3.2雙曲線 講義 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性 教師

課題：雙曲線知識點(diǎn)11．雙曲線定義：到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡．（（為常數(shù)）．這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)．【（1）距離之差的絕對值．（2）2a＜|F1F2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同】2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（焦點(diǎn)在x軸上）和（焦點(diǎn)在y軸上）（a＞0，b＞0）．這里，其中||=2c．要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同．標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）圖形3．雙曲線的內(nèi)外部：（1）點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部．（2）點(diǎn)在雙曲線的外部．（3）（，其中||=2c，焦點(diǎn)位置看誰的系數(shù)為正數(shù)）焦點(diǎn)在x軸上：（a＞0，b＞0）；焦點(diǎn)在y軸上：（a＞0，b＞0）；；）PPPPHHF2xF1oy雙曲線第二定義：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到一定點(diǎn)F（c，0）的距離和它到一定直線的距離之比是常數(shù)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡是雙曲線．其中定點(diǎn)F（c，0）是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的一條準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的線段稱為焦半徑．知識點(diǎn)31．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)：－=1（a＞0，b＞0）（1）范圍：|x|≥a，y∈R；（2）對稱性：關(guān)于x、y軸均對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；（3）頂點(diǎn)：軸端點(diǎn)A1（－a，0），A2（a，0）（4）漸近線：①若雙曲線方程為漸近線方程；②若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為；③若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）；=4\*GB3④與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是；=5\*GB3⑤與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1（－a,0），A2（a,0）A1（0，－a），A2（0，a）漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈（1，＋∞），其中c＝eq\r(a2＋b2)實(shí)虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫作雙曲線的實(shí)半軸長，b叫作雙曲線的虛半軸長．a(chǎn)、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）2．弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝．【注1】1．（1）當(dāng)|MF1|－|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對應(yīng)的一支；（2）當(dāng)|MF1|－|MF2|=－2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對應(yīng)的一支；（3）當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；（4）當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上．對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．3．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問題：（1）正確判斷焦點(diǎn)的位置；（2）設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解．【注2】1．雙曲線的軌跡類型是；2．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法是”待定系數(shù)法”，“先定型，后計(jì)算”．【注3】1．與雙曲線共漸進(jìn)線（）的雙曲線系方程是2．等軸雙曲線：（實(shí)虛軸相等，即a=b）（1）形式：（）（2）離心率（3）兩漸近線互相垂直，為y=；3．等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)．4．共軛雙曲線：（以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線）【注4】1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中對a、b的要求只是a＞0，b＞0易誤認(rèn)為與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，則雙曲線的離心率e∈（1，eq\r(2)）；若a＝b＞0，則雙曲線的離心率e＝eq\r(2)；若0＜a＜b，則雙曲線的離心率e＞eq\r(2)．2．注意區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓a、b、c關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2．3．等軸雙曲線的離心率與漸近線關(guān)系：雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝eq\r(2)?雙曲線的兩條漸近線互相垂直（位置關(guān)系）．4．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長b5．漸近線與離心率：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的一條漸近線的斜率為eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,a2))＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(e2－1)．可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小．典型例題例1在一個(gè)平面上，設(shè)、是兩個(gè)定點(diǎn)，P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足P到的距離與P到的距離差為，即，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）A．一條線段 B．一條射線 C．一個(gè)橢圓 D．雙曲線的一支【答案】B【解析】依題意，、是兩個(gè)定點(diǎn)，P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線．如圖所示，在線段的延長線上．故選：B例2設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（

）A．5 B．1 C．3 D．1或5【答案】A【解析】依題意得，，，因此，由于，故知點(diǎn)只可以在雙曲線的左支上，因此，即，所以，故選:A．例3已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，，為雙曲線右支上的點(diǎn)，若的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)在線段上，則的周長為（

）A．28 B．36 C．44 D．48【答案】C【解析】如圖所示：∵雙曲線的左焦點(diǎn)為，∴點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，又，∴虛軸長為2b＝8，∴．∵①，②，∴①+②得，∴的周長．故選：C例4設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A．24 B． C． D．30【答案】A【解析】由，可得又是是雙曲線上的一點(diǎn)，則，則，，又則，則則的面積等于故選：A例5設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，M?N分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．9 C．12 D．14【答案】B【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，故，則其焦點(diǎn)為，根據(jù)題意，作圖如下：則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得等號；，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得等號；則，故可得，故的最大值為：．故選：B．例6雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，雙曲線上一點(diǎn)到的距離為8，則點(diǎn)到的距離為（）A．2或12 B．2或18 C．18 D．2【答案】C【解析】由雙曲線定義可知：解得或（舍）∴點(diǎn)到的距離為18，故選：C．例7設(shè)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且滿足，則的面積為（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由題意，雙曲線，可得，則，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由雙曲線的定義可得，又因?yàn)?，可得，即，又由，可得，解得，所以的面積為．故選：C．例8是雙曲線=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓和=4上的點(diǎn)，則的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】則故雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為,,也分別是兩個(gè)圓的圓心,半徑分別為,則的最大值為故選：D例9已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線同一支上的兩點(diǎn)．若，點(diǎn)在線段上，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，所以，解得，所以雙曲線的左焦點(diǎn)，所以點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)．作出雙曲線，如圖所示．由雙曲線的定義，知①，②，由①②，得，又，所以的周長為．故選：C．例10已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，M為雙曲線C右支上任意一點(diǎn)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線C的實(shí)半軸長為，右焦點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)M為的延長線與雙曲線交點(diǎn)時(shí)取等號．故選：C．例11已知雙曲線C的漸近線方程為，且焦距為10，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】漸近線方程為的雙曲線為，即，故，故，故答案為：C．例12已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且雙曲線上的一點(diǎn)到雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榈慕裹c(diǎn)為，故雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)雙曲線方程為，則；由雙曲線定義知：，解得；故可得；則雙曲線方程為：．故答案為：C．例13過且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，過的直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，聯(lián)立，得①．當(dāng)，即時(shí)，①式只有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上可知過且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條．故選：D．例14若過點(diǎn)的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)交點(diǎn)，聯(lián)立可得，由題意可得解得：，故選：D．例15雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線，得，，∴，，∴，故選:C．例16雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)作一條直線分別交C的左右兩支于A，B兩點(diǎn)，若，，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓的對稱性可得，由雙曲線的定義可得所以在中，，結(jié)合，可得，所以即，在中，即，所以，則，故選：C例17已知，是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，且；則C的離心率為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】。故答案為：B例18設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以可得，因?yàn)?，所以，則，所以，故答案為：D例19已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，曲線上一點(diǎn)到軸的距離為，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作軸于，如圖，依題意，，則，令，由得：，由雙曲線定義知，而，在中，由余弦定理得：，解得：，即，又因?yàn)殡x心率，于是有，所以雙曲線的離心率為。故答案為：B例20（多選）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線上一點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率可以是（）A． B． C． D．2【答案】A,B【解析】是雙曲線右支上一點(diǎn)，則有，又，則有，即，則雙曲線的離心率取值范圍為AB符合題意；CD不符合題意．故答案為：AB例21已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，則，兩式作差，并化簡得，，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，即所以，即，由，得．故選：B．例22直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)锳B的中點(diǎn)，則有，又點(diǎn)A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時(shí)，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以l的斜率為2．故選：C例23已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線上除，外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)，，，，，，，．故選：D．例24已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點(diǎn)，且點(diǎn)A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，根據(jù)對稱性，知，所以．因?yàn)辄c(diǎn)A，P在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以．故選：D．例25若是雙曲線上一點(diǎn)，則到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為______．【答案】【解析】由題意得：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，由雙曲線定義知：，則．故答案為：．例26分別求滿足下列條件的曲線方程（1）以橢圓的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程；（2）過點(diǎn)，且漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（3）焦點(diǎn)在軸上，虛軸長為，離心率為；（4）頂點(diǎn)間的距離為，漸近線方程為．（5），，焦點(diǎn)在x軸上；（6）焦點(diǎn)為?，經(jīng)過點(diǎn)．【答案】（1）（2）（3）（4）或（5）（6）【解析】（1）的短軸頂點(diǎn)為（0，－3），（0，3），∴所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c＝3．又，∴a＝6．∴．∴所求橢圓方程為．（2）根據(jù)雙曲線漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程，把代入得m＝1．所以雙曲線的方程為．（3）解：由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為1，因?yàn)樘撦S長為，離心率為，可得，解得，所以雙曲線的方程為．（4）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為1，因?yàn)轫旤c(diǎn)間的距離為，漸近線方程為，可得，解得，所以雙曲線的方程為；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為1，因?yàn)轫旤c(diǎn)間的距離為，漸近線方程為，可得，解得，所以雙曲線的方程為．（5）由題設(shè)知，，，由，得．因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（6）由已知得，且焦點(diǎn)在y軸上．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以點(diǎn)A與兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對值是常數(shù)2a，即，則，．因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．例27過雙曲線的左焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線．（1）求證：與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)和．【答案】（1）證明見解析（2），【解析】（1）由雙曲線方程知：，則，由得：，則，與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（2）設(shè)，，由（1）得：，，；；．舉一反三1．若點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，則“”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意可知，，，，若，則，或1（舍去），若，，或13，故“”是“”的充分不必要條件．故答案為：A．2．設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時(shí)，面積為（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵雙曲線，∴，又點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，，所以，，即，又，∴面積為．故答案為：B．3．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】曲線右焦點(diǎn)為，周長要使周長最小，只需最小，如圖：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取到，故l=2|AF|+2a=故答案為：B4．已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以當(dāng)，即時(shí)，，可得；當(dāng)，即時(shí)，，可得．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為或。故答案為：C5．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半焦距為c，則由題意可知，，即，故，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C．6．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以所以雙曲線的漸近線方程為．故選：A7．點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，解得，故故選：A8．已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長|MN|等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：設(shè)，則，所以，解得，則，．弦長|MN|．故選：D．9．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為過左焦點(diǎn)作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率為，則b的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)、，則，，兩式相減可得，為線段的中點(diǎn)，，，，又，，，即，，故選：D．10．（多選）若三個(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率可以是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，所以，解得，當(dāng)時(shí)，曲線的離心率為：，當(dāng)時(shí)，曲線的離心率為：．故選：AD．11．設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過，兩點(diǎn)．已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€過，兩點(diǎn)．所以直線的方程為，即，所以原點(diǎn)到的距離①．又②，所以，即，故，解得或．當(dāng)時(shí)，，與矛盾，所以．故選：A12．若雙曲線的離心率，則（）A．3 B．12 C．18 D．27【答案】D【解析】由已知雙曲線得，所以，解得，故選：D．13．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若是銳角三角形，則只需．在中，，，則，又，∴，∴，∴．又，∴．故選：B．14．已知，，是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且點(diǎn)A，連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線，的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)A，連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的對稱性，則，所以．因?yàn)辄c(diǎn)A，在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以．故選：D.15．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條漸近線的方程為，則它的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】因?yàn)橐粭l漸近線的斜率為，即，所以．故選：A16．已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且滿足，，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，根據(jù)三角形的性質(zhì)可知，為直角三角形，且，．由雙曲線的定義可得，，又，可得．所以可化為，即，而，，解得，又，．故選：A．17．已知分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)且滿足，則此雙曲線離心率的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，，即，，可得，即，即，又即，又，即，所以，即，即，可得，，即，故選：．18．已知點(diǎn)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則該雙曲線的離心率是（）A． B．或 C．2 D．3【答案】A【解析】根據(jù)題意可設(shè)，將代入，解得，則，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，即，又，所以，即，則，解得或，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以雙曲線的離心率.故選：A.19．設(shè)雙曲線上有兩點(diǎn)，，中點(diǎn)，則直線的方程為________________．【答案】【解析】設(shè)，，則，，則，兩式相減得，，所以直線的方程為即，代入滿足，所以直線的方程為.故答案為：.20．已知雙曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，且的中點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】0或【解析】設(shè)，，，，的中點(diǎn)為，，則，由點(diǎn)差法可得，即①，顯然，又因?yàn)棰冢谌擘倏傻?；由兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，可得，所以，又因?yàn)?，所以，代入拋物線方程得，解得或．故答案為：0或．21．過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與雙曲線交兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線方程是_______________.【答案】【解析】設(shè)，，則，，兩式相減可得：，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，，所以雙曲線方程是，故答案為：.22．過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為___________.【答案】【解析】過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，，，，兩式相減可得：，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，，則，所以直線的方程為，即為．故答案為：．23．已知是雙曲線右支上的一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為．設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若，則．【答案】5【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為3xy=0，即y=3x=，所以，解得a=1，根據(jù)雙曲線定義P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，滿足|PF1||PF2|=2a=2，所以|PF1|=|PF2|+2=5．故答案為：524．已知雙曲線，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上且在第一象限，圓M是△F1PF2的內(nèi)切圓．則M的橫坐標(biāo)為，若F1到圓M上點(diǎn)的最大距離為，則△F1PF2的面積為．【答案】1；【解析】雙曲線的方程為，則．設(shè)圓分別與相切于，根據(jù)雙曲線的定義可知，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知①，而②．由①②得：，所以，所以直線的方程為，即的橫坐標(biāo)為．設(shè)的坐標(biāo)為，則到圓M上點(diǎn)的最大距離為，即，解得．設(shè)直線的方程為，即．到直線的距離為，解得．所以線的方程為．由且在第一象限，解得．所以，．所以△F1PF2的面積為．故答案為：1；25．已知雙曲線x2y2=1，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，則∣PF1∣+∣PF2∣的值為．【答案】【解析】∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵雙曲線方程為x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P為雙曲線x2﹣y2=1上一點(diǎn)，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值為故答案為26．與雙曲線具有相同漸近線，且兩頂點(diǎn)間的距離為2的雙曲線方程為______．【答案】或【解析】設(shè)與具有相同漸近線的雙曲線方程為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的方程為，又因?yàn)閮身旤c(diǎn)間的距離為2，所以，即，所以雙曲線的方程為；當(dāng)時(shí)，雙曲線的方程為，又因?yàn)閮身旤c(diǎn)間的距離為2，所以，即，所以雙曲線的方程為；綜上所述，雙曲線的方程為或．故答案為：或．27．（1）若雙曲線過點(diǎn)，離心率，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為_____．（2）若雙曲線過點(diǎn)，漸近線方程是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為_____．（3）若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為_____．【答案】

【解析】（1）由，設(shè)，則，．設(shè)所求雙曲線的方程為①或②，把代入①，得，與矛盾，舍去；把代入②，得．∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由漸近線方程，可設(shè)所求雙曲線的方程為①，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入①式，得，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3）設(shè)所求雙曲線的方程為，點(diǎn)在雙曲線上，∴，即，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：；；．28．已知雙曲線（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且雙曲線的焦距為2，則該雙曲線的方程為__________．【答案】x2－＝1【解析】由題意得解得則該雙曲線的方程為x2－＝1．故答案為：x2－＝129．焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過點(diǎn)P（4，－2）和點(diǎn)Q（2，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【答案】【解析】設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)（4，－2）和代入方程得解得a2＝8，b2＝4，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：30．實(shí)軸在x軸上，實(shí)軸長為12，一條漸近線的方程為的雙曲線方程為______．【答案】【解析】將變型為：，所以，實(shí)軸長為12，即，，得，所以雙曲線方程為：．故答案為：31．已知，則圓錐曲線的離心率等于______．【答案】或【解析】由得．當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，此時(shí)，，離心率．當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，此時(shí)，，離心率．故答案為：或32．已知雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，則雙曲線的離心率是______．【答案】或【解析】設(shè)雙曲線為．則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;故答案為：或．課后練習(xí)1．“k<2”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵方程為雙曲線，∴，∴或，∴“”是“方程為雙曲線”的充分不必要條件，故答案為：A．2．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，，則（）A．1或13 B．1 C．13 D．9【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線定義可得，又，所以或，又，解得，即，又，所以．故答案為：C3．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【解析】設(shè)右焦點(diǎn)為F'，則F'（4，0），依題意，有PF|=|PF'|+4，|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9（當(dāng)P在線段AF'上時(shí)，取等號）故|PF|+|PA|的最小值為9．故答案為：A4．已知，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且．則的面積為（）A．8 B． C．16 D．【答案】C【解析】因?yàn)镻是雙曲線左支上的點(diǎn)，所以，兩邊平方得，所以．在中，由余弦定理得，所以，所以。故答案為：C5．已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該雙曲線上，若，則（）A．4 B．4或6 C．3 D．3或7【答案】D【解析】由雙曲線定義知：，而，又且，∴3或7，故答案為：D．6．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，雙曲線上一點(diǎn)到的距離為11，則點(diǎn)到的距離為（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或21【答案】B【解析】不妨設(shè)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，當(dāng)P在雙曲線的左支時(shí)，由雙曲線的定義可知，，又=11，所以，當(dāng)P在雙曲線的右支時(shí)，由雙曲線的定義可知，，又=11，所以，又，所以右支上不存在滿足條件的點(diǎn)P．故答案為：B．7．已知，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與曲線的右支交于兩點(diǎn)，則的周長的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由雙曲線可知：的周長為．當(dāng)軸時(shí)，的周長最小值為故答案為：C8．雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】雙曲線，即的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以雙曲線方程為，則雙曲線的漸近線為；故選：C9．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以所以雙曲線的漸近線方程為．故選：A10．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，且a2=3，b2=1，則則漸近線為，即．故答案為為：A11．在中，，．若以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長，半焦距分別為a，c，因?yàn)?，所以AC>BC，因?yàn)橐訟，B為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C所以ACBC=2a，AB=BC=2c，在三角形ABC中由余弦定理得，即，解得AC2=12c2，所以，所以，所以．故選：C12．已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在軸上，為等邊三角形，且線段的中點(diǎn)恰在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則在雙曲線C的右支上，又為等邊三角形，所以，所以，所以連接，則在等邊三角形中，且，所以，所以，即雙曲線的離心率為．故答案為：C．13．直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則斜率k的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】聯(lián)立直線和雙曲線：，消去得，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)方程為，解得，此時(shí)直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，此時(shí)，解得或，所以時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)；故選：A14．若雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則該雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】斜率為，過點(diǎn)A的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線與雙曲線的漸近線平行，且過雙曲線右頂點(diǎn)（a，0），故=，且a3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距為2c=．故選：D．15．過雙曲線：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】妨設(shè)過雙曲線的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D16．已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由F、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得直線l的斜率．∵雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)為（2，0），∴c=2．設(shè)雙曲線C的方程為，則．設(shè)，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．17．直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)锳B的中點(diǎn)，則有，又點(diǎn)A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時(shí)，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以l的斜率為2．故選：C18．雙曲線的右焦點(diǎn)分別為F，圓M的方程為.若直線l與圓M相切于點(diǎn)，與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P恰好為AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的方程為________.【答案】【解析】設(shè)直線l的斜率為k，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，，即，設(shè)點(diǎn)，，則，.兩式相減，得則，即，所以雙曲線C的方程為.故答案為：19．過點(diǎn)作直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線方程為則設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)則則,兩式相減并化簡可得即直線的斜率為2所以直線的方程為,化簡可得因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)所以解得且所以的取值范圍為故答案為:20．以橢圓長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（3，）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【答案】－＝1【解析】由題意得，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且c＝2．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1（a>0，b>0），則有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解