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第1頁（共4頁）運用數列的單調性求最大（小）項高飛數列是一種特殊的函數，一種定義在正整數集（或其子集）上的函數，因此也具有單調性，可用函數的思想和方法去研究。對于數列而言，若，則此數列為遞增數列，若，則其為遞減數列，若，則其為常數列，運用其單調性可求出一些常見數列的最值，下面舉例說明。一.整式（一次，二次）函數為背景的數列例1.已知等差數列（d<0）其前n項和為，若，問中哪一項最大？解：因為又因為，因為d<0所以數列單調遞減，于是最大點評：等差數列中，當d<0時，時，最大。公差時，最小。二.無理根式函數為背景的數列例2.設函數數列滿足（1）求。（2）求的最小項解：（1）由已知解得，即可知（2），可知數列是遞增數列的最小項為點評：注意隱含條件，否則會得出的錯誤結論，在（2）中用到了分子有理化技巧，這是根式運算常見的一種方法。三.以分式函數為背景的數列例3.已知則在數列的前30項中最大項和最小項分別是_____。解：數列中的項是函數上的一個個孤立點，而f(x)的圖象是由右移個單位再上移1個單位得到的，因此f(x)在上是減函數。在上也是減函數，從而可知當n=9時最小，n=10時，最大。最大項和最小項分別為。例4.已知，記，求數列的最小值。解：，則為遞增數列中的最小項為四.以函數為背景的數列例5.已知數列，則該數列中的最大項是第幾項？解：由得聯想函數知函數在上為減函數。在為增函數。當且僅當時，函數取最小值，而。要使的值最小，應使。通過計算驗證，可得n=12或13時，最大。為數列中的最大項。五.混合型數列（由一個等差數列和一個等比數列的對應項的積組成的數列稱為<差比混合數列>）例6.已知無窮數列的通項公式，試判斷此數列是否有最大項，若有，求出第幾項最大，若沒有，說明理由。解：時，，即當n=8時，，即當n>8時，，即由函數單調性知數列存在最大項即第8，9項。例7.已知數列的通項公式為，其中，數列中是否存在最大的項？若存在，指出是第幾項最大；若不存在，請說明理由。解：（1）當EMBEDEquation.3錯誤！嵌入象on.3時，易見，即，所以數列中不存在最大項。（2）當0<a<1時，易見（i）當，即時，即，所以數列中的第1項最大。（ii）當，即時，。（僅在n=1時等式成立）即所以數列中的第1項和第2項最大…（iii）當即時，若且為整數。記，易知

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