2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試第一部分專題四概率與統(tǒng)計微專題2統(tǒng)計案例大題考法2線性回歸方程

大題考法2線性回歸方程(2023·廣東模擬)已知甲、乙兩地區(qū)2016年至2022年這七年某產(chǎn)業(yè)收入(億元)的數(shù)據(jù)如下圖所示．(1)如果從甲、乙兩地的這七年收入中各隨機抽取一年的收入，求抽得的甲地收入大于乙地收入的概率；(2)利用統(tǒng)計模型估計該產(chǎn)業(yè)2023年乙地收入會比甲地收入多多少億元．附：回歸系數(shù)、回歸方程的截距計算公式如下：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)記從甲、乙兩地的這七年收入中各隨機抽取一年的收入為事件A，記抽得的甲地收入大于乙地收入為事件B，則事件A有7×7＝49(種)，事件B有14種，(65.4，65.0)，(67.1，65.0)，(68.2，65.0)，(69.8，65.0)，(69.8，68.7)，(73.2，65.0)，(73.2，68.7)，(73.2，70.7)，(73.2，72.6)，(75.8，65.0)，(75.8，68.7)，(75.8，70.7)，(75.8，72.6)，(75.8，74.6)；故所求的概率為P＝eq\f(14,49)＝eq\f(2,7).(2)由圖中數(shù)據(jù)，計算eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,7)×(62.1＋65.4＋67.1＋68.2＋69.8＋73.2＋75.8)＝68.8，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝(－6.7)×(－3)＋(－3.4)×(－2)＋(－1.7)×(－1)＋0＋1×1＋4.4×2＋7×3＝59.4，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，eq\o(b,\s\up6(^))甲＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,7,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(59.4,28)≈2.121，eq\o(a,\s\up6(^))甲＝eq\o(y,\s\up6(－))甲－eq\o(b,\s\up6(^))甲eq\o(x,\s\up6(－))＝68.8－2.121×4≈60.32；所以甲地y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))甲＝2.12x＋60.32，x＝8(即2023年)時，eq\o(y,\s\up6(^))甲＝2.12×8＋60.32＝77.28；計算eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,7)×(65＋68.7＋70.7＋72.6＋74.6＋78.4＋81.7)＝73.1，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝(－8.1)×(－3)＋(－4.4)×(－2)＋(－2.4)×(－1)＋0＋1×1.5＋5.3×2＋8.6×3＝73.4，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，eq\o(b,\s\up6(^))乙＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,7,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(73.4,28)≈2.621，eq\o(a,\s\up6(^))乙＝eq\o(y,\s\up6(－))乙－eq\o(b,\s\up6(^))乙eq\o(x,\s\up6(－))＝73.1－2.621×4≈62.62；所以乙地y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))乙＝2.62x＋62.62，x＝8(即2023年)時，eq\o(b,\s\up6(^))乙＝2.62×8＋62.62＝83.58；所以eq\o(y,\s\up6(^))甲－eq\o(y,\s\up6(^))乙＝83.58－77.28＝6.3，利用統(tǒng)計模型估計該產(chǎn)業(yè)2023年乙地收入會比甲地收入多6.3億元．1．相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，兩個變量的相關(guān)性越強．2．求線性回歸方程時注意給定公式的變形eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，準確計算是關(guān)鍵．(2023·廣東模擬)某短視頻平臺的一位博主，其視頻以展示鄉(xiāng)村生活為主，趕集、出城、抓魚、養(yǎng)雞等新時代農(nóng)村生活吸引了許多觀眾，該博主為家鄉(xiāng)的某農(nóng)產(chǎn)品進行直播帶貨，通過5次試銷得到了銷量y(單位：百萬盒)與單價x(單位：元/盒)的如下數(shù)據(jù)：x66.26.46.66.8y5045454035(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；(2)在所有顧客中隨機抽取部分顧客(人數(shù)很多)進行體驗調(diào)查問卷，其中“體驗非常好”的占一半，“體驗良好”“體驗不滿意”的各占25%，然后在所有顧客中隨機抽取8人作為幸運顧客贈送禮品，記抽取的8人中“體驗非常好”的人數(shù)為隨機變量η，求η的分布列和均值．參考公式：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,)xiyi＝1369,eq\i\su(i＝1,5,)xeq\o\al(2,i)＝205.2.解：(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(6＋6.2＋6.4＋6.6＋6.8,5)＝6.4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(50＋45＋45＋40＋35,5)＝43，根據(jù)附注公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)eq\f(1369－5×6.4×43,205.2－5×6.42)＝－17.5，于是eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝43－(－17.5)×6.4＝155，故經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－17.5x＋155.(2)依題意，η可能的取值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，由于顧客人數(shù)很多，可近似認為η服從二項分布，即η～B(8，eq\f(1,2))，P(η＝k)＝Ceq\o\al(k,8)(eq\f(1,2))k·(eq\f(1,2))8－k＝eq\f(Ceq\o\al(k,8),28)，其中k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8}．故P(η＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,8),28)＝eq\f(1,256)，P(η＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8),28)＝eq\f(8,256)＝eq\f(1,32)，P(η＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8),28)＝eq\f(7,64)，P(η＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),28)＝eq\f(7,32)，P(η＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(4,8),28)＝eq\f(35,128)，P(η＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(5,8),28)＝eq\f(7,32)，P(η＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(6,8),28)＝eq\f(7,64)，P(η＝7)＝eq\f(Ceq\o\al(7,8