第六節(jié)　二項分布及其應用、正態(tài)分布

1．伯努利試驗伯努利試驗只包含______________的試驗叫做伯努利試驗n重伯努利試驗①定義：將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的

稱為n重伯努利試驗．②特征：同一個伯努利試驗重復做n次；各次試驗的結果__________兩個可能結果隨機試驗相互獨立(4)參數μ和σ對正態(tài)曲線形狀的影響：①當σ較小時，峰值高，曲線“____”，表示隨機變量X的分布比較_____；②當σ較大時，峰值低，曲線“____”，表示隨機變量X的分布比較____．(5)若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝

，D(X)＝

.(6)3σ原則:①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_______；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_______.瘦高集中矮胖分散μσ20.682

70.954

50.997

3(1)若X～N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為E(X)＝μ，D(X)＝σ2.(2)“恰好發(fā)生k次”與“有指定的k次發(fā)生”不同：恰好發(fā)生k次的概率P＝Cpk(1－p)n－k，有指定的k次發(fā)生的概率P＝pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．(3)在X～N(μ，σ2)中，隨機變量X在μ的附近取值的概率很大，在離μ很遠處取值的概率很?。?．(北師大版選擇性必修第一冊P209·T1改編)在100件產品中有5件次品，采用放回的方式從中任意抽取10件，設X表示這10件產品中的次品數，則

(

)A．X～B(100,0.05) B．X～B(10,0.05)C．X～B(100,0.95) D．X～B(10,0.95)解析：有放回地抽取，每次抽到次品的概率都是0.05，相當于10重伯努利試驗，所以X～B(10,0.05)．答案：B

2．(人教A版選擇性必修第三冊P77·T2改編)雞接種一種疫苗后，有90%不會感染某種病毒，如果有5只雞接種了疫苗，則恰好有4只雞沒有感染病毒的概率約為

(

)A．0.33 B．0.66C．0.5 D．0.45答案：A4．(人教A版選擇性必修第三冊P87·習題T1改編)某學校高二年級數學學業(yè)質量檢測考試成績X～N(80,25)，如果規(guī)定大于或等于85分為A等，那么在參加考試的學生中隨機選擇一名，他的成績?yōu)锳等的概率是________．(附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827)層級一/基礎點——自練通關(省時間)基礎點(一)

n重伯努利試驗的概率

[題點全訓]1．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為

(

)A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：根據n重伯努利試驗公式得，該同學通過測試的概率為C×0.62×0.4＋0.63＝0.648.答案：A

3．在產品的某項測量中，測量結果ξ服從正態(tài)分布N(5，σ2)，若ξ在(5,6)上取值的概率為0.45，且規(guī)定μ±1以內均為正品，其他為次品，則該產品的次品率是________．解析：由題意知μ＝5，故在(4,6)上均為正品，而P(4＜ξ＜6)＝2P(5＜ξ＜6)＝2×0.45＝0.9.故該產品的次品率為1－0.9＝0.1.答案：0.1[一“點”就過]利用正態(tài)曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1.層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)二項分布

[典例]

“大湖名城，創(chuàng)新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風光秀美，成為中小學生“研學游”的理想之地．為了將來更好地推進“研學游”項目，某旅游學校一位實習生在某旅行社實習期間，把“研學游”項目分為科技體驗游、民俗人文游、自然風光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學生“研學游”學校中，隨機抽取了100所學校，統(tǒng)計如下：研學游類型科技體驗游民俗人文游自然風光游學校數404020該實習生在明年省內有意向組織高一“研學游”的學校中，隨機抽取了3所學校，并以統(tǒng)計的頻率代替學校選擇研學游類型的概率(假設每所學校在選擇研學游類型時僅選擇其中一類，且不受其他學校選擇結果的影響)．(1)若這3所學校選擇的研學游類型是“科技體驗游”和“自然風光游”，求這兩種類型都有學校選擇的概率；(2)設這3所學校中選擇“科技體驗游”的學校數為隨機變量X，求X的分布列與數學期望．[方法技巧]二項分布的解題策略(1)在根據n重伯努利試驗求二項分布的有關問題時，關鍵是理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試驗次數n和變量的概率，從而求得概率．(2)①求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量．②有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可以求出D(aξ＋b).

[針對訓練]師大附中學生會組織部分同學，用“100分制”隨機調查“陽光”社區(qū)人們的幸福度．現從調查人群中隨機抽取16名，記錄了他們的幸福度分數：86,87,73,88,86,95,89,86,96,70,87,89,95,97,86,88.(1)若幸福度不低于95分，則稱該人的幸福度為“極幸?！?，求從這16人中隨機選取3人，至多有1人的幸福度是“極幸福”的概率；(2)以這16人的樣本數據來估計整個社區(qū)的總體數據，若從該社區(qū)(人數很多)任選3人，記ξ表示選到幸福度為“極幸?！钡娜藬?，求ξ的分布列．區(qū)分不開二項分布與超幾何分布——————————————————————————————————[典例]寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？(1)X1表示n次重復拋擲1枚骰子出現點數是3的倍數的次數．(2)X2表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個骰子的點數之和．(3)有一批產品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件數為X3.(4)有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現次品的件數為X4(N－M>n>0)．[診治策略]二項分布與超幾何分布的辨別方法續(xù)表重難點(二)正態(tài)分布的應用

[典例]

(2022·成都七中月考)某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的1000人的得分(滿分：100分)數據，統(tǒng)計結果如下表所示.分組[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數2515020025022510050(1)已知此次問卷調查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ，210)，μ近似為這1000人得分的平均值(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表)，請利用正態(tài)分布的知識求P(36≤Z≤79.5)；(2)在(1)的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調查的市民制訂了如下獎勵方案：①得分不低于μ的可以獲贈2次隨機話費，得分低于μ的可以獲贈1次隨機話費；②每次贈送的隨機話費和相應的概率如下表.[方法技巧]利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．

[針對訓練]某學校高一年級舉行了由全體學生參加的一分鐘跳繩比賽，計分規(guī)則如下：每分鐘跳繩個數[145，155)[155，165)[165，175)[175，185)185及以上得分1617181920年級組為了了解學生的體質，隨機抽取了100名學生，統(tǒng)計了他們的跳繩個數，并利用對應數據繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)現從這100名學生中任意抽取兩人，求兩人得分之和小于35分的概率(結果用最簡分數表示)．(2)若該校高一年級共有2000名學生，所有學生的一分鐘跳繩個數X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中σ2≈225，μ為抽取的100名學生跳繩個數的樣本平均數的估計值(同一組中數據以這組數據所在區(qū)間的中點值為代表)．利用所得到的正態(tài)分布模型解決以下問題：①估計每分鐘跳繩164個以上的人數；②若在全年級所有學生中隨機抽取3人，記每分鐘跳繩在179個以上的人數為Y，求Y的分布列、數學期望和方差．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.3．(不清楚正態(tài)曲線的對稱性)某班有50名同學，一次數學考試的成績X服從正態(tài)分布N(110,102)．已知P(100<X≤110)＝0.34，估計該班學生數學成績在120分以上的有________人．5．(鏈接生活實際)