新教材2024版高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其線性運算課件新人教A版選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其線性運算學習目標素養(yǎng)要求1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共線向量等概念數(shù)學抽象2.會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，了解向量加法的交換律和結合律直觀想象、邏輯推理3.掌握空間向量數(shù)乘運算的意義及運算律數(shù)學運算|自學導引|

空間向量的概念1．定義：與平面向量一樣，在空間，我們把具有________和________的量叫做空間向量(spacevector)．2．長度或模：空間向量的________．3．表示方法：①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；②幾何表示法：空間向量也用__________表示，有向線段的________表示空間向量的_______，向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可以記作，其模記為____________．大小方向

大小

有向線段

長度模4．幾類特殊的空間向量：名稱定義及表示零向量規(guī)定長度為________的向量叫零向量，記為________單位向量模為________的向量叫單位向量相反向量與向量a長度________而方向________的向量，稱為a的相反向量，記為－a0

0

1

相等相反名稱定義及表示相等向量方向________且模________的向量稱為相等向量，同向且等長有向線段表示同一向量或相等向量共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線__________________，那么這些向量叫做__________或平行向量相同相等

互相平

行或重合

共線向量

【答案】(1)√

(2)×

(3)×【預習自測】若表示空間兩個相等向量的有向線段的起點相同，則終點也相同嗎？【答案】提示：因為相等向量的方向相同長度相等，所以表示相等向量的有向線段的起點相同時，終點也相同．微思考空間向量的加、減、數(shù)乘運算及其運算律線性運算的運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；(3)分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________(λ，μ∈R)λa＋μa

λa＋λb

【答案】C

【預習自測】【答案】①

【解析】①中兩個向量的方向一定不同，正確；②中只能說明以表示a，b的有向線段為鄰邊的四邊形為矩形，但|a|與|b|不一定相等，錯誤；③中向量不能進行大小比較，錯誤．

空間向量共線的充要條件對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在_______，使a＝______．實數(shù)λ

λb

微思考【預習自測】直線的方向向量若非零向量a在直線l上，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．直線的方向向量有什么特點？【答案】提示：非零，與直線平行．微思考【預習自測】共面向量1．定義：平行于______________的向量叫做共面向量．2．充要條件：若兩個向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使___________．同一個平面

p＝xa＋yb

【答案】(1)×

(2)√【預習自測】【答案】2

空間中任意兩個向量是否都共面？【答案】提示：是，向量可以自由平移，任意兩個向量都可以平移到一個平面內(nèi)．微思考|課堂互動|題型1有關空間向量的概念的理解【答案】C

處理空間向量概念問題要關注的兩個要素和兩個關系(1)兩個要素判斷與空間向量有關的命題時，要抓住空間向量的兩個主要要素，即大小與方向，兩者缺一不可．(2)兩個關系①模相等與空間向量相等的關系：兩個空間向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個空間向量(非零向量)的模相等是兩個空間向量相等的必要不充分條件．②向量的模與空間向量大小的關系：由于方向不能比較大小，因此“大于”“小于”對空間向量來說是沒有意義的．但空間向量的模是可以比較大小的．1．下列四個命題：①所有的單位向量都相等；②方向相反的兩個向量是相反向量；③若a，b滿足|a|>|b|，且a，b同向，則a>b；④零向量沒有方向．其中不正確的命題的序號為________.【答案】①②③④【解析】對于①，單位向量是指長度等于1個單位長度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定義，故①錯誤；對于②，長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故②錯誤；對于③，向量是不能比較大小的，故③錯誤；對于④，零向量有方向，只是沒有確定的方向，故④錯誤．空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運算的關鍵，靈活應用相反向量可使向量間首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的加法運算時，務必要注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準確的結果．題型3空間向量的共面角度1向量共線【答案】A

證明空間向量共面、點共面的常用方法(1)證明空間三個向量共面常用的方法①證明其中一個空間向量可以表示成另兩個空間向量的線性組合，即若a＝xb＋yc，則空間向量a，b，c共面；②尋找平面α，證明這些空間向量與平面α平行．錯解分析：分析解題過程，錯誤的根本原因是空間向量的數(shù)乘運算與加法運算的幾何意義綜合應用不當．|素養(yǎng)達成|1．對空間向量數(shù)乘運算的三點認識(1)類比平面向量，空間中任意實數(shù)λ與向量a的乘積λa仍然是一個向量，所以它既有大小又有方向，大小為|a|的|λ|倍，方向取決于λ的正負．(2)實數(shù)與向量可以求積，但是不能進行加減運算，如λ＋a，λ－a無意義．(3)特殊情況：當λ＝0或a＝0時，向量λa＝0.2．共線向量充要條件的三個關注點(1)區(qū)別：共線向量與直線平行的區(qū)別，直線平行不包括兩直線重合的情況，而我們說的兩個共線向量a∥b，表示向量a，b的有向線段所在直線既可以是同一直線，也可以是兩條平行直線．(2)零向量：共線向量的充要條件及其推論是證明共線(平行)問題的重要依據(jù)，條件b≠0不可遺漏．(3)方向向量的個數(shù)：直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量．一條直線的方向向量有無限多個，它們的方向相同或相反．3．對共面向量的兩點說明(1)共面的理解：共面向量是指與同一個平面平行的向量，可將共面向量平移到同一個平面內(nèi)．共面向量所在的直線可能相交、平行或異面．(2)向量的“自由性”：空間任意的兩向量都是共面的．只要方向相同，大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量．4．共面向量充要條件的三個作用(1)建立共面向量之間的向量關系式：用兩個不共線的向量可以表示與這兩個向量共面的任意向量．例如：如果兩個向量a，b不共線，由向量c與向量a，b共面可得，存在唯一的一對實數(shù)x，y，使c＝xa＋yb.1．(題型1)下列說法中正確的是

(

)A．任意兩個空間向量都可以比較大小B．方向不同的空間向量不能比較大小，但同向的空間向量可以比較大小C．空間向量的大小與方向有關D．空間向量的?？梢员容^大小【答案】D

【解析】A，B兩項，任意兩個空間向量，不論同向還是不同向均不存在大小關系，故A，B錯誤；C中，向量的大小只與其長度有關，與方向沒有關