2024屆高考數(shù)學二輪專題復習與測試第一部分專題一三角函數(shù)與平面向量01真題賞析類型三解三角形

類型三解三角形1．(2023·全國甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝eq\r(6)，∠BAC的角平分線交BC于D，則AD＝________．解析：如圖，因為在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝eq\r(6)，所以由正弦定理可得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以sin∠ACB＝eq\f(AB×sin∠BAC,BC)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，又∠BAC＝60°，所以∠ACB＝45°，所以∠ABC＝180°－45°－60°＝75°，又AD為∠BAC的平分線，且∠BAC＝60°，所以∠BAD＝30°，又∠ABC＝75°，所以∠ADB＝75°，所以AD＝AB＝2.答案：22．(2023·全國乙卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝eq\f(π,5)，則B＝()A.eq\f(π,10)B.eq\f(π,5)C.eq\f(3π,10)D.eq\f(2π,5)解析：由acosB－bcosA＝c得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，得sin(A－B)＝sinC＝sin(A＋B)，即sinAcosB－sinBcosA＝sinAcosB＋sinBcosA，即2sinBcosA＝0，得sinBcosA＝0，在△ABC中，sinB≠0，所以cosA＝0，即A＝eq\f(π,2)，則B＝π－A－C＝π－eq\f(π,2)－eq\f(π,5)＝eq\f(3π,10).故選C.答案：C3．(2023·新課標Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)設AB＝5，求AB邊上的高．解：(1)因為A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，所以4C＝π，所以C＝eq\f(π,4)，因為2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，所以eq\f(\r(2),2)sinA＝3×eq\f(\r(2),2)cosA，所以sinA＝3cosA，即cosA＝eq\f(1,3)sinA，又因為sin2A＋cos2A＝1，所以sin2A＋eq\f(1,9)sin2A＝1，解得sin2A＝eq\f(9,10)，又因為A∈(0，π)，所以sinA>0，所以sinA＝eq\f(3\r(10),10).(2)由(1)可知sinA＝eq\f(3\r(10),10)，cosA＝eq\f(1,3)sinA＝eq\f(\r(10),10)，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(3\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2\r(5),5)，所以eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(5,sin\f(π,4))＝5eq\r(2)，所以AC＝5eq\r(2)sinB＝5eq\r(2)×eq\f(2\r(5),5)＝2eq\r(10)，BC＝5eq\r(2)×sinA＝5eq\r(2)×eq\f(3\r(10),10)＝3eq\r(5)，設AB邊上的高為h，則eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(1,2)×AC×BC×sinC，所以eq\f(5,2)h＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×3eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)，解得h＝6，即AB邊上的高為6.4．(2023·新課標Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為eq\r(3)，D為BC的中點，且AD＝1.(1)若∠ADC＝eq\f(π,3)，求tanB；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.解：(1)因為D為BC中點，S△ABC＝eq\r(3)，則S△ACD＝eq\f(\r(3),2)，過A作AE⊥BC，垂足為E，如圖所示：△ADE中，DE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(\r(3),2)，S△ACD＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(3),2)CD＝eq\f(\r(3),2)，解得CD＝2，所以BD＝2，BE＝eq\f(5,2)，故tanB＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(5,2))＝eq\f(\r(3),5).(2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(c2＋b2＋2bccosA)，AD＝1，b2＋c2＝8，則1＝eq\f(1,4)(8＋2bccosA)，所以bccosA＝－2，①S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，即bcsinA＝2eq\r(3)，②由①②解得tanA＝－eq\r(3)，所以A＝eq\f(2π,3)，所以bc＝4，又b2＋c2＝8，所以b＝c＝2.5．(2023·全國甲卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知eq\f(b2＋c2－a2,cosA)＝2，(1)求bc；(2)若eq\f(acosB－bcosA,acosB＋bcosA)－eq\f(b,c)＝1，求△ABC面積．解：(1)因為eq\f(b2＋c2－a2,cosA)＝eq\f(2bccosA,cosA)＝2bc＝2，所以bc＝1.(2)eq\f(acosB－bcosA,acosB＋bcosA)－eq\f(b,c)＝eq\f(sinAcosB－sinBcosA,sinAcosB＋sinBcosA)－eq\f(sinB,sinC)＝1，所以eq\f(sin（A－B）,sin（A＋B）)－eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(sin（A－B）－sinB,sinC)＝1，所以sin(A－B)－sinB＝sinC＝sin(A＋B)，所以sinAcosB－sin