【課件】等差數(shù)列的概念（第一課時(shí)）課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

第四章數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念

（第一課時(shí)）

在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并運(yùn)用它們解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，從中感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用.

下面我們從一類取值規(guī)律比較簡(jiǎn)單的數(shù)列人手，研究幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列：第四章數(shù)列【情景1】北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，有9圈扇環(huán)形石板圍繞最中間的天心石，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為：9，18，27，36，45，54，63，72，81【情景2】XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的女裝對(duì)應(yīng)的尺碼分別是：34，36，38，40，42，44，46，48【情景3】

測(cè)量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度(單位：℃)依次為：

25.0,24.4,23.8,23.2,22.64.某人向銀行貸款a萬(wàn)元，貸款時(shí)間為n年，如果個(gè)人貸款月利率為r，那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應(yīng)還本金b(=a/12n)元，每月支付給銀行的利息(單位:元)依次為ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,...④思考上述4個(gè)數(shù)列的取值規(guī)律是什么？有何共同點(diǎn)？9，18，27，36，45，54，63，72，81.①

34，36，38，40，42，44，46，48②25，24，23，22，21．

③ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,...④追問(wèn)：你能寫出①它的遞推公式嗎？an+1-an=9如果用{an}表示數(shù)列①，則有：a2－a1＝9，a3－a2＝9，…，a9－a8＝9.從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).等差數(shù)列的定義：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列.①這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.d

=a2－a1=a3－a2=…=an－an-1(n≥2)②等差數(shù)列的遞推公式：an－an－1=d

(n≥2)思考：以下4組數(shù)列有什么共同的取值規(guī)律？【情景1】9，18，27，36，45，54，63，72，81【情景2】34，36，38，40，42，44，46，48【情景3】25.0，24.4，23.8，23.2，22.6【情景4】ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，...公差d=9公差d=2公差d=﹣0.6公差d=﹣br等差數(shù)列的文字語(yǔ)言

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.等差數(shù)列的符號(hào)語(yǔ)言：

an－an-1

=

d

(d是常數(shù),n≥2且n∈N*)或an+1－an=d

(d是常數(shù),n∈N*)注意：1.判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，主要是由定義進(jìn)行判斷，即判定an+1-

an

是不是同一個(gè)常數(shù).2.公差d是每一項(xiàng)(從第2項(xiàng)起)與它的前一項(xiàng)的差，千萬(wàn)別把順序弄顛倒了！而且公差可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)，也可以為0.

2.等差中項(xiàng)

由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=a+b.1.判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列.如果是，寫出它的公差.2.求下列各組數(shù)的等差中項(xiàng):課本P15探究你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個(gè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的定義,可得an+1－an=d等差數(shù)列的遞推公式所以a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，???于是a2=a1＋d，a3=a2＋d=(a1＋d)＋d

=a1＋2d，a4=a3＋d=(a1＋2d)＋d

=a1＋3d，????an=a1＋(n－1)d，(n≥2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=a1＋(1－1)d=a1，也就是說(shuō)，上式當(dāng)n=1時(shí)也成立.這時(shí)，我們把a(bǔ)n=a1＋(n－1)d稱為等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.迭代法等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差是d，根據(jù)定義得:a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……an－an－1＝d，即a2＝a1＋d；即a3＝a2＋d＝a1＋2d；即a4＝a3＋d＝a1＋3d；即an＝a1＋(n－1)d；將以上n－1個(gè)式子累加得，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:an＝a1＋(n－1)d.不完全歸納法累加法an+1-an=d練習(xí)：

求下列等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）9，18，27，36，45，54，63，72...（2）38，40，42，44，46，48...（3）25，24，23，22，21.

（1）an=9+（n－1）×9=9n

（2）an=38+（n－1）×2=2n+36（3）an=25+（n－1）×（-1）=－n+26(1)可以由首項(xiàng)和公差求出等差數(shù)列中的任一項(xiàng)；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a1

、an、n、d知三求一首項(xiàng)a1公差d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(2)已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)，就可以求出首項(xiàng)和公差從而可求等差數(shù)列中的任一項(xiàng)；通項(xiàng)公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d(3)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列中的任意一項(xiàng)，也可判斷某數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)及是第幾項(xiàng)．在數(shù)列{an}中,

an=pn+q(p、q是常數(shù))，證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列.證明:an+1－an=[p(n+1)+q]－(pn+q)=

p(n∈N*),故該數(shù)列為等差數(shù)列.結(jié)論：數(shù)列{an}是等差數(shù)列?an=pn+q(p、q是常數(shù)).問(wèn)題

我們知道數(shù)列是自變量為n的函數(shù)，你認(rèn)為等差數(shù)列與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？

an＝a1＋（n－1）d=dn＋（a1－d）①4個(gè)量an、a1、n、d，可“知三求一”．②d≠0時(shí)，an=dn+(a1－d)可看成an關(guān)于n的一次函數(shù)(形式:an=kn+b)．①公差d≠0的等差數(shù)列{an}的圖象是點(diǎn)（n，an）組成的集合，這些點(diǎn)均勻分布在直線f(x)＝dx＋(a1－d)上.③等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與公差d有關(guān).當(dāng)d>0時(shí)，等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；

當(dāng)d＝0時(shí)，等差數(shù)列{an}為常數(shù)列；

當(dāng)d<0時(shí)，等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．

an＝a1＋(n－1)d.例1(1)已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求{an}公差和首項(xiàng);

(2)求等差數(shù)列8，5，2，···的第20項(xiàng).解:(1)當(dāng)n≥2時(shí)，由{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，可得

an－1＝5－2(n－1)

＝7－2n.

于是d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2，

a1＝5－2＝3.∴{an}公差為－2，首項(xiàng)為3.(2)由已知條件，得d＝5－8＝－3，a1＝8.∴an＝a1＋

(n－1)d＝8－3(n－1)＝－3n＋11.

∴a20＝－3×20＋11＝－49.例2－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，···的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解:由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4，得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

an＝a1＋(n－1)d

＝－5－4(n－1)＝－4n－1.

設(shè)

－4n－1＝－401，解得

n＝100.

∴－401是這個(gè)數(shù)列第100項(xiàng).例3.在7和21中插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.思考:an=a1

+(n-1)dam=?an-am

=?推論：an=am+(n－m)d,n≠m【求公差的方法】(兩項(xiàng)差除以下標(biāo)差)設(shè)基本量法(方程組法)等差中項(xiàng)的定義和性質(zhì)

當(dāng)堂練習(xí)(1)證：(2)解：練習(xí)：已知數(shù)列{an}滿足

，

，

.(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

方法符號(hào)語(yǔ)言結(jié)論定義法{an}是等差數(shù)列