高二數(shù)學(xué)同步練習(xí)生活中的優(yōu)化問題舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。4HYPERLINK”file:///D:\\TDDOWNLOAD\\人教A數(shù)學(xué)選修1—1,1-2\\1、3—4。ppt”生活中的優(yōu)化問題舉例一、選擇題1．將8分解為兩個非負(fù)數(shù)之和，使其立方之和為最小,則分法為（）A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不對[答案］B［解析]設(shè)一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8－x，則y＝x3＋（8－x)3，0≤x≤8，y′＝3x2－3（8－x)2，令y′＝0,即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4。當(dāng)0≤x<4時,y′<0；當(dāng)4〈x≤8時，y′>0,所以x＝4時，y最?。?．某箱子的容積與底面邊長的關(guān)系為V(x）＝x2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(60－x，2)））（0<x〈60），則當(dāng)箱子的容積最大時，箱子底面邊長為（）A．30 B．40C．50 D．以上都不正確［答案]B3．用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起,就能焊成鐵盒．所做的鐵盒容積最大時,在四角截去的正方形的邊長為（）A．6 B．8C．10 D．12[答案］B［解析］設(shè)截去的小正方形的邊長為xcm，鐵盒的容積為Vcm3，由題意,得V＝x（48－2x)2(0<x〈24)，V′＝12(24－x)(8－x）．令V′＝0，則在（0，24)內(nèi)有x＝8，故當(dāng)x＝8時，V有最大值．4．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為（）A．R B．2RC.eq\f(4,3)R D.eq\f（3,4）R[答案]C［解析]設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(R－h(huán)）2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，∴V＝eq\f(1，3)πr2h＝eq\f（π，3)h（2Rh－h(huán)2)＝eq\f(2，3）πRh2－eq\f（π,3）h3，∴V′＝eq\f（4,3)πRh－πh2，令V′＝0得h＝eq\f（4,3）R，當(dāng)0<h<eq\f（4,3)R時，V′〉0；當(dāng)eq\f（4,3)R<h〈2R時，V′<0。因此當(dāng)h＝eq\f(4,3）R時，圓錐體積最大，故應(yīng)選C。5．要做一個圓錐形的漏斗,其母線長為20cm，要使其體積為最大，則高為（）A.eq\f(\r（3),3)cm B.eq\f(10\r（3），3)cmC.eq\f（16\r(3）,3)cm D.eq\f（20\r（3），3)cm［答案]D6．圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，為了使所用材料最省，它的高與底半徑應(yīng)為（)A．h＝2R B．h＝RC．h＝eq\r(2）R D．h＝eq\r（2R)[答案]A7．以長為10的線段AB為直徑畫半圓,則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為（）A．10 B．15C．25 D．50［答案］C［解析］如圖，設(shè)∠NOB＝θ，則矩形面積S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.8．設(shè)圓柱的體積為V,那么其表面積最小時，底面半徑為(）A。eq\r(3,V) B。eq\r(3，\f（V,π）)C。eq\r(3,4V） D．2eq\r(3，\f（V,2π））［答案]D[解析］設(shè)底面圓半徑為x，高為h，則V＝πr2h，∴h＝eq\f（V，πr2）.∴S表＝2S底＋S側(cè)＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·eq\f(V，πr2)＝2πr2＋eq\f（2V，r).∴S表′＝4πr－eq\f(2V，r2）,∴V＝eq\r（3,\f(V,2π))，又當(dāng)x∈（0,eq\r(3，\f(V,2π）))時,S表′〈0；當(dāng)x∈(eq\r(3,\f(V，2π))，V)時,S表′>0，∴當(dāng)r＝eq\r(3,\f（V,2π))時，表面積最?。?．福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時時，原油溫度（單位:℃）為f(x)＝eq\f（1,3）x3－x2＋8（0≤x≤5），那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是（)A．8 B。eq\f(20，3）C．－1 D．－8[答案]C[解析］瞬時變化率即為f′(x）＝x2－2x為二次函數(shù),且f′(x)＝(x－1)2－1,又x∈[0，5]，故x＝1時，f′(x）min＝－1。10．若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱,則其圓柱側(cè)面積最大為（）A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D。eq\f(1,2)πr2［答案］A[解析］設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t，則S＝2πr1t＝2πr12eq\r（r2－r\o\al(2，1))＝4πr1eq\r(r2－r\o\al(2，1)).∴S＝4πeq\r（r2r\o\al(2,1)－r\o\al（4,1））。令(r2req\o\al(2，1)－req\o\al(4,1）)′＝0得r1＝eq\f(\r(2),2）r。此時S＝4π·eq\f（\r（2）,2）r·eq\r(r2－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(2)，2)r))2)＝4π·eq\f(\r(2)，2)r·eq\f(\r(2）,2）r＝2πr2。二、填空題11．把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長為________，寬為________時，矩形的面積最大．［答案］15cm15cm［解析］設(shè)長為xcm，則寬為(30－x)cm，此時S＝x·（30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15。所以長為15cm，寬為15cm時，矩形的面積最大．12．將長為l的鐵絲剪成2段，各圍成長與寬之比為21及32的矩形，則面積之和的最小值為________．［答案］eq\f(3,104)l2［解析]設(shè)前者寬為x，面積之和為y，則y＝2x·x＋eq\f(1,5)（l－6x）·eq\f(3，10)（l－6x）＝eq\f(104,25）x2－eq\f(18,25)lx＋eq\f(3,50)l2，y′＝eq\f(208,25）x－eq\f(18,25)l，令y′＝0得,x＝eq\f（9,104）l，∴ymin＝eq\f(3，104)l2。13．做一個容積為256的方底無蓋水箱，它的高為________時最省料．［答案]4［解析］設(shè)底面邊長為x，則高為h＝eq\f(256，x2），其表面積為S＝x2＋4×eq\f（256，x2)×x＝x2＋eq\f(256×4，x）,S′＝2x－eq\f(256×4,x2），令S′＝0，則x＝8，則當(dāng)高h(yuǎn)＝eq\f（256,64)＝4時S取得最小值．14．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π,且用料最小,則圓柱的底面半徑為________．[答案]3[解析]設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則V＝πR2L＝27π,∴L＝eq\f（27,R2），要使用料最省,只需使圓柱形表面積最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2πeq\f(27，R),∴S′(R）＝2πR－eq\f(54π,R2)＝0,令S′＝0得R＝3，∴當(dāng)R＝3時，S表最小．三、解答題15．某公司規(guī)定:對于小于或等于150件的訂購合同，每件售價為200元，對于多于150件的訂購合同,每超過一件，則每件的售價比原來減少1元，試問訂購多少件的合同將會使公司的收益最大？[解析]設(shè)x表示銷售的件數(shù),R表示公司的收益,則R等于每件的售價x×銷售件數(shù)，當(dāng)x〉150時，則R＝[200－（x－150)］x＝350x－x2為公司收益，先求R′(x)＝350－2x,令R′(x)＝0，得x＝175時，R有最大值．最大收益為R＝350×175－（175）2＝30625，而當(dāng)一份合同訂購的件數(shù)超過175時,則公司的收益開始減?。?6．如圖，水渠橫斷面為等腰梯形，水的橫斷面面積為S,水面的高為h，問側(cè)面與地面成多大角度時,才能使橫斷面被水浸濕的長度最??？

[解析]設(shè)浸濕的長度為l,AB＝CD＝x，則l＝BC＋2x＝eq\f(S，h)－xcosθ＋2x＝eq\f（S,h)＋（2－cosθ)·x＝eq\f（S，h）＋(2－cosθ)·eq\f(h,sinθ），∴l(xiāng)′＝h·eq\f(sin2θ－(2－cosθ)·cosθ，sin2θ)＝h·eq\f(1－2cosθ,sin2θ)。令l′＝0,即h·eq\f(1－2cosθ，sin2θ）＝0,解得cosθ＝eq\f(1，2）.∴θ＝60°.∵l只有一個極值，∴它是最小值．將θ＝60°代入l＝eq\f(S,h）＋（2－cosθ）·eq\f（h,sinθ)，解得lmin＝eq\f(S，h）＋eq\r（3）h?！喈?dāng)側(cè)面與地面成60°角時，才能使橫斷面被水浸濕的長度最?。?7．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本(固定投入)為2500元,已知每生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本C（x）＝200x＋eq\f(1，36）x3(元),若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出，要使利潤最大,該廠應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品？最大利潤是多少?［解析]設(shè)該廠生產(chǎn)x件這種產(chǎn)品利潤為L(x）則L（x）＝500x－2500－C(x）＝500x－2500－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(200x＋\f(1,36)x3)）＝300x－eq\f（1,36）x3－2500（x∈N)令L′（x）＝300－eq\f（1，12）x2＝0，得x＝60（件)又當(dāng)0≤x〈60時,L′(x)>0x〉60時，L′(x）〈0所以x＝60是L（x)的極大值點，也是最大值點．所以當(dāng)x＝60時，L(x)＝9500元．18．用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架,要求長方體的長與寬之比為21，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？［解析]設(shè)長方體的寬為xm，則長為2xm，高為h＝eq\f(18－12x，4)＝4。5－3x(m