江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由傾斜角為知，直線的斜率，因此，其直線方程為，即故選：B2.已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】就是到原點(diǎn)距離，到原點(diǎn)距離的最小值為則的最小值為2，故選：B.3.如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C.或 D.且【答案】D【解析】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得且.故選：D.4.已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭菕佄锞€：的焦點(diǎn)，所以，又，由拋物線的定義可知，解得，所以.故選：A5.過直線上的點(diǎn)P作圓的兩條切線，，當(dāng)直線，關(guān)于直線對稱時(shí)，兩切點(diǎn)間的距離為（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】依題意，設(shè)兩切點(diǎn)分別為、，并連接交于點(diǎn)，作出示意圖：當(dāng)直線，關(guān)于直線對稱時(shí)，則兩條直線，與直線的夾角相等，且與直線互相垂直，的長為圓心到直線的距離，即，又圓的半徑，在中，，故，結(jié)合垂徑定理得，即兩切點(diǎn)間的距離為，故選：D.6.為落實(shí)“二十大”不斷實(shí)現(xiàn)人民對美好生活的向往，某小區(qū)在園區(qū)中心建立一座景觀噴泉．如圖所示，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個(gè)方向上呈拋物線狀．現(xiàn)要求水流最高點(diǎn)B離地面4m，點(diǎn)B到管柱OA所在直線的距離為2m，且水流落在地面上以O(shè)為圓心，6m為半徑的圓內(nèi)，則管柱OA的高度為（）A.2m B.3m C.2.5m D.1.5m【答案】B【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知，水流的軌跡為一開口向下的拋物線，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，所以，解得，所以拋物線方程為，點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以，所以管柱的高度為．故選：B．7.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，，若直線l：與的歐拉線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.－2 B.－1 C.－1或3 D.3【答案】B【解析】由的頂點(diǎn)，，知，重心為，即，又三角形為直角三角形，所以外心為斜邊中點(diǎn)，即，所以可得的歐拉線方程，即，因?yàn)榕c平行，所以，解得，故選：B8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且與軸平行，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.過定點(diǎn)（2，3）且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線為（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由題意，直線不與坐標(biāo)軸垂直，設(shè)所求的直線方程為，當(dāng)時(shí)，得橫截距，當(dāng)時(shí)，得縱截距，因?yàn)檫^點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，所以，所以或，所以，或或，所以直線的方程為或或.故選：ABC.10.已知，為兩個(gè)不相等非零實(shí)數(shù)，則方程，與所表示的曲線不可能是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】變形得到，A選項(xiàng)，雙曲線交點(diǎn)在軸上，故，此時(shí)應(yīng)該經(jīng)過第一，二，四象限，A不可能；B選項(xiàng)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，故，此時(shí)經(jīng)過第一，二，三象限，B不可能；C選項(xiàng)，雙曲線交點(diǎn)在軸上，故，此時(shí)應(yīng)該經(jīng)過第一，三，四象限，C可能；D選項(xiàng)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，故，此時(shí)經(jīng)過第一，二，三象限，D不可能；故選：ABD11.已知經(jīng)過點(diǎn)的圓C的圓心坐標(biāo)為(t為整數(shù))，且與直線l：相切，直線m：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.若，則實(shí)數(shù)a的值為C.若，則直線m的方程為或D.弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為【答案】BC【解析】對于A，設(shè)圓C的半徑為r，由題意可得圓C的方程為(t為整數(shù))，根據(jù)點(diǎn)是圓C上的點(diǎn)，且圓C與直線l：相切，得，解得，或（舍去），則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A錯(cuò)誤；對于B，由選項(xiàng)A知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，點(diǎn)在圓C上，且，線段AB為圓C的直徑，直線m：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，圓心在直線m上，，解得，故B正確；對于C，由選項(xiàng)A知圓C的半徑為2，圓心，則圓心C到直線m的距離，，即，解得，，整理得，解得或，則直線m的方程為或，故C正確；對于D，直線m的方程可化為，過定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可得，點(diǎn)M的軌跡是以線段CN為直徑的圓，則此圓圓心為線段CN的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為，半徑為，則該圓的方程為，由，得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為與，故弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為，，故D錯(cuò)誤；故選：BC.12.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線的斜率為，傾斜角為且，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】，且，或，即的取值范圍是.故答案為：.14.已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，則它的離心率為________．【答案】2【解析】由題意，得e＝＝＝＝2.15.由曲線圍成的圖形的面積為______.【答案】【解析】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可，當(dāng)，時(shí)，曲線可化為：，表示的圖形為以為圓心，半徑為的一個(gè)半圓，則第一象限圍成的面積為，故曲線圍成的圖形的面積為.故答案為：.16.動點(diǎn)分別與兩定點(diǎn)，連線的斜率的乘積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，已知，，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】設(shè)，，則，，由已知可得，，即，整理可得，.所以，點(diǎn)的軌跡方程為（）.所以，，，，所以.則為橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)右焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義有，所以，所以，.①當(dāng)時(shí)，根據(jù)三邊關(guān)系可知有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，即位于圖中點(diǎn)時(shí)，有最大值為，所以，；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)三邊關(guān)系可知有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，即位于圖中點(diǎn)時(shí)，有最小值為，所以，.綜上所述，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，.求：（1）邊上的中線所在直線方程；（2）邊上的高所在直線方程.解：（1）由題知的中點(diǎn)，所以直線的斜率，則邊上的中線所在直線的方程為，化簡得.（2）由題意得直線AC的斜率，且，所以.則邊上的高所在直線的方程為，化簡得.18.求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn).（2）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（3）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：經(jīng)過點(diǎn)，.解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為.由題意有，，，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由拋物線的定義可得，∴，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）設(shè)所求雙曲線方程，則，解得，所以雙曲線方程為.19.已知拋物線C：焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，求直線l的方程；（2）求證：以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切．解：（1）解法1：由題意，可得，，當(dāng)l斜率不存在時(shí)，l為，由得，故，與題意不符．當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)，∴，設(shè)則，根據(jù)拋物線的定義可得，，則，解得．∴直線l的方程為或．解法2：由題意，可得，∵直線l與拋物線相交于A，B，∴l(xiāng)斜率存在時(shí)，斜率不為0，故可設(shè)，則，設(shè)則∴，解得．則直線l的方程為或．（2）幾何法：取AB的中點(diǎn)M，則M為以AB為直徑的圓的圓心，設(shè)，過M作MN⊥準(zhǔn)線a于N，過A作⊥準(zhǔn)線a于，過B作⊥準(zhǔn)線a于，根據(jù)梯形的性質(zhì)和拋物線的定義可得，即得證．代數(shù)法：設(shè)，弦AB的中點(diǎn)為M，則M為以AB為直徑的圓的圓心，其橫坐標(biāo)為，∵直線l與拋物線相交于A，B，∴l(xiāng)斜率存在時(shí)，斜率不為0，故可設(shè)，則，則，則M到準(zhǔn)線的距離為．又，故，即以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切．20.已知圓，圓（1）若圓、相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若圓與直線相交于、兩點(diǎn)，且，求的值.解：（1）已知圓變形為，圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑為，圓心距，當(dāng)兩圓外切時(shí)，有，即，解得，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有，即，解得，故m的取值為或（2）因?yàn)閳A與直線相交于、N兩點(diǎn)，且，而圓心到直線的距離，有，即，解得：或.21.已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，且點(diǎn)在該雙曲線上.直線交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為（1）求該雙曲線方程；（2）求的斜率；解：（1）雙曲線的漸近線是，即，根據(jù)對稱性，不妨取右焦點(diǎn)，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為：，所以，雙曲線C的方程為.將點(diǎn)A代入雙曲線方程得，得：，故雙曲線方程為.（2）解法一：由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，則聯(lián)立直線與雙曲線得：，則，又，所以，.由韋達(dá)定理可得，，所以，化簡得：，故，整理可得，解得或.若，即時(shí)，，即過A點(diǎn)，顯然直線l不過A點(diǎn)，故l的斜率解法二：設(shè)直線PA方程：，將代入雙曲線，化簡得：，且有，.由韋達(dá)定理可得，所以有，，.以，可得.所以，.22.已知橢圓的長軸長為4，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，求面積的最大值.解：（1）由題意得，解得，故，故橢圓方程為；（2）法1，由題意，當(dāng)直線AB的斜率