重慶市榮昌中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

榮昌中學(xué)高2026級(jí)高一上期第二次月考數(shù)學(xué)試題總分：150分時(shí)間：120分鐘一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合要求的)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求集合A，再根據(jù)交集運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，所以.故選：B.2.命題“，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定得到其否定形式，進(jìn)行判斷即可.【詳解】“，”的否定為“，”.故選：D3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求值可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：B4.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性確定正確答案.【詳解】、奇函數(shù)，不符合題意.在上單調(diào)遞減，不符合題意.是偶函數(shù)，且，所以在上單調(diào)遞增.故選：D5.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由于當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，求出的最小值，使其最小值小于等于零即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?，得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D.6.通過加強(qiáng)對(duì)野生動(dòng)物棲息地保護(hù)和拯教繁育，某瀕危野生動(dòng)物的數(shù)量不斷增長(zhǎng)，根據(jù)調(diào)查研究，該野生動(dòng)物的數(shù)量（t的單位：年），其中K為棲息地所能承受該野生動(dòng)物的最大數(shù)量.當(dāng)時(shí)，該野生動(dòng)物的瀕危程度降到較為安全的級(jí)別，此時(shí)約為（）（）A9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】利用列方程，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求得.【詳解】解析根據(jù)題意，所以，所以，所以，得.故選:C7.設(shè)，則a，b，c的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性證明，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性證明，即可得到正確結(jié)論.【詳解】指數(shù)函數(shù)，為減函數(shù)，∴，∵冪函數(shù)為增函數(shù)，∴，∴，∵對(duì)數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，∴，即，∴.故選：A.8.已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是（）A. B. C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】由題意得，再利用基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B二、多選題(本題共四小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)符合要求的選項(xiàng)，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分)9.已知實(shí)數(shù)a，b，c，若，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，故A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，故D正確.故選：AD.10.下列命題是真命題的是（）A.函數(shù)與是同一函數(shù)B.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若時(shí)，，則時(shí)，C.不等式的解集是D.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)同一函數(shù)、奇函數(shù)、分式不等式、必要不充分條件等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域是，所以不是同一函數(shù)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，不等式等價(jià)于，解得或，所以不等式的解集為，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，等價(jià)于“且”，所以則“”是“”的必要不充分條件，D選項(xiàng)正確.故選：CD11.已知，函數(shù)與的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】首先由得出，再分類討論和的取值范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像即可得出答案．【詳解】因?yàn)?，即，所以，?dāng)時(shí)，則，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且過點(diǎn)；對(duì)數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增且過點(diǎn)，將的圖像關(guān)于軸對(duì)稱得到的圖像，則在上單調(diào)遞減且過點(diǎn)，故A符合題意；當(dāng)時(shí)，，同理可得，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且過點(diǎn)，在上單調(diào)遞增且過點(diǎn)，故B符合題意；故選：AB．12.19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（，18051859）引入現(xiàn)代函數(shù)，他還給出了一個(gè)定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，則（）A.B.C.若為有理數(shù)，，則D.存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為正三角形【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，分別討論為有理數(shù)和無理數(shù)，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)，即可得解.【詳解】對(duì)于A，是無理數(shù)，若為有理數(shù)，是無理數(shù)，則；若為無理數(shù)，有可能為有理數(shù)，如，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)為有理數(shù)，為有理數(shù)，則；當(dāng)為無理數(shù)，為無理數(shù)，則，故B正確；對(duì)于C，為有理數(shù)，若為有理數(shù)，則是有理數(shù)，則；若為無理數(shù)，是無理數(shù)，則，故C正確；對(duì)于D，存在三個(gè)點(diǎn)且為有理數(shù)，則，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故D正確；故選：BCD三、填空題(本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分)13.函數(shù)(且)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)_____________.【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，令，即，則，所以的圖象經(jīng)過定點(diǎn).故答案為：.14.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)，分段解不等式即得.【詳解】由函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，得在上單調(diào)遞減，顯然，不等式，當(dāng)時(shí)，，則有，當(dāng)時(shí)，，則有，所以不等式的解集為.故答案為：15.已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】先求出定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出答案.【詳解】令，解得，故函數(shù)定義域?yàn)?，其中，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：16.已知函數(shù)（）的最小值為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先得到，然后根據(jù)當(dāng)時(shí)，恒成立分離常數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，注意到，所以由得在區(qū)間上恒成立，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，任取，，其中，，，所以，所以在上遞增，，所以在區(qū)間上，所以，即的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】含有參數(shù)的分段函數(shù)最值有關(guān)的問題，可先考慮沒有參數(shù)的一段函數(shù)的最值，然后再結(jié)合這個(gè)最值考慮含有參數(shù)的一段函數(shù)，結(jié)合分離常數(shù)法以及函數(shù)值域的求法可求得參數(shù)的取值范圍.四、解答題(本題共6小題，第17題10分，其余每小題12分，共70分.作答時(shí)，請(qǐng)寫出必要的解答過程)17.計(jì)算下列各式．（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值.【小問1詳解】解：原式=【小問2詳解】解：原式=.18.設(shè)集合，.（1）若為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式解集為空集，列出不等式求解即得.（2）解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合A，再分類討論解不等式化簡(jiǎn)集合B，并結(jié)合包含關(guān)系求解即得.【小問1詳解】依題意，不等式解集為空集，于是，即，解得，所以.【小問2詳解】不等式，解得，即，，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，而，顯然不是的子集；當(dāng)時(shí)，，則，由，得，解得，所以的取值范圍是或.19.設(shè)函數(shù)，，且，．（1）求的值及的定義城；（2）判斷的奇偶性，并給出證明；（3）求函數(shù)在上的值域．【答案】（1）定義域，（2）函數(shù)為偶函數(shù)，證明見解析（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)真數(shù)大于0求解定義域，由求的值.（2）根據(jù)奇偶性的定義判斷.（3），根據(jù)真數(shù)的范圍求解.【小問1詳解】由可得，故函數(shù)的定義域，因?yàn)?，由題意，故【小問2詳解】因?yàn)?，又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，【小問3詳解】由（1）可知，，，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?0.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得最小值為5？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由【答案】（1）（2）存在，1【解析】分析】（1）設(shè)冪函數(shù)，代入點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)求解即可；（2）代入可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分類討論求解即可.【小問1詳解】設(shè)冪函數(shù)，由點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以.【小問2詳解】函數(shù)，，且二次函數(shù)的圖象是拋物線，對(duì)稱軸是.①當(dāng)，即時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù)，最小值為，解得，滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，在上先減后增，最小值為，方程無解；綜上知，存在實(shí)數(shù)，使得有最小值為.21.為響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小李同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本5萬元，每年生產(chǎn)x萬件，需另投入流動(dòng)成本C(x)萬元，且C(x)＝每件產(chǎn)品售價(jià)為10元，經(jīng)分析，生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完．（1）寫出年利潤(rùn)P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式(年利潤(rùn)＝年銷售收入－固定成本－流動(dòng)成本)．（2）年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）P(x)＝；（2）8萬件；萬元．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合流動(dòng)成本關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系，即可求得結(jié)果；（2）判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)最值即可.【詳解】（1）因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為10元，所以x萬件產(chǎn)品銷售收入為10x萬元．依題意得，當(dāng)0＜x＜8時(shí)，P(x)＝10x－－5＝＋6x－5；當(dāng)x≥8時(shí)，P(x)＝10x－－5＝30－.所以P(x)＝；（2）當(dāng)0＜x＜8時(shí)，P(x)＝－＋13，當(dāng)x＝6時(shí)，P(x)取得最大值P(6)＝13；當(dāng)x≥8時(shí)，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).當(dāng)x＝8時(shí)，P(x)取得最大值P(8)＝.由13＜，則可知當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用，屬中等題.22.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的定義和恒等式的性質(zhì)，可得所求值；（2）函數(shù)在