上海市重點中學2023-2024學年高三上學期12月階段性測試數(shù)學試題

學年上海市重點中學高三第一學期12月階段性測試一、填空題（共54分,第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．（本題4分）已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為．2．（本題4分）如圖所示是一個樣本容量為100的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其第60百分位數(shù)為.

3．（本題4分）已知集合，則．4．（本題4分）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，是與的一個公共點，則的面積為.5．（本題4分）設、是實數(shù)，且，則的最小值是．6．（本題4分）密切圓（Osculating

Circle），也稱曲率圓，即給定一個曲線及其上一點P，會有一個圓與曲線切在P點，而且是與曲線在該點鄰近最貼近的圓，換言之，沒有一個圓能介于此圓與曲線之間而與曲線相切，此圓稱為曲線在點P處的密切圓，密切圓可能是與曲線在該點相切的圓中半徑最大的（比如在拋物線頂點處的內(nèi)切圓），曲線上某點的曲率圓的半徑稱為曲率半徑.拋物線C：在頂點處的（曲率半徑為.7．（本題5分）我國古代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為

8．（本題5分）2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司發(fā)布的名為“”的人工智能聊天程序進入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數(shù)，表示訓練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數(shù)為18時，學習率衰減為，則學習率衰減到以下（不含）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為.（參考數(shù)據(jù)：）9．（本題5分）剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國古老的民間藝術(shù)之一．已知某剪紙的裁剪工藝如下：取一張半徑為1的圓形紙片，記為，在內(nèi)作內(nèi)接正方形，接著在該正方形內(nèi)作內(nèi)切圓，記為，并裁剪去該正方形內(nèi)多余的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，……重復上述裁剪操作n次，最終得到該剪紙．則第4次裁剪操作結(jié)束后所得的面積為；第n次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面積之和為．

10．（本題5分）已知為實數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)．對于函數(shù)，若存在且，使得，則稱是“函數(shù)”．若函數(shù)是“函數(shù)”，則正實數(shù)的取值范圍是11．（本題5分）已知點P在正方體的表面上，P到三個平面ABCD、、中的兩個平面的距離相等，且P到剩下一個平面的距離與P到此正方體的中心的距離相等，則滿足條件的點P的個數(shù)為．12．（本題5分）已知曲線的方程為，則下列說法中：①無論取何值，曲線都關(guān)于原點中心對稱；②存在唯一的實數(shù)使得曲線表示兩條直線；③當時，曲線上任意兩點間距離的最大值為；④當時，曲線是雙曲線.所有正確的序號是.二、單選題（共18分，13-14題每題4分，15-16題每題5分）13．（本題4分）“”是“直線與直線互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．（本題4分）若不等式，當時總成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．15．（本題5分）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖，在塹堵中，，且.下列說法錯誤的是（

）A．四棱錐為“陽馬”B．四面體為“鱉臑”C．四棱錐體積的最大值為D．過A點作于點E，過E點作于點F，則面AEF16．（本題5分）對于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，恒有，則稱數(shù)列有界；若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列無界，已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當時，數(shù)列有界 B．當時，數(shù)列有界C．當時，數(shù)列有界 D．當時，數(shù)列有界三、解答題（共78分）17．（本題14分，第1小題6分，第2小題8分）函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.18．（本題14分,第1小題6分，第二小題8分）已知橢圓的焦點是，，且，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C與直線交于M，N兩點，且，求實數(shù)的值.19．（本題14分，第1小題6分，第2小題8分）南京玄武湖號稱“金陵明珠”，是我國僅存的皇家園林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飄香，令人陶醉．夏天的一個傍晚，小胡和朋友游玄武湖，發(fā)現(xiàn)觀賞荷花只能在岸邊，無法深入其中，影響觀賞荷花的樂趣，于是他便有了一個愿景：若在玄武湖一個盛開荷花的一角（該處岸邊近似半圓形，如圖所示）設計一些棧道和一個觀景臺，觀景臺在半圓形的中軸線上（圖中與直徑垂直，與不重合），通過棧道把連接起來，使人行在其中，猶如置身花海之感．已知，棧道總長度為函數(shù)．(1)求；(2)若棧道的造價為每米5萬元，試確定觀景臺的位置，使實現(xiàn)該愿景的建造費用最?。ㄓ^景臺的建造費用忽略不計），并求出實現(xiàn)該愿景的建造費用的最小值．20．（本題18分，第1小題4分，第二小題6分，第三小題8分）設是一個關(guān)于復數(shù)z的表達式，若（其中x，y，，為虛數(shù)單位），就稱f將點“f對應”到點．例如將點“f對應”到點．(1)若點“f對應”到點，點“f對應”到點，求點、的坐標；(2)設常數(shù)，，若直線l：，，是否存在一個有序?qū)崝?shù)對，使得直線l上的任意一點“對應”到點后，點Q仍在直線上？若存在，試求出所有的有序?qū)崝?shù)對；若不存在，請說明理由；(3)設常數(shù)，，集合且和且，若滿足：①對于集合D中的任意一個元素z，都有；②對于集合A中的任意一個元素，都存在集合D中的元素z使得．請寫出滿足條件的一個有序?qū)崝?shù)對，并論證此時的滿足條件．21．（本題18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題共8分，分為第1小問4分，第2小問4分）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若時恒成立，求實數(shù)