8分)如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調節(jié)扣構成.小文購買時,

售貨員演示通過調節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度(單層部分與雙

層部分長度的和，其中調節(jié)扣所占長度忽略不計)加長或縮短，設雙層部分的長度為xcm,

單層部分的長度為經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù).

雙層部分長度x(an)281420

單層部分長度y(cm)148136124112

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關系式；

(2)按小文的身高和習慣，背帶的長度調為130c小時為最佳背帶長.請計算此時雙層部

分的長度；

(3)設背帶長度為Lew,求L的取值范圍.

24.(8分)如圖，A8是。。的直徑，。為。0上一點，E為BD的中點，點C在班的延長

線上，且/CD4=NB.

(1)求證：C￡＞是。。的切線；

25.(10分)如圖，△OAB的頂點坐標分別為O(0,0),A(3,4),B(6,0),動點P、

Q同時從點。出發(fā)，分別沿x軸正方向和y軸正方向運動，速度分別為每秒3個單位和

每秒2個單位，點P到達點B時點P、Q同時停止運動.過點Q作MN//OB分別交AO、

AB于點M、N,連接PM、PN.設運動時間為f(秒).

(1)求點M的坐標(用含，的式子表示)；

(2)求四邊形MN8P面積的最大值或最小值：

(3)是否存在這樣的直線/,總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請求出直線/

的解析式；如果不存在，請說明理由；

(4)連接AP,當NOAP=NBPN時，求點N到。4的距離.

26.(12分)在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”.例

如(1,1),(2021,2021)…都是“雁點”.

(1)求函數(shù)y=居圖象上的“雁點”坐標；

X

(2)若拋物線y=o?+5x+c上有且只有一個“雁點”E,該拋物線與x軸交于M、N兩

點(點M在點N的左側).當時.

①求c的取值范圍；

②求NEMN的度數(shù)；

(3)如圖，拋物線)，=-f+2x+3與x軸交于A、8兩點(點A在點B的左側)，P是拋

物線y=-f+2x+3上一點，連接BP,以點尸為直角頂點，構造等腰Rt^BPC,是否存

在點P，使點C恰好為“雁點”？若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

2021年湖南省衡陽市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.）

1.（3分）8的相反數(shù)是（）

A.-8B.8C.-AD.±8

8

【解答】解：相反數(shù)指的是只有符號不同的兩個數(shù)，因此8的相反數(shù)是-8.

故選：A.

2.（3分）2021年2月25日，習近平總書記莊嚴宣告，我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面勝利.現(xiàn)

標準下，98990000農村貧困人口全部脫貧.數(shù)98990000用科學記數(shù)法表示為（）

A.98.99X106B.9.899X107

C.9899X104D.0.09899X108

【解答】解:98990000=9.899X107,

故選：B.

3.（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

【解答】解：A.是軸對稱圖形，故本選項符合題意;

B.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意;

C.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意;

D.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：A.

4.（3分）下列運算結果為小的是（)

A.a1,a3B.a,2-r-a2C.Ca3)2D.(Lr3)2

2

【解答】解：A.。2加3=〃5,故此選項不合題意；

B.故此選項不合題意；

C.(a3)2=小,故此選項符合題意；

D.(」“3)2=弱6,故此選項不合題意；

24

故選：C.

5.(3分)下列計算正確的是()

A.Vl6=±4B.(-2)°=1C.揚旄=有D.炯=3

【解答】解：16的算術平方根為4,即J正=4,故4不符合題意；

根據(jù)公式a°=l(“#O)可得(-2)°=1,故8符合題意；

、歷、逐無法運用加法運算化簡，故我班聲故C不符合題意；

V9=3＞故。不符合題意；

故選：B.

6.(3分)為了向建黨一百周年獻禮，我市中小學生開展了紅色經(jīng)典故事演講比賽.某參賽

小組6名同學的成績(單位：分)分別為：85,82,86,82,83,92.關于這組數(shù)據(jù)，

下列說法錯誤的是()

A.眾數(shù)是82B.中位數(shù)是84C.方差是84D.平均數(shù)是85

【解答】解：將數(shù)據(jù)重新排列為82,82,83,85,86,92,

4、數(shù)據(jù)的眾數(shù)為82,此選項正確，不符合題意；

B、數(shù)據(jù)的中位數(shù)為巡空=84,此選項正確，不符合題意；

2

C、數(shù)據(jù)的平均數(shù)為82+82+83+85+86+92=85,

6

所以方差為上又[(85-85)2+(83-85)2+2X(82-85)2+(86-85)2+(92-85)2]

6

=12,此選項錯誤，符合題意；

D、由C選項知此選項正確；

故選：C.

7.(3分)如圖是由6個相同的正方體堆成的物體，它的左視圖是()

【解答】解：這個組合體的三視圖如下:

故選：A.

8.（3分）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖.自動扶梯AB的傾斜角為37°,大廳

兩層之間的距離BC為6米,則自動扶梯AB的長約為（sin37°-0.6,cos37°M）.8,tan37°

-0.75）（）

【解答】解：在RtZiABC中，ZACB=90°,BC=6米,

；sin/BAC=K=sin37。弋0.6=2，

AB5

七$8C=aX6=10（米），

33

故選：D.

9.（3分）下列命題是真命題的是（）

A.正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和

B.正六邊形的每一個內角為120°

C.有一個角是60°的三角形是等邊三角形

D.對角線相等的四邊形是矩形

【解答】解：A.每個多邊形的外角和都是360°,故錯誤，假命題；

B.正六邊形的內角和是720°,每個內角是120°,故正確，真命題；

C.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故錯誤，假命題；

D.對角線相等的平行四邊形是矩形，故錯誤，假命題.

故選：B.

10.（3分）不等式組1x+l<°的解集在數(shù)軸上可表示為（）

I-2x46

-------------1--------1L,I.L-1..>

A.-5-4-3-2-1012

--------1—1—?——----------1—>

B.-5-4-3-2-1012

C.-5-4-3-2-1~0~1~2~>

II1I1I---1---1-->

D.-5-4-3-2-1012

【解答】解：解不等式x+l<0得，1,

解不等式-2xW6得,-3,

???不等式組的解集為：-3WxV-1,在數(shù)軸上表示為：

-------------i--------1---1--------------------1------------------1---->

-5-4-3-2-1012

故選：A.

11.（3分）下列說法正確的是（）

A.為了解我國中學生課外閱讀情況，應采取全面調查方式

B.某彩票的中獎機會是1%,買100張一定會中獎

C.從裝有3個紅球和4個黑球的袋子里摸出1個球是紅球的概率是旦

4

D.某校有3200名學生，為了解學生最喜歡的課外體育運動項目，隨機抽取了200名學

生，其中有85名學生表示最喜歡的項目是跳繩，估計該校最喜歡的課外體育運動項目為跳

繩的有1360人

【解答】解：全國中學生人數(shù)很大，應采用抽樣調查方式，

選項錯誤，

彩票的中獎機會是1%說的是可能性，和買的數(shù)量無關，

選項錯誤，

根據(jù)概率的計算公式，C選項中摸出紅球的概率為國，

7

選項錯誤，

200名學生中有85名學生喜歡跳繩，

???跳繩的占比為篇X100%=42.5%，

.?.3200X42.5=1360（人），

...￡＞選項正確，

故選：D.

12.（3分）如圖，矩形紙片ABC。，AB=4,BC=8,點、M、N分別在矩形的邊40、8c上,

將矩形紙片沿直線折疊，使點C落在矩形的邊AD上，記為點P,點。落在G處，

連接尸C,交MN于點Q,連接CM.下列結論：①四邊形CMPN是菱形；②點P與點A

重合時，MN=5；③△PQM的面積S的取值范圍是4WSW5.其中所有正確結論的序號

是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【解答】解：；PM〃CN,

：.NPMN=NMNC,

:NMNC=NPNM,

：.NPMN=NPNM,

：.PM=PN,

,:NC=NP,

:?PM=CN,

■:MP//CN,

???四邊形CNPM是平行四邊形，

":CN=NP,

???四邊形CNPM是菱形，

故①正確；

如圖1,當點P與A重合時，設BN=x,則AN=NC=8-x,

在RtZXABN中，AB2=A^,

即42+^=(8-x)2,

解得工=3,

，CN=8-3=5,

???A8=4,8C=8,

?"C=、AB2+BC2=4近，

*'*CQ=-^-AC=2.yj^9

.?.0N=、CN2_CQ2=旄,

:.MN=2QN=2娓,

故②不正確；

由題知，當過點。時，CN最短,如圖2,四邊形CMPN的面積最小,

此時S=X$菱形GWW=AX4X4=4,

44

當P點與A點重合時，CN最長，如圖1,四邊形CMPN的面積最大，

止匕時S=AX5X4=5,

4

；.4<SW5正確，

B

圖2

G

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）若二次根式正三有意義，則x的取值范圍是在3

【解答】解：根據(jù)題意，得

x-3N0,

解得，x23；

故答案為：x23.

14.（3分）計算：—1.

aa

【解答】解：原式="ltL=i.

a

故答案為：I.

15.（3分）因式分解：3a1-9ab=3。分-36）.

【解答】解：3a2-9ab

—3a（a-3b）,

故答案為：3a（a-3b）.

16.（3分）底面半徑為3,母線長為4的圓錐的側面積為121T.（結果保留n）

【解答】解：圓錐的側面積=2irX3X4+2=12n.

故答案為：12ir.

17.（3分）“綠水青山就是金山銀山”.某地為美化環(huán)境，計劃種植樹木6000棵.由于志愿

者的加入，實際每天植樹的棵樹比原計劃增加了25%,結果提前3天完成任務.則實際

每天植樹500棵.

【解答】解：設原計劃每天植樹x棵，則實際每天植樹（1+25%）x棵，

依題意得：6000_6000_=3,

x（1+25%）x

解得：x=400,

經(jīng)檢驗，x=400是原方程的解，且符合題意，

，(1+25%)x=500.

故答案為：500.

18.(3分)如圖1,菱形A2CZ)的對角線AC與8。相交于點O,P、。兩點同時從。點出

發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運動.點P的運動路線為0-A-0-0,

點Q的運動路線為0-C-B-0.設運動的時間為x秒，P、Q間的距離為y厘米，y與

x的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示，當點尸在A-O段上運動且P、Q兩點間的距離最

短時，P、Q兩點的運動路程之和為(2、瓜3)厘米.

圖1圖2

【解答】解：由圖分析易知I：當點P從0-A運動時，點。從OfC運動時，y不斷增大,

當點P運動到A點，點。運動到C點時，由圖象知此時y=PQ=2?cm,

:.AC=2yf^cm,

?.?四邊形ABC。為菱形，

.".ACLBD,0A=0C=/AC=?C"3

當點尸運動到。點，。運動到8點，結合圖象，易知此時，y=BD=2cm,

：.OD=OB=LBD=lcm,

2

在RtZ\AZ)°中，4°=丫0A240D2={(?)2+12=2(CM，

.u.AD=AB=BC=DC=2c/n,

如圖，當點P在A-。段上運動，點尸運動到點E處，點。在C-8段上運動，點。運

圖1

此時，0E=0F=OA-C）D=立>'1.4,

AD22

4E=”={0A2_0E2=在|=尚，

.??當點P在4-D段上運動且P、。兩點間的距離最短時，P、。兩點的運動路程之和為:

O

（?號）X2=2?+3（c〃?）

故答案為：（2A/奈3）.

三、解答題（本大題共8個小題，19?20題每題6分，21?24題每題8分，25題10分，

26題12分，滿分66分.解答應寫出文字說明、證明過程或鹽酸步驟.）

19.（6分）計算：（x+2y）2+（.X-2y）Cx+2y）+xCx-4y）.

【解答】解：原式=（7+4*尹4;/）+（%2-49）+（7-4孫）

=x2+4xy+4y2+A2-4）^+^-4xy

=3x2.

20.（6分）如圖，點A、B、D、E在同一條直線上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求證:

△ABC@LDEF.

...NC4B=NU?風兩直線平行，同位角相等），

又,：BC//EF,

...NC8A=NFEC（兩直線平行，同位角相等），

在△ABC和△DEF中，

'/CAB=/FDE

,AB=DE,

ZCBA=ZFED

，zMBC絲△￡>EF（ASA）.

21.（8分）“垃圾分類工作就是新時尚”，為了改善生態(tài)環(huán)境，有效利用垃圾剩余價值，2020

年起，我市將生活垃圾分為四類：廚余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.某學

習研究小組在對我市垃圾分類實施情況的調查中，繪制了生活垃圾分類扇形統(tǒng)計圖，如

圖所示.

（1）圖中其他垃圾所在的扇形的圓心角度數(shù)是64.8度:

（2）據(jù)統(tǒng)計，生活垃圾中可回收物每噸可創(chuàng)造經(jīng)濟總價值約為0.2萬元.若我市某天生

活垃圾清運總量為500噸，請估計該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟總價值是多少萬元？

（3）為了調查學生對垃圾分類知識的了解情況，某校開展了相關知識競賽，要求每班派

2名學生參賽.甲班經(jīng)選拔后,決定從2名男生和2名女生中隨機抽取2名學生參加比賽,

求所抽取的學生中恰好一男一女的概率.

【解答】解：（1）由題意可知，其他垃圾所占的百分比為：1-20%-7%-55%=18%,

其他垃圾所在的扇形的圓心角度數(shù)是：360°X18%=64.8°,

故答案為：64.8；

（2）500X20%=100（噸），

100X0.2=20（萬元），

答：該天可回收物所創(chuàng)造的經(jīng)濟總價值是20萬元；

（3）由題意可列樹狀圖：

開始

22.（8分）如圖，點E為正方形ABC。外一點，ZAEB=90°,將Rt^ABE繞A點逆時針

方向旋轉90°得到△AOF,OF的延長線交BE于H點.

（1）試判定四邊形AFHE的形狀，并說明理由；

（2）已知84=7,BC=13,求。”的長.

DC

【解答】解：(D四邊形4FHE是正方形，理由如下：

?.?□△ABE繞A點逆時針方向旋轉90°得到△AOF,

ARtA/lBE^RtA/ADF,

.?.NAEB=NAFD=90°,

...NAFH=9(r,

VRtAABE^RtAADF,

：.ZDAF=ZBAE,

又,.?ND4F+/E4B=90°,

；./BAE+NFAB=90°,

：.ZFAE=90°,

在四邊形中，ZM￡=90°,NAEB=90°,ZAFW=90°,

四邊形AFHE是矩形，

5L'：AE=AF,

，矩形AFHE是正方形；

(2)設AE=x.則由(1)以及題意可知：AE=EH=FH=AF=x,BH=1,BC=AB=13,

在Rt"EB中，AB2=AE2+BE1,

即132=X2+(X+7)2,

解得：x=5,

：.BE=BH+EH=5+7=\2,

：.DF=BE=\2,

又?：DH=DF+FH,

，?！?12+5=17.

23.（8分）如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調節(jié)扣構成.小文購買時,

售貨員演示通過調節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙

層部分長度的和，其中調節(jié)扣所占長度忽略不計）加長或縮短，設雙層部分的長度為xcm,

單層部分的長度為尹江經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù).

雙層部分長度工（cm）281420

單層部分長度y（cm）148136124112

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關系式；

（2）按小文的身高和習慣，背帶的長度調為130C7H時為最佳背帶長.請計算此時雙層部

分的長度；

（3）設背帶長度為Lcvn,求L的取值范圍.

【解答】解：（1）設y與x的函數(shù)關系式為）=丘+〃，

由題知（148=2k+b,

1136=8k+b

解得產(chǎn)口，

lb=152

與x的函數(shù)關系式為y=-2x+152；

⑵根據(jù)題意知卜4V=13°,

ly=-2x+152

解得卜=22,

（y=108

???雙層部分的長度為22a”；

（3）由題知，當x=0時，y=152,

當y=0時，%—76,

；.76<LW152.

24.（8分）如圖，A3是。0的直徑，。為O。上一點，E為俞的中點，點C在區(qū)4的延長

線上，且/CD4=NB.

（1）求證：CD是0。的切線；

（2）若OE=2,NBDE=30°,求CD的長.

【解答】解：（1）證明：連結。。，如圖所示:

是直徑，

：.ZBDA=90°，

：.ZBDO+ZADO=90Q,

XVOB=OD,ZCDA=ZB,

：.NB=NBDO=ZCDA,

：.ZCDA+ZADO=90°,

A0D1CD,且0。為OO半徑,

；.c。是G)0的切線；

(2)連結OE,如圖所示：

VZBDE=30°,

：.ZBOE=2ZBDE=60°,

又為面的中點，

/.ZEOD=60°,

...△EOQ為等邊三角形,

:.ED=EO=OD=2,

又；NBOD=NBOE+NEOD=120°,

；.NOOC=180°-ZBOD=180°-120°=60°,

在RtZkQOC中，ZDOC=60°,OD=2,

.".tanZDOC=tan600=四=里=?,

0D2

:。=2炳.

25.(10分)如圖，△O4B的頂點坐標分別為。(0,0),A(3,4),B(6,0),動點P、

。同時從點O出發(fā)，分別沿x軸正方向和y軸正方向運動，速度分別為每秒3個單位和

每秒2個單位，點P到達點B時點P、Q同時停止運動.過點Q作MN//OB分別交A。、

A8于點M、N,連接PM、PN.設運動時間為f(秒).

(1)求點M的坐標(用含f的式子表示)；

(2)求四邊形面積的最大值或最小值；

(3)是否存在這樣的直線/,總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請求出直線/

的解析式；如果不存在，請說明理由；

(4)連接AP,當/時，求點N到。A的距離.

【解答】解：(1)過點A作x軸的垂線，交MN于點、E,交OB于點F,

由題意得:0Q=2t,OP=3t,PB=6-33

,：O(0,0),A(3,4),B(6,0),

/.OF=FB=3,AF=4,OA=AB^^+^2=5'

'：MN//OB,

ZOQM=AGFA,ZOMQ=ZAOF,

：./\OQM^/XAFO,

???-O-Q=-Q-M-,

AFOF

?.?-2-t=-Q-M?

43

.?.QM=3十,

2

.,.點M的坐標是(微>t,2t).

(2)'：MN//OB,

四邊形QEFO是矩形，

：.QE=OF,

：.ME=OF-QM=3-3十,

21

'：OA=AB,

：.ME=NE,

:.MN=2ME=6-3t,

AS忖邊肋MNBP=S&MNP+S&BNP

=AwOQ+工?BP'OQ

22

=_^(6-3t)*2t+y*(6-3t),2t

=-6產(chǎn)+⑵

=-6(r-l)2+6,

???點P到達點8時，P、。同時停止，

.?.0WW2,

.1=1時，四邊形MNBP的最大面積為6.

(3),:MN=6-3t,BP=6-3t,

：.MN=BP,

'：MN//BP,

：.四邊形MNBP是平行四邊形,

平分四邊形MNBP面積的直線經(jīng)過四邊形的中心，即MB的中點,

設中點為H(x,y).

:嗚t,2t)>B(6,0),

?—1(3八=3

,,Ar；—y*(yt+6)——1+3)

、，-2t+0

■.X--^-y+3,

化簡得：y=Ax_4,

3

直線/的解析式為:y=lx-4.

3