2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試第一部分專題三立體幾何微專題2立體幾何與空間向量大題考法3平行與垂直關(guān)系的證明及空間距離的求解

大題考法3平行與垂直關(guān)系的證明及空間距離的求解(2023·茂名二模)在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，O為AD的中點．(1)求證：PO⊥BC；(2)若AB∥CD，AB＝8，AD＝DC＝CB＝4，PO＝2eq\r(7)，點E在棱PB上，直線AE與平面ABCD所成角為eq\f(π,6)，求點E到平面PCD的距離．(1)證明：因為PA＝PD，O為AD的中點，所以PO⊥AD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以PO⊥BC.(2)解：由AB＝8，AD＝DC＝CB＝4，可知四邊形ABCD為等腰梯形，易知BD＝4eq\r(3)，因為AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，建立如圖所示的空間直角坐標系，P(0，0，2eq\r(7))，A(2，0，0)，B(－2，4eq\r(3)，0)，C(－4，2eq\r(3)，0)，D(－2，0，0)，平面ABCD的法向量為n＝(0，0，1)，設(shè)E(x，y，z)，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝(x－2，y，z)，eq\o(PE,\s\up6(→))＝(x，y，z－2eq\r(7))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2，4eq\r(3)，－2eq\r(7))，因為直線AE與平面ABCD所成角為eq\f(π,6)，所以sineq\f(π,6)＝|cos〈n，eq\o(AE,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|z|,\r(（x－2）2＋y2＋z2))＝eq\f(1,2)，所以x2－4x＋4＋y2－3z2＝0，①因為點E在棱PB上，所以eq\o(PE,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(0<λ<1)，即(x，y，z－2eq\r(7))＝λ(－2，4eq\r(3)，－2eq\r(7))，所以x＝－2λ，y＝4eq\r(3)λ，z＝2eq\r(7)－2eq\r(7)λ，代入①解得λ＝eq\f(1,2)或λ＝5(舍去)，eq\o(PE,\s\up6(→))＝(－1，2eq\r(3)，－eq\r(7))，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(－2，0，－2eq\r(7))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－4，2eq\r(3)，－2eq\r(7))，設(shè)m＝(x1，y1，z1)為平面PCD的一個法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(PD,\s\up6(→))＝－2x1－2\r(7)z1＝0，,m·\o(PC,\s\up6(→))＝－4x1＋2\r(3)y1－2\r(7)z1＝0，))令z1＝1，得x1＝－eq\r(7)，y1＝－eq\f(\r(21),3)，所以平面PCD的法向量m＝(－eq\r(7)，－eq\f(\r(21),3)，1)，所以點E到平面PCD的距離d＝eq\f(|\o(PE,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq\f(2\r(7),\r(\f(31,3)))＝2eq\r(\f(21,31))＝eq\f(2\r(651),31).求空間距離的方法(1)求點到面的距離可以用等體積轉(zhuǎn)化法．(2)求點到線的距離和點到面的距離也可以用向量法，套用點線距和點面距公式(見知識方法5)，此外線面距和面面距常轉(zhuǎn)化為點面距求解．(2023·汕頭龍湖區(qū)三模)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA＝PD，E為PB的中點，已知VE-ABC＝eq\f(2,3)，S△PAD＝2.(1)證明：PD∥平面EAC；(2)求點C到平面PAD的距離；(3)若平面PAD⊥平面ABCD，求直線EC與平面PCD所成角的正弦值．(1)證明：連接BD，交AC于O，連接EO(如圖1)，由條件得O為BD的中點，因為E為PB的中點，所以EO是△PBD的中位線，所以EO∥PD，因為EO?平面EAC，PD?平面EAC，所以PD∥平面EAC.(2)解：設(shè)點C到平面PAD的距離為d，因為E為PB的中點，所以P到平面ABCD的距離等于E到平面ABCD的距離等于2倍，因為VE-ABC＝eq\f(2,3)，得VPABC＝eq\f(4,3)，由VP-ABC＝VP-ACD＝VC-PAD，可得VC-PAD＝eq\f(4,3)，因為VC-PAD＝eq\f(1,3)S△PAD·d＝eq\f(4,3)，S△PAD＝2，所以d＝2，故點C到平面PAD的距離為2.(3)解：作PQ⊥AD，交AD于Q，因為PA＝PD，則Q為AD的中點，因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，則PQ⊥平面ABCD，過Q作QM⊥AD，交BC于M，則PQ⊥QM，以Q為坐標原點，QM、QD、QP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖2，因為CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD即為C到平面PAD的距離，由(2)可知點C到平面PAD的距離為2，即CD＝2，從而正方形ABCD邊長為2，故AD＝2，因為S△PAD＝eq\f(1,2)AD·PQ＝2，所以PQ＝2，所以P(0，0，2)，B(2，－1，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，E(1，－eq\f(1,2)，1)，則eq\o(PC,\s\up6(→))＝(2，1，－2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1，eq\f(3,2)，－1)；設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PC,\s\up6(→))＝2x＋y－2z＝0，,n·\o(CD,\s\up6(→))＝－2x＝0，))取n＝(0，2，1)，設(shè)直線EC與平面PCD所成角為θ，則sinθ＝|cos〈e